第2章 图像几何变换

1、第1页第2讲 第第2 2章章 图像几何变换图像几何变换 2.0 成像几何 2.1 像素间联系 2.2 基本坐标变换 2.3 形态变换 2.4 几何失真校正 第2页第2讲 2.0 成像几何 1、投影投影变换变换 将3-D客观场景投影到2-D图像平面 成像过程成像过程 三个坐标系统： 1）世界坐标系统 XYZ 2）摄像机坐标系统 xyz 3）图像平面 xy 从 XYZ 到 xyz，从 xyz 到 xy 第3页第2讲 2.0 成像几何 透视变换透视变换 3-D点投影后的图像平面坐标 非线性投影等式（分母含变量Z） Z X x Z Y y 第4页第2讲 2.1 像素间联系像素间联系 2.1.1 像素的

2、邻域 2.1.2 像素间的邻接，连接和连通 2.1.3 像素间的距离 第5页第2讲 2.1.1 像素的邻域 像素的邻域像素的邻域 4-邻域N4(p)： 对角邻域ND(p)： 8-邻域N8(p)： pr rs ss r s r p r r rr p s s s s 第6页第2讲 2.1.2 像素间的连接 （adjacency, 邻接）vs. (connectivity, 连接) 邻接：邻接：邻接仅考虑像素间的空间关系 连接连接：两个像素是否连接取决于下面2条件： (1) 是否接触（邻接） (2) 灰度值是否满足某个特定的相似准 则（同在一个灰度值集合中取值） 第7页第2讲 像素间的连接方式 3

3、3种连接种连接 (1) 4-连接： 2个像素 p 和 r 在V 中取值且 r 在N4(p)中 (2) 8-连接： 2个像素 p 和 r 在V 中取值且 r 在N8(p)中 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 第8页第2讲 像素间的连接方式 3 3种连接种连接 (3) m-连接（混合连接）： 2个像素 p 和 r 在V 中取值 且满足下列条件之一 r 在N4(p)中 r 在ND(p)中且集合N4(p)N4(r)不包含V中取值 （这个集合是由 p 和 r 的在V中取值的 4-连接像素组成的） 第9页第2讲 像素间的连接方式 3 3种连接种连接 混合连接的应用：消

4、除8-连接可能产生的歧义性 原始图 8-连接 m-连接 第10页第2讲 像素间的连通 通路：通路：由一系列依次连接的像素组成 从具有坐标(x, y)的像素p到具有坐标(s, t)的像素q的 一条通路由一系列具有坐标(x0, y0)，(x1, y1)，(xn, yn)的 独立像素组成。这里(x0, y0) = (x, y)，(xn, yn) = (s, t)，且(xi, yi)与与(xi-1, yi-1)邻接邻接，其中1 i n，n为通路长度 ； 连通连通：连接是连通的一种特例，若通路上的所有像素灰 度值均满足连接特性的相似准则，则p和q是连通的。 第11页第2讲 0 1 1 1 0 0 0 0

5、 0 像素集合的邻接，连接和连通 像素集合的邻接和连通像素集合的邻接和连通 对2个图像子集 S 和 T 来说，如果S中的一个或一些 像素与 T 中的一个或一些像素邻接，则可以说2个图像子集 S 和 T 是邻接的。 完全在一个图像子集中的像素组成的通路上的像素 集合构成该图像子集中的一个连通组元。 如果 S 中只有1个连通组元，即 S 中所有像素都互相 连通，则称 S 是一个连通集。 S T 第12页第2讲 2.1.3 像素间的距离 像素在空间中的接近程度可用像素在空间中的接近程度可用像素间的距离像素间的距离测量测量。 设有3个像素p，q，r，坐标(x, y)，(s, t)，(u, v) 距离距

