第三章 静定结构内力计算

1、第三章第三章 静定结构的静定结构的 内力分析内力分析 补充说明：补充说明： 2 2、线性变形体系特点：、线性变形体系特点： 1 1、定义：、定义： 本课程研究的结构均属于线性变形体系。本课程研究的结构均属于线性变形体系。 1 1）外荷载与位移呈线性关系。）外荷载与位移呈线性关系。 2 2）内力和位移的计算均满足叠加原理。）内力和位移的计算均满足叠加原理。 1 1）只发生弹性变形。因此，变形是微小的；）只发生弹性变形。因此，变形是微小的； 2 2）应力）应力-应变关系满足胡克定律，即应变关系满足胡克定律，即 。E 满足如上两条假设的体系称为线性变形体系。满足如上两条假设的体系称为线性变形体系。

2、3.1 3.1 概述概述 一、静定结构的特征一、静定结构的特征 2. 2. 受力特征：受力特征：在任意的荷载作用下，静定结构的在任意的荷载作用下，静定结构的 全部约束反力和内力都可以由静力平衡条件全部约束反力和内力都可以由静力平衡条件唯一确唯一确 定定。 1. 1. 几何特征：几何特征：无多余约束的几何不变体系。无多余约束的几何不变体系。 二、静定结构内力计算目的二、静定结构内力计算目的 三、本章研究对象三、本章研究对象 1. 1. 解决静定结构强度校核问题。解决静定结构强度校核问题。 2. 2. 静定结构位移计算的必要基础。静定结构位移计算的必要基础。 3. 3. 超静定结构内力计算必要基础

3、。超静定结构内力计算必要基础。 内力：杆件任一截面上的轴力、剪力和弯矩。内力：杆件任一截面上的轴力、剪力和弯矩。 内力分析：计算荷载作用下结构的反力和内力，内力分析：计算荷载作用下结构的反力和内力， 并绘出结构的内力图。并绘出结构的内力图。 静定梁；静定梁； 静定刚架；静定刚架； 三铰拱；三铰拱； 静定桁架；静定桁架； 静定组合结构。静定组合结构。 四、知识回顾四、知识回顾 1 1、杆件内力符号规定、杆件内力符号规定 轴力轴力 ：以拉力为正，压力为负；：以拉力为正，压力为负； 剪力剪力 ：使该截面所在的脱离体有顺时针转动趋：使该截面所在的脱离体有顺时针转动趋 势时为正，反之为负；势时为正，反之

4、为负； 弯矩弯矩 ：正、负号无统一规定。对梁和拱，习惯：正、负号无统一规定。对梁和拱，习惯 上假定使杆件下侧纤维受拉时为正，反之为负。上假定使杆件下侧纤维受拉时为正，反之为负。 N F Q F M 轴力、剪力轴力、剪力 符号规定符号规定 梁、拱的弯梁、拱的弯 矩符号通常矩符号通常 假定使下侧假定使下侧 受拉为正受拉为正 2 2、杆件任一截面上内力的计算、杆件任一截面上内力的计算-截面法截面法 0,0,0XYM 由此就可求得杆件任一截面上的内力。由此就可求得杆件任一截面上的内力。 沿计算截面用一假想截面将构件切开，任取一侧沿计算截面用一假想截面将构件切开，任取一侧 脱离体为研究对象，利用脱离体的

5、静力平衡条脱离体为研究对象，利用脱离体的静力平衡条 件，件，可建立三个平衡方程：可建立三个平衡方程： 注意：注意： 脱离体要与周围的约束全部断开，并用相应的约束力脱离体要与周围的约束全部断开，并用相应的约束力 代替。代替。例如，去掉辊轴支座、铰支座、固定支座时应例如，去掉辊轴支座、铰支座、固定支座时应 分别添加一个、二个以及三个支座反力，等等。分别添加一个、二个以及三个支座反力，等等。 脱离体上的荷载、约束力不能遗漏。脱离体上的荷载、约束力不能遗漏。未知力一般假设未知力一般假设 为正号方向。为正号方向。 对平面杆件结构，杆件截面内力一般有弯矩、剪力和对平面杆件结构，杆件截面内力一般有弯矩、剪力

