高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)

1、高中数学平面向量组卷22.选择题（共18小题）旧人尸旧|b |sin 0,若在(2, 0),1.已知向量;与e的夹角为0,定义三名为:与己的向量积”，且;其是一个向量，它的长度u- 1，= ( 1 , v3),则 |ux ( u+v|) |=()c.d.2. 一；2.已知b. 0c.d.3.已知向量3= （1,f fttb= （3, m）,若向量a, b的夹角为膏，则实数m=（a. 273c. 0d.4.向量a.a= (- tan ),jb= , 1)，且自/ b,则b.1：c.一亚3d.工为单位向量，其夹角为 60,则（21-耳）?b=5.如图，在 4abc 中，bd=2dc .若 ab =

2、 3, ac=b,则 ad=()a.b.6.若向量击（2cosa2321工3a-3bc.13d.ia-2,3 31)b=tana),且白/h,则sin a=()b._v22c.d.ttw7.已知点 a (3, 0), b (03)c (cos a, sin a), o (0, 0),若|0a + 0c|=v13*q e (o,巾)的夹角为（）a.b.7twc.d.8.设向量da= 3, ob=|b不共线，且 户+|b|=1, m-w=3,则aoab的形状是（a.等边三角形b .直角三角形c.锐角三角形d.钝角三角形9.已知点g是4abc的重心，若a=ab?ac=3,则四1的最小值为（10.如图

3、，各棱长都为b. v2c.d.2的四面体abcd中,ce=ed, af=2fd,则向量 be?cf=(12.已知p为三角形abc内部任一点（不包括边界）a.等边三角形b .直角三角形c.钝三角形d.等腰三角形p为4abc所在平面内的一点，并且apa3+ac,则4abp与4abc的面积之比等于（13.如图所示，设ba.b.c.d.14.在 mbc 中,|ab|=3, |ac|=2, ad=-1ab则直线 ad通过abc的（）a.垂心b.夕卜心c.重心d.内心15.在 4abc 中,/ bac=60 , ab=2 , ac=1巳f为边bc的三等分点，则ae*af=（a.b.c.10d.a- -1b

4、. 1c. id. _332211.已知函数f （x） =sin （20+4）的部分图象如图所示，点 b, c是该图象与x轴的交点，过点 c的直线与该图象交于d, e两点，则（bd + be） ?b的值为（c.d. 2且满足（pb-p色）？（ p3+pa -2pc） =0,则 4abc 的形状定为（）16.已知空间向量了满足|之| = |匕|二1,且;，石的夹角为h，。为空间直角坐标系的原点，点 a、b满足0a-2a4b,而二3三-e贝uoab的面积为（）d. 11417.已知点paabc内一点，且江+2且%3应=1，则 mpb, apc bpc的面积之比等于（a. 9: 4: 1b. 1 :

5、 4: 9c. 3: 2: 1d. 1 : 2: 318.在直角三角形 abc中，点d是斜边ab的中点，点p为线段cd的中点，则叵上!12=（ |pc|2a. 2b. 4c. 5d. 10.解答题（共6小题）19.如图示，在 4abc中，若a, b两点坐标分别为（1）求/aob的余弦值；2, 0) , (- 3, 4)点 c 在 ab 上，且 oc 平分 / boa .（2）求点c的坐标.20,已知向量工（cos。，sin。）和b，（后一瓦门日，35 8）.（1）若,求角。的集合；（2）若白 （斗，卫），且g-z|s,求85 （鼻-三）的值.442 i21 .如图所示，若 d是4abc内的一点

6、，且 ab2-ac2=db2 - dc2.求证：ad bc .i) ft” 口知向旦 4一 f - a+b 卜一 b _、:一 / 5 . a4b a 一 b /2、甘山 口 曰22已知向里 a- isiri, cos-) , b-(二/in于, cos-4-),其中 a、b abc 2244224的内角，,.(1)求 tana?tanb 的值；(2)若a、b、c分别是角a、b、c的对边，当c最大时，求上的值.a23 .已知向量 ;=(sinx, z3g , b=(/chm, coss)且b#。，函数 f(x)=2；片1(i)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间;(ii)若a二b,分另1