6、离量度量度函数需满足下面三个条件：函数需满足下面三个条件： (1) 两个像素之间的距离总是正的 (2) 距离与起终点的选择无关 (3) 最短距离是沿直线的 )0),(qpqpD当且仅当 ),(),(pqDqpD ),(),(),(rqDqpDrpD 0),(qpD 第13页第2讲 2.1.3 像素间的距离 距离量度距离量度函数（点函数（点p(x,y),q(s,t) (1) 欧氏（Euclidean）距离 (2) 城区（city-block）距离(pq间的D4距离） (3) 棋盘（chessboard）距离(pq间的D8距离） 2/1 22 E )()(),(tysxqpD ),( 4 tysx

7、qpD ) , ( max),( 8 tysxqpD 第14页第2讲 2.1.3 像素间的距离 距离量度距离量度函数，对函数，对p(0,0),q(4,3)两点两点 距离计算示例距离计算示例 DE = 5 D4 = 7 D8 = 4 第15页第2讲 2.1.3 像素间的距离 距离量度函数距离量度函数 等距离轮廓图案等距离轮廓图案 D4距离 D8距离 3 323 32123 3210123 32123 323 3 22222 21112 21012 21112 22222 第16页第2讲 2.1.3 像素间的距离 范数和距离范数和距离 w w w dxxff /1 )( w ww w tysxqp

8、D /1 ),( 函数f(x)的范数： Minkowski距离公式： 第17页第2讲 2.1.3 像素间的距离 用距离定义邻域用距离定义邻域 考虑在空间点 (xp, yp)的像素 p 4-邻域N4(p) 8-邻域N8(p) 1),( )( 44 rpDrpN 1),( )( 88 rpDrpN 第18页第2讲 2.2 基本坐标变换基本坐标变换 2.2.1图像坐标变换 2.2.2坐标变换讨论 Avv 第19页第2讲 2.2.1 图像坐标变换 坐标坐标变换示例：变换示例：平移变换 0 0 0 ZZZ YYY XXX 1 100 010 001 0 0 0 Z Y X Z Y X Z Y X 1 1

9、000 100 010 001 1 0 0 0 Z Y X Z Y X Z Y X 矩阵形式矩阵形式 齐次形式齐次形式 Avv 第20页第2讲 2.2.1 图像坐标变换 旋转变换（绕旋转变换（绕X轴，轴，Y轴，轴，Z轴）轴） 1000 0cossin0 0sincos0 0001 R 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos R 1000 0100 00cossin 00sincos R 第21页第2讲 2.2.2 坐标变换讨论 变换级连变换级连 对一个坐标为 v 的点的平移、放缩、绕 Z 轴 旋转变换可表示为： 用单个变换矩阵的方法可对点矩阵v 变换 这些矩阵的运算次序一般不可

10、互换次序一般不可互换 AvTvSRv)( 第22页第2讲 2.2.2 坐标变换讨论 变换变换的的推广推广( (3-点映射变换) )：将一个三角形映射 为另一个三角形，而将一个矩形映射为一个平行 四边形; 拉伸拉伸(stretch):一个方向放大，其正交方向缩小； 剪切剪切(shearing)：仅水平或垂直坐标之一发生平移 ； 第23页第2讲 2.2.2 坐标变换讨论 坐标坐标变换变换 反变换 100 10 01 0 0 1 y x T 100 010 001 1 y x S S S 100 0cossin 0sin-cos 100 0)cos()sin( 0)sin()cos( 1- R R

11、第24页第2讲 2.3 形态变换形态变换 2.3.1变换体系 2.3.2一般仿射变换 2.3.3特殊仿射变换 2.3.4变换的层次 第25页第2讲 2.3.1 变换体系 形态变换形态变换 将平面区域映射到平面区域 (1)将一个组合区域映射为另一个组合区域 (2)将单个区域映射为一个组合区域 (3)将一个组合区域映射为单个区域 第26页第2讲 2.3.1 变换体系 投影变换投影变换 q = Hp z y x z y x p p p hhh hhh hhh q q q 333231 232221 131211 第27页第2讲 2.3.1 变换体系 投影变换投影变换 通用的非奇异齐次线性变换 A是一