6、和 轴力。轴力。 例例1 1 如图如图3.2a3.2a所示简支梁，试计算支座反力以及所示简支梁，试计算支座反力以及C C截面上的内截面上的内 力。力。 解：解：step1step1：求支座反力：求支座反力 （1 1）取脱离体：取整个梁为脱离体并假设支座反力方向如）取脱离体：取整个梁为脱离体并假设支座反力方向如 图所示；图所示； （2 2）利用静力平衡方程求支座反力；）利用静力平衡方程求支座反力； 技巧：技巧：“求谁不管谁求谁不管谁”：不考虑待求未知力，而考虑：不考虑待求未知力，而考虑 其其 它未知力有什么特点，具体分为下面两种情况：它未知力有什么特点，具体分为下面两种情况： （a a）其余未知

7、力平行，在其垂直方向投影。）其余未知力平行，在其垂直方向投影。 （b b）其余未知力汇交于一点，对该点取矩。）其余未知力汇交于一点，对该点取矩。 0; 11 0, 0, 22 1 0 0, 0, 2 A AA B B AB X Y lqllYql YYqlYYl M q X step2step2：求指定截面内力：求指定截面内力 （1 1）取脱离体：从指定）取脱离体：从指定c c截面截开梁，取左半脱离体为截面截开梁，取左半脱离体为 研究对象，受力如图所示：研究对象，受力如图所示： （2 2）利用静力平衡方程求截面内力）利用静力平衡方程求截面内力。 0,0 CA NXX 0,10, CAAC YY

8、qQQYq 2 1 0,110, 2 1 2 CCBCB MMqYMqY , yx dQ q dx dN q d dM Q dxx N M Q Md Md M Qd Qd Q Nd Nd N dx qx qy 3 3、直杆内力的微分关系、直杆内力的微分关系 由平衡方程得由平衡方程得 梁上的梁上的 外力情外力情 况况 集中力集中力 作用处作用处 集中力偶集中力偶 M M 作用作用 处处 均布荷载均布荷载 作用区段作用区段 无横向荷无横向荷 载作用区载作用区 段段 铰结点处铰结点处 弯矩图弯矩图有尖角有尖角 有突变有突变（ 突变值突变值= M） 二次抛物二次抛物 线线 一般为斜一般为斜 直线直线

9、为零为零 剪力图剪力图 有突变有突变（ 突变值突变值= = ） 无变化无变化斜直线斜直线水平线水平线无影响无影响 p F p F 4、直杆内力图的形状特征直杆内力图的形状特征 根据荷载、剪力和弯矩间的微分关系，以及杆件在集根据荷载、剪力和弯矩间的微分关系，以及杆件在集 中力和集中力偶作用下，截面两侧内力的变化规律，总结中力和集中力偶作用下，截面两侧内力的变化规律，总结 出出直杆内力图的形状特征直杆内力图的形状特征如下表所示：如下表所示： 五、静定结构内力分析静定结构内力分析 从几何组成来看，静定结构主要有四种型式：从几何组成来看，静定结构主要有四种型式： 悬臂式、简支式、三铰式、组合式悬臂式、

10、简支式、三铰式、组合式。 先分析几何组成，再根据结构的组成特点先分析几何组成，再根据结构的组成特点 确定受力分析的合理途径。确定受力分析的合理途径。 1 1、几何组成分析、几何组成分析 一端一端用固定支座用固定支座固定在基础上，另外端自由的结固定在基础上，另外端自由的结 构。构。 （一）悬臂结构一）悬臂结构 通过通过一铰、一链杆一铰、一链杆或或三根链杆三根链杆与基础相连的结构。与基础相连的结构。 （二）简支结构（二）简支结构 若结构体系（不含基础）有两个刚片，其若结构体系（不含基础）有两个刚片，其与基础与基础 的连接满足三刚片法则的连接满足三刚片法则，则称该体系为三铰结，则称该体系为三铰结 构

11、。构。 （三）三铰结构（三）三铰结构 多次运用几何不变体系的简单组成规则构成的结多次运用几何不变体系的简单组成规则构成的结 构。构。 （四）组合结构（四）组合结构 2 2、静定结构内力分析（、静定结构内力分析（即绘制内力图即绘制内力图） 方法方法 有三种常用的绘制内力图的方法。有三种常用的绘制内力图的方法。 （1 1）列内力方程法：）列内力方程法：适用于简单体系。适用于简单体系。列内力方程法：把某一截面的内力表示为该截面列内力方程法：把某一截面的内力表示为该截面 位置的函数，然后把坐标值代入，就可求出内力位置的函数，然后把坐标值代入，就可求出内力 值并绘内力图。值并绘内力图。 q A B l

