2019年黑龙江省大庆市高三数学第三次模拟试卷及答案解析

1、2019年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数在复平面内对应的点为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2（5分）已知集合，则AB（）Ax|x1Bx|2x2Cx|2x1Dx|x23（5分）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）A焦点在x轴上B虚轴长为4C渐近线方程为3x2y0D离心率为4（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+）上单调递增的函数是（）Af（x）exexBf（x）tanxCf（x）Df（x）|x|5（5分）设m，n是两条不同的直线，

2、是两个不同的平面，若m，n，则“mn”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）在等差数列an中，若2a86+a11，则a4+a6（）A6B9C12D187（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）A10B9C8D68（5分）展开式的常数项为（）A160B5C240D809（5分）第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的一个锐角为，且tan2，若在大正方形内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为（）ABCD10（5分）将函数f（x

3、）2sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后得到函数yg（x）的图象，若函数yg（x）为偶函数，则函数yf（x）在的值域为（）A1，2B1，1CD11（5分）如图，某几何体的三视图都是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A8BC16D12（5分）定义在（0，+）上的函数f（x）同时满足：对任意的x（0，+）都有f（2x）；当x（1，2时，f（x）（x2）2，若函数g（x）f（x）logax（a1）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A（1，2B（2，4C（4，16D（4，256二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设随机变量服从正态分布N（2，9），若P

4、（c）P（c+2），则c的值是 14（5分）已知向量，且的夹角为，则 15（5分）已知F为抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线C上，且M为AF的中点，若点M的横坐标为2，则|AF| 16（5分）在数列an中，已知，则数列an的前2n+1项的和S2n+1 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，D是BC的边上的点，（1）求sinB的值；（2）若BD2DC2，求AC的长18（12分）某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间

5、段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图时间区间9011）11，13）13，15）15，17）17，19）19，21每单收入（元）65.566.45.56.5（1）求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；（2）这个外卖小哥记得在13，15）这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从13，15）这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AC，BB1的中点（1）证明：BD平面AEC1；（2）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，

6、求二面角AEC1B的余弦值20（12分）已知点F（1，0），动点M到直线l：x4的距离为d，且，设动点M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线，分别交曲线E于点A，B和C，D，求四边形ABCD面积的最小值21（12分）已知函数f（x）xexa（x2+2x）（aR）（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，函数f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

7、标系，圆C的极坐标方程为4cos，射线l2的极坐标方程为（1）求直线l1的倾斜角及极坐标方程；（2）若射线l2与l1交与点M，与圆C交于点N（异于原点），求|OM|ON|选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，a+b1设的最小值为m（1）求m的值；（2）解不等式|x+1|x3|m2019年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（理科）答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数在复平面内对应的点为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解【解答】解：复数1

8、+i复数在复平面内对应的点为（1，1）故选：B【点评】本题考查复数在复平面内的对应点的求法，考查复数的运算法则和复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知集合，则AB（）Ax|x1Bx|2x2Cx|2x1Dx|x2【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出集合AB【解答】解：集合，Ax|x1，Bx|2x2ABx|2x1故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）A焦点在x轴上B虚轴长为4C渐近线方程为3x2y0D离心率为【分析】利用双曲线方程判断焦点位置，虚轴长，渐

9、近线方程，以及离心率即可【解答】解：双曲线C的方程为，可知焦点坐标在y轴上，虚轴长为6，渐近线方程：2x3y0，所以A、B、C都不正确；双曲线的离心率为：e所以D正确；故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查4（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+）上单调递增的函数是（）Af（x）exexBf（x）tanxCf（x）Df（x）|x|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于f（x）exex，有f（x）exex（exex）f（x），即函数f（x）为奇函数，又由f（x）ex+ex0，则函数f

10、（x）在R上是增函数，符合题意；对于B，f（x）tanx，是正切函数，是奇函数，但在区间（0，+）上不是单调函数，不符合题意；对于C，f（x）x+，是奇函数，在（0，1）上是减函数，不符合题意；对于D，f（x）|x|，是偶函数，不符合题意；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题5（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，则“mn”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由空间线面关系及充分必要条件得：因为m，n，则“mn”“”，即“mn”是“”的充要条件，得解【解答】解：

11、因为m，n，则“mn”“”，即“mn”是“”的充要条件，故选：C【点评】本题考查了空间线面关系及充分必要条件，属简单题6（5分）在等差数列an中，若2a86+a11，则a4+a6（）A6B9C12D18【分析】由等差数列an中，2a86+a11，可得a52a8a11，利用a4+a62a5，即可得出【解答】解：由等差数列an中，2a86+a11，a52a8a116，则a4+a62a512故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）A10B9C8D6【分析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即

