高中数学求数列通项的常用方法

1、精品教育-可编辑-求数列通项公式的方法本文章总结了求数列通项公式的几种常见的方法，分别有:公式法，累加法，累乘法，待定系数法，对数变换法，迭代法，数学归纳法，换元法。希望对大家有所帮助关键字：数列，通项公式，方法、公式法例1已知数列an满足an 1 2an3 2n,ai 2,求数列an的通项公式。解：an 1 2an 3 2n两边除以2n 1an 1an2n为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2n评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an利用等差数列的通项公式求出an2n3(n 1)2，二、累加法例2已知数列an满足an 12n 1, a11 (n解：由an 1an 2n 1 得

2、an1an2n 1则y云i,故数列3 -1)3 ,所以数列23 2 n转化为an1an_n1_n22是以w21an的通项公式为an2 彳 ,31为首项，以22(31 xq n(- n 二)2。223a.一，说明数列g是等差数列，再直接22进而求出数列an的通项公式。1 ,求数列an的通项公式。an (an2(n 2(n2(nan 1) (an 1an 2) l1)1) 1)n21 2(n 2)(n(n2)1)1 2 1(a3 a?)(2 2 (n 1)1) (21a1)1a11) 1(n 1)(n2n1)所以数列an的通项公式为an评注：本题解题的关键是把递推关系式anan 2n 1转化为an

3、 1 an 2n 1 ,进而求出(an an 1) (an 1 an 2)l(a3 a2) (a2a1) a1，即得数列an的通项公式。例3已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a1 3,求数列a。的通项公式。精品教育解：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1 an 2 3n1则-可编辑-an(an an 1 ) (an 1(2 3n2(3n 133n1)n 2(23n(a3321)31)l (2(n 1)1)a2)32(a2 a1)_11) (2 31ai1) 33n3n所以an3n(an解:(n1.本题解题的an 1) (an 11) 3关键是把递推an 2) l (a3关

4、系式an 1a2) (a2a1)an2 3n1转化为an 1ana1，即得数列%的通项公式。2 3n1 ,进而求出已知数列an满足an 1 3an 2 3n 1, a1an3an 2 3n 1两边除以3n 1 ,得票 3n 13,an3n求数列an的通项公式。an 13nan 23n 3an3nan 1)因此则an评注:(32(n3an1)(an l1(3由an 113n 113nan 2)3n 2)l(an 22an3n2(n31) (3 1 3n 13n 1)3n1 3n1 3n2)(332)2n3本题解题的关键是把递推关系式an13n3an 2 3n1转化为弱an3n21- -77 ,进

5、而求出3 3n 1zan 1 an 2an 2(3n1 3n 2) (3n 2an 3)3n 3an3n的通项公式，最后再求数列an的通项公式。精品教育三、累乘法例5已知数列an满足an12(n1)5n an, ai 3,求数列an的通项公式。解：因为 an 12(n 1)5nan, a13,所以an0,则由 an2(n1)5n,故& an 1 a3 a2anl-an 1 an 2a2 ai_n 1_2(n 1 1)5 2(n2 1)5n2 l2n 1n(n 1) l 3 2 5(n1)n(n 1)3 2n 1 5k n!(n 2) l2(22 1 32 -1) 5 2(111) 5所以数列a

6、n的通项公式为an 32n 1n(n 1)5kn!.评注：本题解题的关键是推关系412(n1)5nan转化a2(n 1)5n，进而求出 ananan 1an 1an 2a3 a2 a1,即得数列an的通项公式。a2 a1例6已知数列an满足 a1 1ana1 2a2 3a3 l (n 1)an 1(n2),求an的通项公式。解：因为ana2 a23 a(n 1)an i(n2)所以 an 1a12a23a3 l(n1)an 1nan用式一式得an 1an nan.(n 1)an(n2)故一ann 1(n 2)所以anan an 1 lan 1 an 2a3一 a2 n(n 1) a2n!一3

7、a2 a2.2由 an a1 2a2 3a3l (n 1)an 1(n2),取n2得a2a12a2,则a?a，又知a1,则a21 ,代入得 an 1 3 4 5 l nn!o2-可编辑- n!所以，烝的通项公式为an . 2:本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an(n 2)转化为刍 n 1(n 2),进而求出anan an 1 lan 1 an 2a3a2,从而可得当na22时，an的表达式，最后再求出数列an的通项公式。6 ,求数列an的通项公式。四、待定系数法 例7已知数列an满足an 1 2an 3 5n, a1解：设 an 1 x 5n 12(an x 5n)将an 1

8、2an 3 5n代入式，得2an 3 5n x 5n 1 2an 2x 5n ,等式两边消去2an ,得3 5nx5n 12x5n,两边除以 5n，得 3 5x2x,则x1,代入式得an15n12(an5n)n 1由al 51 6 5 1 0及式得an 5n 0,则士 2,则数列an 5n是以a1 51 1为首项，以2为公 an 5n比的等比数列，则an 5n 2n 1 ,故an 2n 1 5n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 5n 转化为 an 1 5n 12(an5n),从而可知数列an 5n是等比数列，进而求出数列an 5n的通项公式，最后再求出数列 an的通项公

9、式。例8已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4, a1 1,求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y) 将an 1 3an 5 2n 4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n 1 y 3(an x 2n y)整理得(5 2x) 2n 4 y 3x 2n 3y。5 2x 3xx 5令，则，代入式得4 y 3yy 2an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)._1 一, 一 一 一 一由45 22 1 12 13 0及式,得 an 5 2n 20 ,则 an 152n2 33,an5 2n 2故数列an 5 2n 2是以a1 5 212