7、j求tanx及一*50干床_的值. f (x) +1j24 .已知：=(/scosk, er) b= (sinif, 2匕口内)，函数 f (x) =a*bh- | b | .(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)求函数f (x)的单调减区间；i 7t - 一 td(3)当二丁时，求函数f (x)的值域.62高中数学平面向量组卷(2014年09月24日)参考答案与试题解析一.选择题(共18小题)1 .已知向量 必 匕的夹角为0,定义丹心为a与b的向量积，且；a也是一个向量，它的长度a| b |=|a |b |sin 0,若u= (2, 0) , u- v= (1, v3),则 |ux (u

8、+v|) |=()a. 4mb. vic- 6d- 213考点： 平面向量数量积的运算.分析:专题： 平面向量及应用.再利用平方关系可得利用数量积运算和向量的夹角公式可得u + v= -1-lul lu+vlin=1.111_1 i i u+v | 2 x 2rl3即cci3白字由定义知rx (u+v)|二i u | | 口+v 1员1ru，叶甲二2x2而二2畲，故选:d.点评:本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题.2 .已知 也b为单位向量，其夹角为 60,则(2a- b) ?b=()a. - 1b. 0c. 1d. 2考点： 平面向量

9、数量积的运算.专题： 平面向量及应用.分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 。耳、针的值，可得(2a-b)加的值.解答： 解：由题意可得， a，b=1 mcos60u，b =1，(2a- b) ?b|=2a,b -=0,故选：b.点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题.3.已知向量3= (1, vs),= （3, m）,若向量,，b的夹角为工6,则实数m二（考点:数量积表示两个向量的夹角.平面向量及应用.分析:解答:点评:4.向量a.考点:分析:解答:点评:c. 0由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得解：由题意可得com的值.3+ . 6 | a |

10、- |b | 2j9 +3=b.本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题.a二(* tan)b= (ss口 , 1),且 3/匕，则ttcos (+ a )=(b.1；：c.d.平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用.计算题；三角函数的求值.根据向量平行的条件建立关于“的等式，利用同角三角函数的基本关系与诱导公式,tt 、gos （工-十夏）的值.1 sino-化简即可得到tan口）二二frcos 3 cds ae二（3口，1），且相匕- l=t cos clja ,得 sin a= 3本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下

11、求卜u）的值.着重考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式和向量平行的条件等知识，属于基础题.5.如图，在 4abc 中，bd=2dc .若 = 1 ac=b|,贝uas二b.cid.考点：向量的加法及其几何意义.专题： 平面向量及应用.分析：由题意可得as=ab +而，而前亭s，京二正-屈，代入化简可得答案.解答：解：由题意可得 如=熊+51正等正=同得(菽-靛)=与0+|标故选c点评： 本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题.6.若向量 a= (2cosa, 1), b= (2, tan a),且a / b,贝u sin a=(d.7t7a.选b.一近c. 2l224考

12、点：平面向量共线(平行)的坐标表示.专题：平面向量及应用.分析：直接由向量共线的坐标表示列式计算.斛答. 解：,一向量；a= (2cosa, 1), b= (v-2, tana),且 a/b,贝 u 2cosa lan a- ( 1) xj2 =0,即 2sin 卡-尚.inq二一及.故选：b. 2点评：共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(ai,32),b=(bi,b2),则;ab?aia2+bib2=0, w/b?aib2-a2b1=0.是基础题.7.已知点 a (3, 0), b (0, 3), c

13、(cosa, sin”)，o(0，0)，若 i加而 |=v13*3，丸)贝屁与西的夹角为()a.b.7twc.d.7t飞考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.计算题.分析:根据题意求出oa+oc的坐标，再由它的模求出角a,进而求出点c的坐标，利用数量积的坐标表不求出 0b和夹角的余弦值，再求出夹角的度数.解答:解：a (3, 0), c (cosa, sin/)，o (0, 0)|0a+0c= (3+cosa, sin a), loa+oc iw13- a e co, n),(3+cosa) 2+sin2 o(=13,解得,cos 0=,则广二1,即c （工，田）7t，而和66夹角的余弦值