12、例：用列内力方程方法作图示梁内力图。例：用列内力方程方法作图示梁内力图。 22 1 )(, 0 2 1 )(, 0 0)(, 0 x qxqlxxMM qxqlxQY xNX )(2/ ),(2/, 0 qlV qlVH B AA 解解: : 2 8 1 ql ql 2 1 ql 2 1 （2 2）叠加法：）叠加法：利用线性变形体系的内力计算满足利用线性变形体系的内力计算满足 叠加原理作内力图。叠加原理作内力图。 比如，可以利用叠加法绘制简支梁在均布荷载以及两比如，可以利用叠加法绘制简支梁在均布荷载以及两 端各受一个集中力偶作用下的弯矩图。端各受一个集中力偶作用下的弯矩图。 （3 3）控制截面

13、法：）控制截面法：适用于任何复杂体系，比较简适用于任何复杂体系，比较简 捷，经常使用。捷，经常使用。 在以后的学习中，必须采用控制截面法作结构的在以后的学习中，必须采用控制截面法作结构的 内力图！内力图！ 3.2 3.2 静定梁静定梁 静定梁包括单跨静定梁和多跨静定梁。静定梁包括单跨静定梁和多跨静定梁。 3.2.1 3.2.1 单跨静定梁单跨静定梁 一、概述一、概述 1 1、定义：、定义：梁和地基按照两刚片法则组成的静定结构。梁和地基按照两刚片法则组成的静定结构。 2 2、单跨静定梁的结构形式：水平梁、斜梁及曲梁。、单跨静定梁的结构形式：水平梁、斜梁及曲梁。 水平梁水平梁（杆轴线（杆轴线 为直

14、线，且沿水为直线，且沿水 平方向）平方向） 斜梁斜梁（杆轴线为（杆轴线为 直线，且倾斜）直线，且倾斜） 曲梁曲梁（杆轴线为（杆轴线为 曲线）曲线） 3 3、单跨静定梁的基本形式：悬臂梁、简支梁、外伸、单跨静定梁的基本形式：悬臂梁、简支梁、外伸 梁。梁。 4 4、计算特点：、计算特点：梁的支座反力可由整体的三个静力平梁的支座反力可由整体的三个静力平 衡方程计算得到。衡方程计算得到。 悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁 二、单跨静定梁的内力分析二、单跨静定梁的内力分析 （2 2）熟记几种常见单跨梁的弯矩图，）熟记几种常见单跨梁的弯矩图，如悬臂梁、简如悬臂梁、简 支梁等。特别记住简支梁在均布荷载、

15、集中力以及集支梁等。特别记住简支梁在均布荷载、集中力以及集 中力偶作用下的弯矩图。中力偶作用下的弯矩图。 弯矩图弯矩图-习惯绘在杆件受拉侧，不需标正负号；习惯绘在杆件受拉侧，不需标正负号； 轴力图、剪力图轴力图、剪力图-可绘在杆件任一侧，但需标明正可绘在杆件任一侧，但需标明正 负号。负号。 （1 1）绘制内力图的规定）绘制内力图的规定 1. 1. 预备知识预备知识 （1） （2） （3） 梁长均为梁长均为L L 2 2、如何快速绘制内力图、如何快速绘制内力图-控制截面法控制截面法 （2 2）选取选取一些关键点所对应的截面作为一些关键点所对应的截面作为控制截面控制截面。 一般取：一般取：各杆杆端

16、截面；各杆杆端截面；集中力集中力集中力偶作用点、集中力偶作用点、 分布荷载的起点和终点；分布荷载的起点和终点；支座的约束点支座的约束点（即出现支（即出现支 座的地方）座的地方）、杆件连接方式有变化的地方、杆件连接方式有变化的地方（如出现铰（如出现铰 结点、组合结点）结点、组合结点）；杆件截面的变化点杆件截面的变化点等为控制截等为控制截 面。面。 （1 1）求支座反力。）求支座反力。 控制截面法作内力图的基本步骤：控制截面法作内力图的基本步骤： （3 3）以各控制截面为对象，选取适当的隔离体）以各控制截面为对象，选取适当的隔离体求求 控制截面的内力控制截面的内力，并在内力图上标出内力的竖坐，并在

