随机变量的分布函数

1、 | xX x 一、定义：一、定义： 设设 X 是一个是一个 r.v，称，称 )()(xXPxF )(x 为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作 X F(x) 或或 FX(x). 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间的概率的概率.,(x 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什二者有什 么区别？么区别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？ X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量. F(x) 是是r.v X取值不大于取值

2、不大于 x 的概率的概率. xxXPxF),()( 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落，随机点落 在区间（在区间（ x1 , x2 的概率为：的概率为： P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函的分布函 数，数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述. xxXPxF),()( 分布函数是一个普通的函数，正是分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究研究 随机变量随机变量. xxXPx

3、F),()( 二、离散型二、离散型 r.v的分布函数的分布函数 设离散型设离散型r.vX 的概率分布列是的概率分布列是 P X=xk = pk , k =1,2,3, xx k k p 则则 F(x) = P(X x) = 由于由于F(x) 是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和，的概率之和， 故又称故又称 F(x) 为累积概率函数为累积概率函数. x 当当 x0 时，时， X x = ， 故故 F(x) =0 例例1. ，求，求 F(x). 当当 0 x 1 时，时， F(x) = P(X x) = P(X=0) = 3 1 F(x) = P(X x)解解: X 0 1 2 P 2

4、1 6 1 3 1 当当 1 x 2 时，时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + = 3 1 6 1 2 1 当当 x 2 时，时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 例例1. ，求，求 F(x). F(x) = P(X x) 解解: X 0 1 2 P 2 1 6 1 3 1 故故 注意右连续注意右连续 下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下. 2, 1 21, 2 1 10, 3 1 0, 0 )( x x x x xF 21 2121 1031 00 x x x x xF , ,/ ,/ , )( 概率函数图概率函数图

5、31 120 x )(xXP 61 21 1 31 2 1 120 x )(xXP 61 21 61 O O O 1 )(xF 分布函数图分布函数图 画画 分布函分布函 数图数图 X 0 1 2 P 2 1 6 1 3 1 不难看出，不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，的图形是阶梯状的图形， 在在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2). 31 2 1 120 x 61 21 61 O O O 1 )(xF 三、分布函数的性质三、分布函数的性质 (3) F(x) 非降，即若非降，即若 x1x2，则，则F(x1)

6、F(x2) ; (2) F( ) = F(x) = 0 x lim (4) F(x) 右连续，即右连续，即 )()(lim 0 0 xFxF xx 如果一个函数具有上述性质，则一定是某如果一个函数具有上述性质，则一定是某 个个r.v X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(4)是是 鉴别一个函数是否是某鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分的分布函数的充分 必要条件必要条件. F( ) = F(x) = 1 x lim (1) 0F(x)1, x+; 试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数. 例例2. 设有函数设有函数 F(x) 其它

7、0 0sin )( xx xF 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降， 不满足性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数. ,2 不满足性质不满足性质(2)， 可见可见F(x)也不也不能是能是r.v 的的 分布函数分布函数. 或者或者0)(lim)( xFF x 解：解： P66定理3.2.1 例例3.3.2 一个班有100名学生其中20岁 的 有30人，21岁的有40人，22岁的有30人。 现从班上任意挑选一名学生，是学生的是学生的 的年龄，求的年龄，求 的分布函数的分布函数 例3.2.3 在ABC中任取一点，设为该点 到底边AB 的距离。又已知AB上的高

8、位h， 求的分布函数F(x)及F(x)的导数，并画出 F(x)的图像。 例3.2.4 设是某台仪器从时刻零开始持 续工作的时间。假设在时刻t以前没有损坏， 而在时间间隔（t，t+t）中损坏的条件概 率为 求 的分布函数为。 有关的正值函数，是与t)(),()(tttt 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满 一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能不能 象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样, 以指定它取每以指定它取每 个值概率的方式个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度

9、函数”的的 方式方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法的描述方法. . 连续型随机变量、概率密度定义连续型随机变量、概率密度定义 设设F（x）是随机变量是随机变量X的分布函数，若存的分布函数，若存 在一个非负的函数在一个非负的函数f(x),对任何实数对任何实数x，有，有 ，则称，则称X为连续型随机为连续型随机 变量，同时称变量，同时称f(x)为为X的概率密度函数，简称概的概率密度函数，简称概 率密度。率密度。 dttfxF x )()( f (x) x o y 由定义知：由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x) 是连

10、续函数是连续函数. 2. 对对f(x)的连续点，有的连续点，有 )()( xfxF 由此由此 F(x)与与f(x)可以互推。可以互推。 概率密度函数的性质概率密度函数的性质 1.0)(xf 2. 1)(dxxf 这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个 函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的 概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. o f (x) x y 3 dxxfxFxFxXxP x x 2 1 1221 )()()()( f (x) x o y x1x2 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是 X落在区间落在区间 上的概率与区间长度

11、上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度. x ,(xxx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则： x xxXxP x )( lim 0 x )( lim 0 xx x x dttf =f(x) 4. 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:P79中中 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a 的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这但是，这 个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越 大大. 也可以说，