14、是10b | | 0c | 3x1 0b和0c的夹角是点评：本题考查向量线性运算的坐标运算，以及数量积坐标表示的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模，以及它们的夹角的余弦值，进而结合夹角的范围求出夹角的大小.8.设向量0a= a, 0b= b不共线，且|己+b|=1,-匕|=3,则aoab的形状是（a.等边三角形b.直角三角形c.锐角三角形d.钝角三角形考点:平面向量数量积的运算.分析:计算题；平面向量及应用.x内+b|=1, | ” b|l=3分别平方并作差可得 4 ，二由其符号可判断/aob为钝角，得到答案解答:解：由台西=1,得c+e）2二1，即 a2 + bt+2apb=l由

15、1 a- b1=3,得（近- b） 之二9，即目点评:-得,4 a b= - 8,解得d-卜=一 2。丁./aob为钝角，aoab为钝角三角形，故选:d.本题考查平面向量数量积运算，属基础题.9.已知点 g是4abc的重心，若 a=处？ac=3,则卜|的最小值为（考点:专题:分析:由a=7t二 a5?ao3,3可求得|诵| | ac |=6,由点g是4abc的重心，记得工（族+正）利用不等式解答:则|，|2=7 （嵋+ ac地处时） y=4应c2|ab 11ac 1+6)，代入数值可得.解：.a=处? ac=3,|焉 i |ac|cosa=3,即 |ab i |菽 1=6d. 2c. 2v&平

16、面向量数量积的运算.不等式的解法及应用；平面向量及应用.点g是4abc的重心,，|扃2二卷（/m正元，正）总（获4 (2位 |正 1+6)二2,鹿田，当且仅当| ab |-| ac 时取等.|正|的最小值为陋，故选b.点评:本题考查平面向量数量积的运算、不等式求最值，注意不等式求最值时适用的条件.10 .如图，各棱长都为2的四面体abcd中，ce=ed, af=2fd,则向量be?cf=（ca- -1b. 1c. -1d. _3322考点： 平面向量数量积的运算.专题： 平面向量及应用.分析：由向量的运算可得 百力（而+而），屈士欣-玩母5,由数量积的定义可得.解答： 解：-ce=而，杳邑2而

17、，,ejj （而十而），亚si,2i- cf=1j bc=fba+af bc =ba+1ad -正=ba+ （说-或）-五=|ba - bc+bd， b?fc?=（前+而）?（领-正彩而）=|就,讹_,而2而前0前.丽盛丽2=x2x2x-j-x22 -|x2x2xi4x2x2x+1x22=1 故选：bbz 2jl 3l j j点评： 本题考查向量数量积的运算，用已知向量表示未知向量是解决问题的关键，属中档题.11 .已知函数f （x） =sin （20+4）的部分图象如图所示，点 b, c是该图象与x轴的交点，过点 c的直线与该图象交于d, e两点，则（bd + be） ?欣的值为（）a.4b

18、.4c. 1d. 242考点： 平面向量数量积的运算；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域.专题： 平面向量及应用.分析：根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论.解答： 解：二函数f （x） =sin （20+初 的周期th=1，则bc，则c点是一个对称中心， 2h2 2则根据向量的平行四边形法则可知：bd+be=2bc?.（bd+ee） ?bc=2就丽=2 |前|工=2 *1工）点评：本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键.12 .已知p为三角形abc内部任一点（不包括边界），且满足（fb-pa） ? （p

19、b+pd-2pc） =0,则4abc的形状定为（a.等边三角形b.直角三角形c.钝三角形d.等腰三角形考点： 平面向量数量积的运算.专题： 平面向量及应用.分析：利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系即可得出.解答：解：.豆-舌屈 屈+而-2正电+在，廊-9？词+例- 2而）=0, .屈（茂+废）|=0, 而豌十以卜定经过边ab的中点，瓦垂直平分边ab,即4abc的形状一定为等腰三角形.点评： 本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系、等腰三角形的定义，考查了推 理能力，属于难题.13 .如图所示，设 p为 bc所在平面内的一点，并且 apj菽+

20、 与运，则4abp与4abc的面积之比等于（）a.考点：向量在几何中的应用.川c专题： 计算题；压轴题.分析： 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由4abp与4abc为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接cp并延长后，我们易得到 cp与cd长度的关系，进行得到 4abp的面积与4abc面积之比.解答： 解：连接cp并延长交ab于d, p、c、d三点共线，.比=标+菽，且入+月设ab=k ad,结合 曲薪+簧，得获=|标+奢z由平面向重基本7e理解之，得彳，k=3且 吊醇+飘 可得而=1,/jp aabp的面积与 4abc有相同的底边 abl高的比等于|