17、内力图上标出内力的竖坐 标。标。 （4 4）根据各段梁的内力图形状，）根据各段梁的内力图形状，将控制截面的竖将控制截面的竖 坐标以相应的直线或曲线相连坐标以相应的直线或曲线相连。 注意：对控制截面间有荷载作用的情况，弯矩图用注意：对控制截面间有荷载作用的情况，弯矩图用 叠加法作。叠加法作。 3.2.3 3.2.3 多跨静定梁多跨静定梁 一、概述一、概述 1 1、定义：、定义：若干根梁用铰相联组成的静定结构。若干根梁用铰相联组成的静定结构。 2 2、应用：、应用：主要应用于主要应用于公路桥梁结构公路桥梁结构、渡槽结构等渡槽结构等。 桥 墩 多跨静定梁主要有以下两种形式：多跨静定梁主要有以下两种形

18、式： 3 3、特点：、特点： 1 1）属于组合结构（即运用）属于组合结构（即运用2 2次或次或2 2次以上几何组成规则次以上几何组成规则 构成的结构）。构成的结构）。 2 2）在竖向荷载作用下，内力只有剪力与弯矩。）在竖向荷载作用下，内力只有剪力与弯矩。 4 4、基本类型：、基本类型： （a） （b） 根据多跨超静定梁的几何组成规则，可以将各部分区分根据多跨超静定梁的几何组成规则，可以将各部分区分 为为基本部分基本部分和和附属部分附属部分。 基本部分基本部分-不依赖其它部分而能不依赖其它部分而能独立独立地维持其几何地维持其几何 不变性的部分。不变性的部分。 1 1）ACAC梁：梁：直接与基础形

19、成直接与基础形成几何不变体系，它的几何不变几何不变体系，它的几何不变 性不受性不受CECE和和EFEF影响，是该多跨静定梁的影响，是该多跨静定梁的基本部分基本部分； （a） 附属部分附属部分-依赖依赖基本部分的存在才能维持几何不变基本部分的存在才能维持几何不变 性的部分。性的部分。 3 3）EFEF梁：梁：需依赖基本部分需依赖基本部分ACAC以及附属部分以及附属部分CECE才能维持自才能维持自 身的几何不变性，是身的几何不变性，是附属部分附属部分。 2 2）CECE梁：梁：需依赖需依赖ACAC才能维持自身的几何不变性，该多跨才能维持自身的几何不变性，该多跨 静定梁的静定梁的附属部分附属部分；

20、支承关系图支承关系图 为了更清晰地表示各部分之间的支持依从关系，可以为了更清晰地表示各部分之间的支持依从关系，可以 把基本部分画在下层，而把附属部分画在上层，如图把基本部分画在下层，而把附属部分画在上层，如图 （a1a1）所示，称为支承关系图。）所示，称为支承关系图。 （a1） （a） 由基本部分与附属部分的定义知，由基本部分与附属部分的定义知，若附属部分被破坏若附属部分被破坏 或撤除，基本部分仍能维持其几何不变性；反之，若或撤除，基本部分仍能维持其几何不变性；反之，若 基本部分被破坏，则附属部分必随之跨塌破坏。基本部分被破坏，则附属部分必随之跨塌破坏。 1 1）作用在附属部分上的荷载不仅使附

21、属部分产生内）作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内 力，而且还会使基本部分也产生内力。力，而且还会使基本部分也产生内力。 2 2）作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生）作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生 内力，对附属部分没有影响。内力，对附属部分没有影响。 注意：注意： 支承关系图支承关系图 1 1）ACAC伸臂梁：直接与地基形成几何不变体系，是该静定伸臂梁：直接与地基形成几何不变体系，是该静定 梁的梁的基本部分基本部分。 （b1b1） （b b） 3 3）CDCD悬跨梁：须依靠悬跨梁：须依靠ACAC、DFDF这两个基本部分，才能保证这两个基本部分，才能保证 其几何不变性，其几

22、何不变性，附属部分附属部分。 2 2）DFDF伸臂梁伸臂梁: : 它在竖向载荷作用下，仍能独立地维持平它在竖向载荷作用下，仍能独立地维持平 衡。因此，衡。因此，在在竖向载荷竖向载荷作用下，也可将它当作该静定梁作用下，也可将它当作该静定梁 的的基本部分基本部分。 注意：注意： 1 1）作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内）作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内 力，而且还会使基本部分也产生内力。力，而且还会使基本部分也产生内力。 2 2）作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生）作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生 内力，对附属部分没有影响。内力，对附属部分没有影响。 二、支座反力