12、在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o 若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有： xxfxxXxP )( 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的 概率近似等于概率近似等于 . ,(xxx xxf)( xxf)(在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与 kk pxXP)(在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的 作用相类似作用相类似. 连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0. 即：即：, 0)( aXPa为任一指定值为任一指定值 这是因为

13、这是因为 需要指出的是需要指出的是: . 0),()( )()(0 xxaFaF aXxaPaXP 由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，由于连续型随机变量的分布函数是连续函数， 0 0 )()(limxaFaF x 从而从而P( X = a )=0. P( X = a )=0的充分必要条件是的充分必要条件是F( x )是是 连续函数。连续函数。任意任意aR。 由此得由此得， )()(bXaPbXaP )(bXaP 1) 对连续型对连续型 r.v X,有有 )(bXaP 2) 由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()( aXPdxxfaRXP 而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事

14、件 并非必然事件并非必然事件aRX 称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件. 可见，可见，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A 由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S 下面给出几个下面给出几个r.v的例子的例子. 由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的唯一被它的密度函数密度函数所确所确 定定. 所以，若已知密度函数，该连续型所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述. f (x) x o 解：解： 例例1. 设设r.v X 的密度函数为的密度函数为 f (x) 其它其它0, 111 2 xx A xf

15、, )( 求求 (1) A , (2) F(x) , (3) )( 2 1 2 1 XP （1）由性质）由性质2， 1 22 2 22 21 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 At t A dt tA tdt A dxx A dxxf tx ) sin ( cos cos)( sin A=2. 对对x 1， F (x) = 1 求求 F(x). 其它, 0 11,1 2 )( 2 xx xf 解：解： F(x) = P(X x) = x dttf)( (2) 1, 1 11, 2 1 arcsin 1 1 1, 0 )( 2 x xxx x x xF 即即 .)()() sin (

16、)( 2 3 3 1 2 1 2 1 2 21 1 2 2 1 2 1 6 6 2 1 2 1 2 FF t t dxxXP (3). x dttfxF)()( 大家一起来作下面的练习大家一起来作下面的练习. 求求 F(x). 其它, 0 21,2 10, )(xx xx xfX例例2 设设 由于由于f(x)是分段是分段 表达的，求表达的，求F(x)时时 注意分段求注意分段求. x dttfxF)()( = 0 1 x tdt 0 x dtttdt 1 1 0 )2( 0 x 10 x 21 x 2x F(x) 其它, 0 21,2 10, )(xx xx xfX 对连续型对连续型r.v，若已

17、知，若已知F(x)，我们通过求导我们通过求导 也可求出也可求出 f (x)，请看下例请看下例. 2, 1 21, 2 12 10, 2 0, 0 )( 2 2 x x x x x x x xF 即即 11 10 00 2 x xx x xF , , , )( 例例3 设设r.vX的分布函数为的分布函数为 (1) 求求X取值在区间取值在区间 (0.3,0.7)的概率；的概率； (2) 求求X的概率密度的概率密度. 解解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4 dx xdF)( (2) f(x)= 注意到注意到F(x)在在1处导数不存在，根据改变被积

18、函数处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定没意义的点处，任意规定 的值的值.)(x F )(x F 其它, 0 10,2xx 几种重要的连续型随机变量几种重要的连续型随机变量 均匀分布均匀分布 （1）若）若 r.vX的概率密度为：的概率密度为： 则称则称X服从区间服从区间 a, b 上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作： X U(a, b) )(xf ab )( , , )(ba bxa ab xf 其其它它0 1 它的实际背景是：它的实际背景是： r.v X 取值在区间取值在区间a, b

19、上，上， 并且取值在并且取值在a, b中任意小区间内的概率与这个中任意小区间内的概率与这个 小区间的长度成正比小区间的长度成正比.则则 X 具有具有a,b上的上的均匀均匀 分布分布. 分布函数为分布函数为: ., 1 , , 0 )( bx bxa ab ax ax xF f(x)0, 1 1 b a dx ab dxxf)( 满足概率密度性质。满足概率密度性质。 若若XU a, b, (x1, x2)为为a, b的任意子区间，则的任意子区间，则 )()( 1221 112 1 xx ab dx ab xXxP x x 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽 车停

20、车站的时间，即乘客的候车时间等车停车站的时间，即乘客的候车时间等. 均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数 点后某一位小数引入的误差；点后某一位小数引入的误差； 例例4. 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来分钟来 一班车，即一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是是 7:00 到到 7:30 之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量, 试求他候车试求他候车 时间少于时间少于5 分钟

21、的概率分钟的概率. 解：解： 依题意，依题意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00为起点为起点0，以分为单位，以分为单位 其它, 0 300, 30 1 )( x xf 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到之间到 达车站达车站. 所求概率为：所求概率为： 从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站， 30251510XPXP 其它, 0 300, 30 1 )( x xf 3 1 30 1 30 1 30 25 15 10 dxdx 即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3. 例例5. 设设K在在0，5上服从均匀分布，上服从均匀分布， 求方程求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。有实根的概率。 解：解： KU0，5， 其其他他。, ,