21、fd|与|cd|之比.abp的面积与4abc面积之比为乌，故选：c5点评： 三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等； 同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比.14 .在4abc中，|ab|=3 , |ac|=2 ,血干 位,则直线 ad通过abc的（）a.垂心b.外心c.重心d.内心考点：向量在几何中的应用.专题： 综合题；平面向量及应用.分析:首先根据已知条件可知四边形法则可知四边形艇尸资|=|,又因为而二七正第正，设近寺 而三斑,由向量加法的平行aedf为菱形，从而可确定直线 ad通过4abc的内心.解：,|ab|=3, |ac|=2设融2ab

22、,亚=艇,24则说=|国，倔寺5 亭声嬴正.解答:由向量加法的平行四边形法则可知，四边形aedf为菱形.，ad为菱形的对角线,ad平分/eaf.直线 ad通过4abc的内心.故选： d.点评：本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题.15 .在 4abc 中，/bac=60 , ab=2 , ac=1 , e, f 为边 bc 的三等分点，则 ae，af=()a.生b. z34d.15考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算.专题：计算题.分析：先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出凝，正向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案.解答： 解：,在4abc

23、中，/bac=60, ab=2 , ac=1 ,根据余弦定理可知 bc=j1由ab=2 , ac=1 , bc=满足勾股定理可知 / bca=90 以c为坐标原点，ca、cb方向为x, y轴正方向建立坐标系. . ac=1 , bc=代，则 c (0, 0), a (1, 0), b (0,近)又, f分别是rt abc中bc上的两个三等分点，则 e(0,%i), f(0, w?) 33则正 (-1, 等)，/(-1, 亭 工工=1+|=| 故选a .点评： 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程.16.已知空间向量以芯满足|a

24、| = |b |=1,且力e的夹角为三，。为空间直角坐标系的原点，点a、b满足oa-2 a+b, qg = 3a贝uoab 的面积为(d.11t解答:点评:a. 9: 4: 1b. 1 : 4: 9c. 3: 2: 1d. 1: 2: 3考点： 平面向量数量积的运算；三角形的面积公式.专题： 平面向量及应用.分析：由向量的运算可得|二|, i而i，以及而加，代入夹角公式可得 cos/ boa,由平方关系可得sin/boa,代入三角形的面积公式s= |赢| |加仁in/bor，计算可得解：由题意可得l 九；=.-，-=； .i =-.同理可得|通川13、-直飞9$-6加铲巾乂12-8乂1乂1乂3

25、产仔 而应谓（2a+b） ?（3a-p =6a2 + ab -b2=61+1 x 1x-1247，. . 11 l故 cos/ boa=j_=h,可得 sin / boa=j1-) 2 =j|oa|ob| 14m14所以40人8的面积s=前、际li及映乂汨x汨x笔*g故选b本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题.17 .已知点p为4abc内一点，且pa+2fb+3pc=o,则4apb, apc , bpc的面积之比等于（）考点：向量在几何中的应用.专题： 计算题；压轴题.分析： 先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算

26、的几何意义，三角形面积公式确定面积之比解答： 解：二血+2+3同=8,，区+而=-2飞至+前），如图:.欣十萩二而二2而，而十五;而二2而历二2花. f、p、g三点共线，且 pf=2pg,gf为三角形abc的中位线s&apcsabpc-jxpc x 瓦1技 xpe x h2hl12=2卜；一2m saapb=t;saabc apb , aapc , bpc 的面积之比等于 3: 2: 1 故选 c点评：本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键ipii2 + |pbi z18 .在直角三角形 abc中，点d是斜边ab的中

27、点，点p为线段cd的中点，则上支ji =()|pc|a. 2b. 4c. 5d. 10考点：向量在几何中的应用.专题：计算题；综合题.分析： 以d为原点，ab所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以 ab为直径的圆必定经过 c点，因此设ab=2r, /cdb=a,得到a、b、c和p各点的坐标，运用两点的距离公式求出|pa2+|pb|2和|pc|2的值，即可求出2pb|?的值.|pc|2解答： 解：以d为原点，ab所在直线为x轴，建立如图坐标系， ab是rta abc的斜边，以ab为直径的圆必定经过 c点设 ab=2r , z cdb= a,则 a ( r, 0), b (r, 0), c (rc

