计算方法 14 欧拉公式-常微分方程

1、欧拉公式欧拉公式 常微分方程常微分方程 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 1 1 在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方 程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶 常微分方程的初值问题。常微分方程的初值问题。 我们知道，只要右端函数我们知道，只要右端函数 f(x,y) 适当光滑，如关适当光滑，如关 于于 y 满足满足利普希茨利普希茨条件条件 理论上就可以保证初值问题的解理论上就可以保证初值问题的解 y=y(x) 存

2、在并存在并 且唯一。且唯一。 微分方程数值解法微分方程数值解法 00 ( , ) () yf x y y xy ( , )( , )f x yf x yL yy 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 2 2 在在 处的导数处的导数 可以近似地表示成差商可以近似地表示成差商 用用 近似地代替近似地代替 ，可将初值问题离散化成，可将初值问题离散化成 为为 即即 以上公式称为以上公式称为显式欧拉公式显式欧拉公式。 为了不引起混淆为了不引起混淆 表示解表示解 在在 处处 的的精确值精确值，而，而 表示其表示其近似值

3、近似值。 显式欧拉公式显式欧拉公式 () nn xy x 11 1 ()()()() () nnnn n nn y xy xy xy x y x xxh () nn yy x 1 1 (,) (,) (0,1,) (1) nn nn nnnn yy f xy h yyhf xyn () ( ) nn n y xyy xx y 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 3 3 在显式欧拉公式中，除了在显式欧拉公式中，除了 外，有外，有 和和 。因此，用显式欧拉公式计算。因此，用显式欧拉公式计算 所得到点列的散点图

4、，是一条所得到点列的散点图，是一条近似欧拉折线近似欧拉折线。 显式欧拉公式几何意义显式欧拉公式几何意义 00 () () nn yy xyy x (,)() nnn f xyy x 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 4 4 在在 处的导数处的导数 ，可以近似表示成差商，可以近似表示成差商 用用 代替代替 ， 代替代替 ，可将初值，可将初值 问题离散化成为问题离散化成为 即即 以上公式称为以上公式称为隐式欧拉公式隐式欧拉公式。 隐式欧拉公式隐式欧拉公式 11 () nn xy x 1 1 ()() ()

5、nn n y xy x y x h 11 () () nnnn yy xyy x 1 11 111 (,) (,) (2) nn nn nnnn yy f xy h yyhf xy 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 5 5 公式公式 (1) 和和 (2) 均为欧拉公式，但有本质的区均为欧拉公式，但有本质的区 别。式别。式 (1) 是关于是关于 的一个可直接进行的计算的一个可直接进行的计算 公式，这类公式称作公式，这类公式称作显式显式的；而式的；而式 (2) 的右端含的右端含 有未知的有未知的 ，它实际上

6、是一个关于，它实际上是一个关于 的计算的计算 方程，这类公式称作方程，这类公式称作隐式隐式的。的。 欧拉公式欧拉公式 1n y 1n y 1n y 1 111 (,) (0,1,) (1) (,) (0,1,) (2) nnnn nnnn yyhf xyn yyhf xyn 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 6 6 隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用 显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为：显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为： 因为因为 这里，这里，

7、L 是是 f(x,y) 关于关于 y 的利普希茨常数，如果的利普希茨常数，如果 选取选取 h 充分小，使得充分小，使得 hL1，则当，则当 时，有时，有 ，这说明以上迭代公式是，这说明以上迭代公式是收敛收敛的。的。 欧拉公式欧拉公式 (0) 1 (1)(1) 111 (,) (0,1,) (,) nnnn kk nnnn yyhf xy k yyhf xy (1)( ) 111111 ( ) 11 =(,)(,) kk nnnnnn k nn yyh f xyf xy hL yy k (1) 11 k nn yy 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科

8、技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 7 7 对方程对方程 从从 到到 积分，得积分，得 利用数值积分中的梯形公式利用数值积分中的梯形公式 并将式中的并将式中的 用用 代替，代替， 用用 代替代替 可导出可导出 称此公式为称此公式为梯形公式梯形公式。容易看出，梯形公式实际。容易看出，梯形公式实际 是是显式显式和和隐式隐式欧拉公式的欧拉公式的算术平均算术平均。 梯形公式梯形公式 ( , ) nn yf x yxy 1 1 ()(), ( ) d n n x nn x y xy xf t y tt 1 11 , ( ) d, (), () 2 n n x nnnn x h f t y tt

9、fxy xfxy x 11 () () nnnn y xyy xy 111 , 2 nnnnnn h yyfxyfxy 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 8 8 可以不难看到，梯形公式虽然可以不难看到，梯形公式虽然提高了精度提高了精度，但其，但其 算法复杂算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算时，每，在应用迭代公式进行实际计算时，每 迭代一次，都要重新计算函数迭代一次，都要重新计算函数 f(x,y) 的值，而迭的值，而迭 代又要反复进行若干次，代又要反复进行若干次，计算量很大计算量很大。为了控制。为了控制

10、 计算量，计算量，通常只迭代一次就转入下一步的计算通常只迭代一次就转入下一步的计算， 这样就这样就简化了算法简化了算法。 改进的欧拉公式改进的欧拉公式 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 9 9 具体的说，先用显式欧拉公式求得具体的说，先用显式欧拉公式求得 的近似的近似 值值 ，称这个值为，称这个值为预报值预报值，预报值的精度可能，预报值的精度可能 较差，再将该预报值代入梯形公式，求得较差，再将该预报值代入梯形公式，求得 ， 称这个值为称这个值为校正值校正值，校正值的精度会有所提高，校正值的精度会有所提高

11、， 如此建立的计算公式称为如此建立的计算公式称为改进的欧拉公式改进的欧拉公式。 改进的欧拉公式改进的欧拉公式 1n y 1n y 1n y 1 111 (,) , 2 nnnn nnnnnn yyhf xy h yyfxyfxy 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 1010 在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下 形式：形式： 预报：预报： 校正：校正： 改进：改进： 改进的欧拉公式改进的欧拉公式 1 111 (,) , 2 nnnn nnnnnn yyhf

12、xy h yyfxyfxy (,) pnnn yyhf xy 1 (,) cnnp yyhf xy 1 1 2 npc yyy 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 1111 例题例题 例：例：利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值 问题，其中步长问题，其中步长 。 , 0,0.6 (0)0 yxyx y 0.1h 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 1212 解：解： 欧拉计算公

13、式：欧拉计算公式： 改进欧拉计算公式：改进欧拉计算公式： 例题例题 0 ( , ) 0 0.1 f x yxy y h 1 0.10.9(0,1,2,6) iii yxy i 1 111 0.10.9 (0,1,2,6) 0.05 ()() iii iiiiii yxy i yyxyxy 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 1313 解：解：计算结果如表所示。计算结果如表所示。 例题例题 0.00000.0000000.0000000.0000000.000000 0.10000.0000000.0048

14、370.005000-0.000163 0.20000.0100000.0087310.019025-0.000294 0.30000.0290000.0118180.041218-0.000400 0.40000.0561000.0142200.070802-0.000482 0.50000.0904900.0160410.107076-0.000545 0.60000.1314410.0173710.149404-0.000592 () () () () iiiiiii xyy xyyy xy 欧欧拉拉改改进进欧欧拉拉 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 1414 例题例题 例：例：利用欧拉方法求以下公式在给出点处的近似利用欧拉方法求以下公式在给出点处的近似 值（取值（取 ）。）。 2 0 ( ) 0.5,1.0,1.5,2.0 x t y xedt x 0.5h 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院 1515 解：解