求极限的几种方法[教育知识]

1、简介 欢迎使用鬼仔划古版教学资源，如发现有不 足之处敬请指出，谢谢合作！ 愿你在学习中体验快乐！ 祝你成功！ 1教书育人 求极限的方法 v直接代入法 主要运用于分母不为零的情况 v倒数法 主要运用分子不为零、分母为零 v消去零因子法 运用于分子、分母都为零 v无穷小因子分出法 分子、分母有高次 v无穷小等价法 v洛必达法 v巧算 v左右取极限法 v两个重要极限法则 v巧解 2教书育人 直接代入法 例例1 1. 53 1 lim 2 3 2 xx x x 求求 解解)53(lim 2 2 xx x 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3)lim( 22 2 2 xx

2、x xx 5232 2 , 03 53 1 lim 2 3 2 xx x x )53(lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx . 3 7 3 12 3 3教书育人 倒数法 解解)32(lim 2 1 xx x , 0 商的法则不能用商的法则不能用 )14(lim 1 x x 又又, 03 14 32 lim 2 1 x xx x . 0 3 0 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得 例例2 2. 32 14 lim 2 1 xx x x 求求 . 32 14 lim 2 1 xx x x 4教书育人 消去零因子法 解解 例例3 3. 32 1 lim 2

3、2 1 xx x x 求求 .,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x .1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x )1)(3( )1)(1( lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 3 1 lim 1 x x x . 2 1 ) 0 0 (型型 (消去零因子法消去零因子法) 5教书育人 无穷小因子分 出法 例例4 4. 147 532 lim 23 23 xx xx x 求求 解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x )(型型 ., 3 再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分

4、母先用先用x 3 3 23 23 14 7 53 2 lim 147 532 lim xx xx xx xx xx . 7 2 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) 6教书育人 分界点左右取极限法 例例7 7).(lim, 0, 1 0,1 )( 0 2 xf xx xx xf x 求求设设 y ox 1 xy 1 1 2 xy 解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x )1(lim)(lim 00 xxf xx , 1 )1(lim)(lim 2 00 xxf xx , 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等, . 1)(lim 0 xf x 故故7教书育人 1

5、 )( )(sin lim 0)( x x x 例例3 3. cos1 lim 2 0 x x x 求求 解解 2 2 0 2 sin2 lim x x x 原式原式 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 x x x 2 0 ) 2 2 sin (lim 2 1 x x x 2 1 2 1 . 2 1 e x x x ) 1 1(lim 例例.) 1 1(lim x x x 求求 解解 x x x ) 1 1( 1 lim 1 ) 1 1(lim x x x 原式原式 . 1 e 例例5 5.) 2 3 (lim 2x x x x 求求 解解 422 ) 2 1 1() 2 1

6、1(lim xx x x 原式原式. 2 e 9教书育人 指数函数、反三 角函数常用换元 法求解 例例 求. arcsin lim 0 x x x 解解: 令,arcsin xt ,sintx 因此 原式 t t tsin lim 0 1 lim 0 t 1 10教书育人 无穷小等价法 应注意：因式必须为无穷小因子 几个替换因子：: :,0时时当当 x . 2 1 cos1,1,)1ln( ,arctan,tan ,arcsin,sin 2 xxxexx xxxx xxxx x 替换条件：必须是因式相乘，相加不能用！ 如：实例 11教书育人 实例 例例. 2sin sintan lim 3 0

7、 x xx x 求求 解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 3 0 )2( lim x xx x 原式原式. 0 解解 ,0时时当当 x )cos1(tansintanxxxx , 2 1 3 x ,22sinxx 3 3 0 )2( 2 1 lim x x x 原式原式. 16 1 错错 12教书育人 洛必达法 )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax 洛必达法则 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式 一、一、 型未定式型未定式 0 0 13教书育人 实例 例例1. 求 . 1 23 lim 23 3 1 xxx xx x 解解: 原式