函数的单调性典型例题

1、函数的单调性及典型习题、函数的单调性1、定义:(1)设函数y f(x)的定义域为 a区间m a,如果取区间 m中的任意两个值 x1,x2,当改变 量x2 x1 0时，都有f(x2)f(xi)0 ,那么就称函数y f(x)在区间m上是增函数，如图(1)当改 变量x2 xi 0时，都有f(x2)e 0,那么就称函数 y f (x)在区间 m上是减函数，如图(2)图8 -胃注意：函数单调性定义中的 xi,x2有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调 区间.2、巩固概念：1、定义的另一种表示方法如果对于定义域i内某个区间 d上的任意两个自变量x1,x 2,若上皿一电) 0即x x2a 0

2、,则函数y=f(x)是增函数，若幺一32 0即1 0,则函数y=f(x)为减函数。 xx1 x2x判断题：1已知f(x)因为f( 1)f(2),所以函数f(x)是增函数.x若函数f(x)满足f(2)f(3)则函数f(x)在区间2,3上为增函数.若函数f (x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.11因为函数f(x)在区间 ，0),(0,)上都是减函数，所以f(x)一在 xx(,0)(0,)上是减函数.通过判断题，强调几点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数

3、)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。函数在定义域内的两个区间 a b上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在a b上是增(或减)函数.熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性.1 .函数y = f (x)与函数y=f (x)的单调性相反.12 .当f (x)恒为正或恒为负时，函数 y= f(x)与y=f (x)的单调性相反.3 .在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数等4 .判断函数单调性的方法(1)定义法.(2)直接法.运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数

4、的单 调性均可直接说出.(3)图象法.1例1、证明函数f(x) 在(0, + )是减函数.x练习1：证明函数f(x) vx在0,上是增函数.11 x例2、设函数f (x) = x 2+lg 1 x,试判断f (x)的单调性，并给出证明.例3、求下列函数的增区间与减区间(1)y =|x2+2x3|x2 2x(2)y =1 |x 1|(3)y = v x2 2x 3例4、函数f(x) = ax2(3a 1)x + a2在1, + 上是增函数，求实数 a的取值范围.例5、已知二次函数y=f(x)(x c r)的图像是一条开口向下且对称轴为x= 3的抛物线，试比较大小：f(6)与 f(41 (2)f(

5、2)与 f(a)例6、函数f (x) = | x |和g (x) = x (2 -x )的递增区间依次是a.(, 0, (, 1 b. (, 0, 1,) c. 0,), (, 1 d. 0,), 1,)例7、已知a、b是常数且aw0, f(x) ax2 bx ,且f(2) 0,并使方程f(x) x有等根.(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数 m n(m n),使f (x )的定义域和值域分别为m, n和2m, 2n?同步训练：一、选择题1 .下列函数中，在区间(0, 1)上为增函数的是2a. y=|x21| b . y= x c, y= 2x2x+1 d . y= | x| +1

6、2 .如果奇函数f (x)在区间3, 7上是增函数且最小值为5,那么f (x)在区间7, 3上是a.增函数且最小值为5 b .增函数且最大值为5c.减函数且最小值为 5 d .减函数且最大值为53 .若函数解析式为 y = f (x),则下列判断正确的是a、若 f (x)在(一8 ,0 )和(0, +oo)上均是增函数，则 f (x)在(一8 ,0 ) u ( 0, 十 8)上也是增函数b、若 f (x)在(一8 ,0)和(0, +oo)上均是减函数，则 f (x)在(一8,0) u ( 0,+ oo)上也是减函数c、若f (x)是偶函数，且在(0, +8)上是增函数，则 f(x)在(8, 0

7、)上也是增函 数d、若f(x)是奇函数，且在(0, +8)上是增函数，则 f(x)在(8 ,0)上是增函数 二、填空题4 .已知函数y=x2+2x+1在区间3, al上是增函数，则a的取值范围是 5 .设函数y=f (x)是定义在(一1,1)上的增函数，则函数 y = f(x21)的单调递减区间 是b6 .若函数y=ax,y= x在(0,十8)上都是减函数，则函数y=ax2+bx在(0,十8)上是 (填单调性).1三、解答题已知函数f(x)的定义域为r,且?t足f ( x) = f(x)0,又g(x)=f(x)+ c (c为常数)在a, b (av b=上是单调递减函数，判断并证明 g (x)在b, a上的 增减性.课后巩固：1、利用函数单调性定义证明函数 f(x)=- x3+1在(8, +oo)上是减函数.7 、.设f(x)是定义在r上的函数，xm、n r恒有f