第四章线性空间和欧氏空间

1、第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 1 1, , n n n x RxxxR x 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 求求的一组基和维数的一组基和维数. 第四章线性空间和欧氏空间 V Rn,对加对加 法数乘封闭法数乘封闭 本质为极本质为极 大无关组大无关组 本质为秩本质为秩 U V, U也构也构 成向量空间成向量空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 V Rn,对加对加 法数乘封闭法数乘封闭

2、 本质为极本质为极 大无关组大无关组 本质为秩本质为秩 U V, U也构也构 成向量空间成向量空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 12 11 11 , 10 01 第四章线性空间和欧氏空间 V Rn,对加对加 法数乘封闭法数乘封闭 本质为极本质为极 大无关组大无关组 本质为秩本质为秩 U V, U也构也构 成向量空间成向量空间 第四章线性空间和欧氏空间 命题：如果命题：如果中任意中任意 个个无关的向量均为无关的向量均为的极大无关组的极大无关组. 极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价，极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价， 且含有相同个数且

3、含有相同个数(秩秩)的向量的向量. 向量组向量组 核核 第四章线性空间和欧氏空间 向量空间的例子向量空间的例子基基维数维数 V Rn,对加法数乘封闭对加法数乘封闭 本质为极大无关组本质为极大无关组 本质为秩本质为秩 Rn本身本身e1, e2, , enn 零空间零空间 无无 0 齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间 x Rn|Ax = , A Rm n Ax = 的的 基础解系基础解系 n r(A) A= 1, , s的生成子空的生成子空 间间L( 1, , s)=k1 1+ ks s | k1,ks R 向量组向量组A的的 极大无关组极大无关组 A的秩的秩 A的秩的秩 A的列向量组的

4、的列向量组的 极大无关组极大无关组 矩阵矩阵A的列空间的列空间, 即即A的列的列 向量组的生成子空间向量组的生成子空间 n r(A) Ay = 的的 基础解系基础解系 A的秩的秩 A的列向量组的的列向量组的 极大无关组极大无关组 线性映射线性映射f: RnRm的核的核 线性映射线性映射f的的 Ex. 第四章线性空间和欧氏空间 线性相关线性相关共线共面共线共面 极大无关组极大无关组 ？秩秩 ？ 直角坐标系直角坐标系 ？ 仿射坐标系仿射坐标系 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 , , k , , k k 2 k , , k 第四章线性空间和欧氏空间 0,

5、 , 0, ij if ij if ij , ijij e1,e2,en 11 1 , n TT nnii i aabba b 111 , nnn iiiiii iii aba b 12 , n 任一标准正交基任一标准正交基 与自然基作用同与自然基作用同 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 求求的一组标的一组标 准正交基，并将其扩展到准正交基，并将其扩展到R3的一组标准正交基的一组标准正交基. 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 3 1 13 123 0 0 xx xxx 3 1 2 1 3 1 1 2 6 1 的一组标准正交基的一组标准正交基

6、,R3的一组标正交基的一组标正交基 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 第四章线性空间和欧氏空间 线性相关线性相关共线共面共线共面 极大无关组极大无关组;基基 秩、维数秩、维数 直角坐标系直角坐标系 仿射坐标系仿射坐标系 , ijij 第四章线性空间和欧氏空间 a = b = 0, c = 1. 1a A bc 1. 若若 是正交矩阵是正交矩阵, 则则a,b,c满足条件满足条件 2 22 11 1 0 b ac abc 2.设设 1=1,0,1T, 2=1,1,0T, 用用 Schimidt正交化正交化 方法求一个与向量组方法求一个与向量组 1, 2等价的正交向量组等价的正交向量组 1, 2,