12、可【解答】解：第一次，k5成立，s211，k2，第二次，k5成立，s220，k3，第三次，k5成立，s2033，k4，第四次，k5成立，s2（3）410，k5，第五次，k5不成立，输出s10，故选：A【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键比较基础8（5分）展开式的常数项为（）A160B5C240D80【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：（x）6展开式的通项为：Tr+1x6r（）r（2）rx62r，则展开式的常数项为1（2）3+1（2）480，得解【解答】解：由二项式展开式通项得：（x）6展开式的通项为：Tr+1x6r（）r（2）rx62r，则展开式的常数项为

13、1（2）3+1（2）480，故选：D【点评】本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题9（5分）第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形的一个锐角为，且tan2，若在大正方形内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为（）ABCD【分析】由已知求得tan，找出小正方形与大正方形边长的关系，得到面积比，则答案可求【解答】解：由tan2，得，解得tan设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，如图，则tan，设小正方形边长为a，则，即AF2a，大正方形边长为，则小正方形与大正方形面积比为故

14、选：B【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10（5分）将函数f（x）2sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后得到函数yg（x）的图象，若函数yg（x）为偶函数，则函数yf（x）在的值域为（）A1，2B1，1CD【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数yf（x）在的值域【解答】解：将函数f（x）2sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后得到函数yg（x）2sin（2x+）的图象，若函数yg（x）为偶函数，则 +，故函数f（x）2sin（2x+）x，2x+，sin（2x+），1，

15、2sin（2x+）1，2，则函数yf（x）在的值域为1，2，故选：A【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题11（5分）如图，某几何体的三视图都是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A8BC16D【分析】如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥，棱长为：2，然后求解表面积即可【解答】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥因此此几何体的棱长为：2，表面积S48故选：B【点评】本题考查了正方体的内接正四棱锥表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（5分）定义在（0，+）上的函数f（x）同时满足：对任意的x（0，+）都有

16、f（2x）；当x（1，2时，f（x）（x2）2，若函数g（x）f（x）logax（a1）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A（1，2B（2，4C（4，16D（4，256【分析】由函数的零点与函数图象的交点的转化得：函数g（x）f（x）logax（a1）恰有3个零点，即函数f（x）的图象与函数ylogax（a1）的图象有3个交点，由函数图象的作法及对数不等式的解法得：由图可知：，解得：4a256，得解【解答】解：函数g（x）f（x）logax（a1）恰有3个零点，即函数f（x）的图象与函数ylogax（a1）的图象有3个交点，由上图可知：，解得：4a256，故选：D【点评】本题考查了函数的零

17、点与函数图象的交点的转化、函数图象的作法及对数不等式的解法，属中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设随机变量服从正态分布N（2，9），若P（c）P（c+2），则c的值是1【分析】随机变量服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x2对称，根据P（c）P（c+2），结合曲线的对称性列关于c的等式求解【解答】解：随机变量服从正态分布N（2，9），曲线关于x2对称，P（c）P（c+2），c1故答案为：1【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布曲线的对称性，是基础题14（5分）已知向量，且的夹角为，则2【分析】向量（2，2）可以求出|，且的夹角

18、为，从而能求出，即可得到【解答】解：因为向量（2，2），所以|，又因为的夹角为，所以|cos21cos2，所以2，故填：2【点评】本题考查了向量的模的公式，向量的数量积运算，属基础题15（5分）已知F为抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线C上，且M为AF的中点，若点M的横坐标为2，则|AF|4【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合中点坐标公式求出A点的横坐标，结合抛物线的定义即可求出|AF|的值【解答】解：抛物线的焦点坐标F（1，0），准线方程为x1，M为AF的中点，若点M的横坐标为2，设A点的横坐标为a，则2，即a+14，a3，则|AF|a（1）3+14，故答案为：4【点评】本题主要

19、考查抛物线定义的应用，求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合中点坐标公式以及抛物线的定义进行转化是解决本题的关键16（5分）在数列an中，已知，则数列an的前2n+1项的和S2n+12n+23【分析】由已知数列递推式可得数列an的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到S2n，再由S2n+1S2n+a2n+1求解【解答】解：由，得（n2），（n2），则数列an的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，S2n（a1+a3+a2n1）+（a2+a4+a2n）（1+2+22+2n1）+（2+22+2n）3（1+2+22+2n1）故答案为：2n+23【点评】本题考查数列

20、递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，D是BC的边上的点，（1）求sinB的值；（2）若BD2DC2，求AC的长【分析】（1）利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可（2）利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC的长【解答】（本小题满分12分）解：（1），ADB（0，），2，4sinBsin（BAD+ADB）sin（BAD+ADB）6（2）在ABD中，由正弦定理得：，即，9在ADC中，由余弦定理得：，12【点评】本题考查三角形的解法，两角和与差的