10、1 12 13为首项，以3为公比的等比数列，因此an52n2 133n1,则an133n15 2n 2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 13an5 2n 4 转化为an1 52n1 2 3(4 52n2),从而可知数列an 5 2n 2是等比数列，进而求出数列 an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。. _2_例9已知数列an满足an1 2an3n4n 5, a11,求数列an的通项公式。22、_解：设 an 1 x(n 1) y(n 1) z 2(an xn yn z) 2将an 1 2an 3n 4n 5代入式，得222an 3n 4n 5 x(n 1) y(n

11、1) z 2(an2xn yn z),贝u2y z 5) 2an 2xn 2yn 2z等式两边消去2an ,得(3 x)n22(2x y 4)n (x y z 5) 2xn 2yn 2z,解方程组 2x y 4 2y ，贝u y10，代入式，得x y z 5 2z z 1823n 10n 18)an 1 3(n 1)2an (3 x)n (2x y 4) n (x 10(n 1) 18 2(an.一2 一一一一由 a131101 181 313220及式，得an 3n 10n 18 0则 an1 3(n 1)2 10(n 1) 18、 an 3n2 10n 182,故数列an 3n2 10n

12、18为以4 3 12 10 1 18 1 3132为首项,以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1 ,则 an 2n 4 3n2 10n 18。评注：本题解题的关键是把递推关系式2an 1 2an 3n 4n 5 转化为222an 1 3(n 1)10(n 1) 18 20 3n 10n 18),从而可知数列 3n 10n 18是等比数列，进而求出an的通项公式。.一 - 2 一 .一数列an 3n 10n 18的通项公式，最后再求出数列五、对数变换法例10已知数列an满足an 1n 52 3 an, a1 7 ,求数列an的通项公式。解：因为an 12 3n a5

13、, a17 ,所以 an0, an 10在an 12 3na5式两边取常用对数得1g an 1 5lg an n lg3 1g 2设 1g an 1 x(n 1) y 5(1g an xn y)将式代入m式，得 51g ann1g3 1g2 x(n 1) y5(1g an xn y),两边消去51g an并整理，得(1g3 x)n x y 1g 2 5xn 5y ,则1g3 x 5xx y 1g2 5y1g 341g3 1g 2164代入但)式，得1g an 11g3 /八1g31g 21g31g31g 2、(n1)5(1g ann)41644164 1史史 蛇1空监41644164得1gan

14、gn蛆跛0,41641gan 11g21g3n 1g3 ig2416 45,1g31g3 1g 2所以数列1g an -n - %是以幻7 41641g31g an 一 n41g316口 (1g 7皿盟 44161g31g3 1g 2 一为首项，以5为公比的等比数列，则4164)5n 1 ,因此4lg3lg3lg2ni lg3lg3lg21g an(1g 7 )5n 4164464111n11(1g7 1g 34 1g 36 1g24)5n11g341g3语1g 24111n 111g(7 34 3词 24)5n 1 1g(34 3诬 24)111n 111g(7 34 3词 24)5n 11

15、g(34 3历 24)5n 1n5n1 15n 1 11g(75n 1 3 3= 2)5n 4n 15n 1 11g(75n 1 3 162干)5n 4n 15n 1 1贝 uan75nl3 162h。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an 1 2 3n a5转化为1g31g31g 21g31g31g 21g31g31g 21gan1(n1)-g-g-5(1gan-n-g-),从而可知数列1g an -n-g-g是等比数416441644164列，进而求出数列1g an 1g3n / 92的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。4164六、迭代法例11已知数列an满足an 1a3

16、(n 1)2n, a1 5,求数列an的通项公式。解：因为an 1 an(n 1)2 ,所以3n 2n 1anan 13(n 1)2an 22 3n2a3(n32)2n3 *32(n 1)n2(n2) (n1)33 (n 2)( n an 31)n 2( n 3) (n 2) (n 1)3n 1 2 3l l a15 ,所以数列an的通项公式为ann( n_3n 1 n! 2-251)(n 2) (n 1) n21 2 ll (n 3) (n 2) (n 1)n(n 1)3n 1 n! 2 2a1评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an 1 a3(n 1)2n两

17、边取常用对数得1gan1 3(n 1) 2n 1g an , 即9all 3(n 1)2n, 再 由 累 乘 法 可 推 知1g an,lgan1g anlgan 1处l蛆31g& 1g an 2 1g a2 1g a3n 1 n! 2.lg5n(n 1)-2-3n 1 n! 2n(n 1),从而an 52 。七、数学归纳法例12已知数列an满足an 1 an8(n 1)72z22，(2n 1) (2n 3)8 ,求数列an的通项公式。9解：由an 1an8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2及a19，得a2a18(1 1)88224(21 1)2(2 1 3)2992525a3a28(2

18、1)248348(22 1)2(2 2 3)225254949a4a8(3 1)488480a3(23 1)2(2 3 3)249498181由此可猜测an24(2n ” 21 ,往下用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)2(1)当 n 1 时，a1_2(2 1 1)12(2 1 1)8 ,所以等式成立。9(2)假设当n k时等式成立，即ak2号则当n k1时c-8(k 1)ak 1 ak22(2k 1) (2k 3)(2k 1)2 18(k 1)222(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2k1)21(2k3)2 8(k1)z2z22(2 k 1)2 (2k 3)22_2_2_(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)222(2k 1)2(2k 3)2(2 k 3)2 1zz-2(2k 3)222(k 1) 12 12(k 1) 12由此可知，当n k 1时等式也成立。r 一 *.根据(1), (2)可知，等式对任何 n n都成立。n项，进