23、、内力计算二、支座反力、内力计算 当荷载作用于附属部分时，不仅附属部分受力，当荷载作用于附属部分时，不仅附属部分受力， 而且由于它是支承在基本部分上的，其反力将通而且由于它是支承在基本部分上的，其反力将通 过铰结处传给基本部分，因而使基本部分受力。过铰结处传给基本部分，因而使基本部分受力。 1 1、支座反力计算、支座反力计算 计算多跨静定梁的顺序应该是先附属部分，后计算多跨静定梁的顺序应该是先附属部分，后 基本部分基本部分；即与几何组成的顺序相反，也就是说，；即与几何组成的顺序相反，也就是说， 后搭的要先计算后搭的要先计算。 2 2、内力计算、内力计算 （2 2）求支座反力：先求附属部分反力，

24、后求基本）求支座反力：先求附属部分反力，后求基本 部分反力。部分反力。 （3 3）内力计算（绘制弯矩图、剪力图）内力计算（绘制弯矩图、剪力图）: : 采用控制截面法绘制弯矩图：采用控制截面法绘制弯矩图： A.A.确定控制截面位置；确定控制截面位置； B. B.计算控制截面的弯矩；计算控制截面的弯矩； C. C.作内力图。作内力图。 步骤：步骤： （1 1）作几何组成分析，分清基本部分和附属部分。）作几何组成分析，分清基本部分和附属部分。 3.33.3 静定平面刚架静定平面刚架 一、概述一、概述 1 1、定义：、定义：刚架是刚架是 由若干梁和柱等直杆组成 由若干梁和柱等直杆组成的的 具 具 有刚

25、结点有刚结点的结构的结构。 注：刚架结构至少包含一个刚结点；若某个结构中注：刚架结构至少包含一个刚结点；若某个结构中 无刚结点，则此结构非刚架结构。无刚结点，则此结构非刚架结构。 无需斜向支撑联系，因而可以使结构内部具有无需斜向支撑联系，因而可以使结构内部具有 较大的净空间得以利用。较大的净空间得以利用。 2 2、应用、应用 在建筑工程中应用十分广泛，单层厂房、工业在建筑工程中应用十分广泛，单层厂房、工业 和民用建筑（如教学楼、图书馆、住宅等）；和民用建筑（如教学楼、图书馆、住宅等）；6 61515 层房屋建筑承重结构体系，它们的骨架主要就是刚层房屋建筑承重结构体系，它们的骨架主要就是刚 架。

26、架。 3 3、分类：、分类：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架、组合悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架、组合 刚架。刚架。 4 4、特点、特点 因为刚结点因为刚结点约束杆端发生相对转动约束杆端发生相对转动，因此因此能能 承受和传递弯矩承受和传递弯矩( (与铰相反与铰相反) )，从而有消减结构中，从而有消减结构中 弯矩的峰值的作用，这样就使得刚架内力分布相弯矩的峰值的作用，这样就使得刚架内力分布相 对变得更均匀一些，从而使材料的力学性能充分对变得更均匀一些，从而使材料的力学性能充分 发挥，达到节省材料的目的。发挥，达到节省材料的目的。 1 1）构造特征：）构造特征：具有刚结点。具有刚结点。 2 2）变形特征

27、：）变形特征：刚结点在刚架的变形中既产生线位刚结点在刚架的变形中既产生线位 移，又产生角位移，但各杆端不能产生相对移动移，又产生角位移，但各杆端不能产生相对移动 和相对转动和相对转动。 3 3）内力特征：）内力特征：刚架的杆件截面内力通常有弯矩、刚架的杆件截面内力通常有弯矩、 剪力和轴力。剪力和轴力。 二、刚架的内力计算及内力图的绘制二、刚架的内力计算及内力图的绘制 1 1内力计算步骤内力计算步骤 求支座反力；求支座反力； 将刚架拆成若干个杆件，将刚架拆成若干个杆件，取各杆杆端为控制截取各杆杆端为控制截 面面，用截面法求出各杆杆端的内，用截面法求出各杆杆端的内力。力。 2 2内力图的绘制内力图的绘制 求出各杆杆端弯矩后，根据直杆内力图的形状特求出各杆杆端弯矩后，根据直杆内力图的形