21、三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力18（12分）某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图时间区间9011）11，13）13，15）15，17）17，19）19，21每单收入（元）65.566.45.56.5（1）求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；（2）这个外卖小哥记得在13，15）这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从13，15）这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，

22、求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望【分析】（1）由频率分布直方图得a，然后求解外卖小哥送50单的收入即可（2）求出X的可能取值为0，1，2，3求出概率得到X的分布列然后求解期望即可【解答】（本小题满分12分）解：（）由频率分布直方图得：2a12（0.052+0.082+0.14）0.2，a0.12样本n50，在9，11）这个时间段的频数为0.082508，同理可求得11，13），13，15），15，17），17，19），10，21这5个时间段的频数分别为14，10，5，8，54外卖小哥送50单的收入为86+145.5+106+56.4+85.5+56.5293.5（元）5（）由（

23、）知，在13，15）这段时间共送10单，10单中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取值为0，1，2，36，10X的分布列为：X0123P1112【点评】本题主要考查了随机变量的分布列及数学期望的应用问题，是综合题19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AC，BB1的中点（1）证明：BD平面AEC1；（2）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角AEC1B的余弦值【分析】（）证明：取AC1的中点为F，连接DF，EF证明BEFD为平行四边形，得到BDEF然后证明BD平面AEC1（）设BC的中点为O，连接AO，以O为原点，以OB、OO1、OA分别为x、y、z轴

24、建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面AEC1的法向量，平面BEC1的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可【解答】（本小题满分12分）（）证明：取AC1的中点为F，连接DF，EFD，F分别为AC，AC1的中点，DFCC1，且2E为BB1的中点DFBE且DFBE，BEFD为平行四边形，BDEF4EF平面AEC1，BD平面AEC1，BD平面AEC16（）解：设BC的中点为O，连接AO，ABC为等边三角形，AOBC，侧面都是正方形，BB1AB，BB1BC，AB，BC平面ABC且ABBCB，BB1平面ABC，AO平面ABC，AOBB1，BCBB1B，AO平面BB1C1C8取B1C1中点为O1

25、，连接OO1，则OO1BC以O为原点，以OB、OO1、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图设AB2，则，设平面AEC1的法向量为，则令x1，得，取平面BEC1的法向量为10则，故所求二面角的余弦值为12【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知点F（1，0），动点M到直线l：x4的距离为d，且，设动点M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线，分别交曲线E于点A，B和C，D，求四边形ABCD面积的最小值【分析】（1）设M（x，y），通过化简求解整理得曲线E的方程（2）解法一：

26、当直线AB的斜率为0时求解四边形ACBD的面积当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为xty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty90，由已知可知0恒成立，利用韦达定理以及弦长公式转化求解四边形ACBD的面积利用基本不等式求解四边形ACBD面积的最小值（2）解法二：当直线AB的斜率不存在时，求解四边形ACBD的面积，当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y得（3+4k2）x28k2x+4k2120利用韦达定理以及弦长公式求解四边形ACBD的面积，利用基本不等式求解四边形ACBD面

27、积的最小值即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）设M（x，y），2整理得曲线E的方程为4（2）解法一：当直线AB的斜率为0时.，四边形ACBD的面积5当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为xty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty90，由已知可知0恒成立，并且有7直线AB，CD互相垂直，同理可求得9四边形ACBD的面积，当且仅当时取等号，四边形ACBD面积的最小值为12（2）解法二：当直线AB的斜率不存在时，可求出|AB|3，|CD|4四边形ACBD的面积5当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为yk（x1），A（x1，y1），B

28、（x2，y2）联立，消去y得（3+4k2）x28k2x+4k2120由已知可知0恒成立，并且有7直线AB，CD互相垂直，用替换上式中的k可求得9四边形ACBD的面积，当且仅当时取等号，四边形ACBD面积的最小值为12【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力21（12分）已知函数f（x）xexa（x2+2x）（aR）（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，函数f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，求证：【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数零点，由导函数零点对定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号得到原函数的单调区间；（2）由f（0）0，可得x0是函数的一个零点，不妨设x30，把问题转化为证，即证由f（x）0，得exa（x+2）0，结合x1，x2是方程exa（x+2）0的两个实根，得到，代入，只需证，不妨设x1x2转化为证设，则等价于e2t2tet10（t0）设g（t）e2t2tet1（t0），利用导数证明g（t）0即可【解答】（1）解：f（x）ex+xex（2x+2）（x+1）（ex2），令f（x）0，得x11，x2ln2当x1或xln2时，f（x）0；当1xln2时，f（x）0f（x