28、osa, rsin a)点p为线段cd的中点,p (rcosa, rsin 公2|pap=-i2bj-23|pb|2= c-rcosg - +)+)245 24r+r2cosa一/cos a可得|pa2+|pb|2=y2又二点p为线段cd的中点，cd=r |pc2=5)l2所以:ipct=10故选点评： 本题给出直角三角形 abc斜边ab上中线ad的中点p,求p到a、b距离的平方和与 pc平方的比值, 着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题.解答题(共6小题)19.如图示，在 4abc中，若a, b两点坐标分别为(2, 0) , ( - 3, 4)点c在ab上，且 oc平分/

29、boa .(1)求/aob的余弦值;(2)求点c的坐标.考点：向量在几何中的应用.专题：综合题.分析:(1)由题意可得cosza10b=oa-ob-loallobl,把已知代入可求(2)设点 c (x, y),由 oc 平分 / boa 可得 cos/ aoc=cos / boc 即|oa|oc|而，前|ob|oc|c在ab即ac前共线,建立关于x, y的关系，可求解答：解：(1)由题意可得，qa= 2, d)，ob= (-3, 4)coszca0b=2乂 ( -3) +0x4i ok | | ob |2x5(2)设点 c (x, y),由 oc 平分 / boa 可彳# cos/ aoc=c

30、os / boc点评:ob-ocsw/eoc 二:= : 10a | |0c | 10&|-|0c |(2, 0) 芯，y) ( - 3, 4 工，y)q二&， y=2x 3又点c在ab即他，ec共线，而二(x+3,芋-4),正二(工-2, 丫)4x+5y - 8=0由 解得尸号，点c的坐标为(多 三、i 0e | -1 0c |本题注意考查了向量的夹角公式的坐标表示的应用，向量共线的坐标表示在三角形中的应用，解题的关键是借助于已知图象中的条件，灵活的应用向量的基本知识.20.已知向量= (cos。，sin 0)和二式门 c口三日)(1)若%,求角。的集合;(2)若白 (5 兀 1371），且

31、 |3-b|=/3，求gos （宗工）的值考点:平面向量的坐标运算.计算题.分析:(1)由题意和共线向量的等价条件，列出关于角。的方程，求出。的一个三角函数值，再根据三角函数求出角。的集合.(2)由题意先求出w-e的坐标，根据此向量的长度和向量长度的坐标表示，列出方程求出解答:cos (事，由余弦的二倍角公式和。的范围求出cosa 7t）的值.解：（1）由题意知/ b,则 cos。cos。一 sin。x(6 sin =。， jsin 0=1, sin，ks;1t角9的集合= 6| 9-+2k兀或 4（2）由题意得，3匕=（cos。匹+sin。，sin 0- cos。），cos 8 +sin 9

32、 )| 电b|=j (c 口与 8+si /曰一的)+ (一in -一二03 日)=-4 - 22=2 .，；,jt 1即cos（ 0-l）= 4,由余弦的二倍角公式得, 447vcos (?1|7l i- tt ,cos ( 8 ) +1;2由得cos (4 ei i 271w,即 cos (二717t)0,利用基本不等式得出当且仅当9tanattmb二上时，c取得最大值，再利用同角3公式求出sinc, sina ,最后由正弦定理求的值.a解答:解：(i)由题意得(5 , a+bc4irrta-b3v2. .0=0点评:cos即洋in5cos (a+b ) +4coscosacosb=9si

33、nasinb1. tana?tanb=.9(a b) =0(2)由于 tana?tanb=0,且 a、b 是abc 的内角,91- tana 0, tanb 0tanc=- tan (a+b)=- tana4tanb _ 一2(tana+tanb)( -2vtana*tanb =-1 - tanatanb 83 ri皿当 且仅 当三磕二1aj正二4取13，c为最大边时，有 tona=t二k tanc=-,sinc=v，sina=-i=由正弦定理得:c_sinca si na3后 w飞1 - 5710本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低.23.已知向量(sins, ccsx) , b=cosh)且bh。，函数 f (x) =2；- 1(i)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间;(ii)若a二b,分另1j求tanx及七口62工f (耳)+1的值.考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性.专题： 平面向量及应用.分析：(i)化简