12、个22的非奇异矩阵，t是一个21的矢量， 而矢量v = v1, v2T 其中矩阵H只能定义一个比例因子，可用8个独立的 参数表示，因此，一个投影变换共有8个自由度（degrees of freedom，dof），可根据4组点的对应性来计算 。 p v tA pHq u T P 第28页第2讲 2.3.2 一般仿射变换 仿射变换仿射变换 一个非奇异线性变换接上一个平移变换 一个平面上的仿射变换有6个自由度 11001 2221 1211 y x y x y x p p taa taa q q p 0 tA pHq 1 T A 第29页第2讲 2.3.2 一般仿射变换 仿射变换仿射变换 线性分量A

13、可考虑成两个基本变换的组合：旋转和非 各向同性放缩 ： )()()(DRRRA 2 1 0 0 D 第30页第2讲 2.3.2 一般仿射变换 仿射变仿射变换的性质：换的性质： (1)仿射变换将有限点映射为将有限点映射为有限点（一对一）有限点（一对一） (2)仿射变换将直线映射为直线将直线映射为直线 (3)仿射变换将平行直线映射为平行直线将平行直线映射为平行直线 (4)当区域P和Q是没有退化的三角形（即面 积不为零），那么存在一个唯一的仿射变换存在一个唯一的仿射变换A可将可将P 映射为映射为Q，即Q = A(P) （5） 仿射变换会导致区域面积的变化会导致区域面积的变化 第31页第2讲 2.3.

14、3 特殊仿射变换 1.相似变换相似变换 s ( 0)表示各向同性放缩，R是一个特殊的2 2正交 矩阵（RTR = RRT = I），对应这里的旋转。典型特例为纯旋 转（此时t = 0）和纯平移（此时R = I） 。 1100 cossin sincos 1 y x y x y x p p tss tss q q p 0 tR pHq 1 T S s 矩阵表达：矩阵表达： 分块矩阵：分块矩阵： 第32页第2讲 2.3.3 特殊仿射变换 相似变换的性质：相似变换的性质： 保形性（保持形状）或保角性 相似变换可以保持两条曲线在交点处的角度 平面上的相似变换有4个自由度，所以可根 据2组点的对应性来计

15、算。 （没有非各向同性放缩 ） 01234-1-2-3-4-55 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 第33页第2讲 2.3.3 特殊仿射变换 2.等距变换等距变换 等距（isometry）指在2-D空间中保持 两点间 所有距离（iso表示相同，metric表示测度） e = 1，那么等距还能保持朝向且是欧氏变换。e = 1，将反 转朝向，即变换矩阵相当于一个镜像与一个欧氏变换的组合 1100 cossin sincos 1 y x tee tee y x y x p 0 tR pq 1 T I H 第34页第2讲 2.3.3 特殊仿射变换 等距变换T能保持区域中两个点间的所

16、有距离 给定两个点p1, p2 P， 距离d1,2 = dist(p1, p2)，那么 必有distT(p1), T(p2) = d1,2 （相似变换中的 s = 1） 01234-1-2-3-4-55 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 第35页第2讲 2.3.3 特殊仿射变换 3.欧氏变换欧氏变换 欧氏变换可表达刚体的运动（平移和旋转的 组合）。一个欧氏运动是 先旋转（可看作特殊的正 交变换）后平移的组合 所有区域都可以认为是全等的 01234-1-2-3-4-55 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 第36页第2讲 2.3.4 变换的层次 平行的直线变

17、平行的直线变 成会聚的直线成会聚的直线 圆环变成椭圆圆环变成椭圆 平行或垂直的平行或垂直的 直线仍具有相直线仍具有相 同的相对朝向同的相对朝向 圆环和正方形圆环和正方形 都不变化形状都不变化形状 仿射变换 相似变换 第37页第2讲 2.4 几何失真校正几何失真校正 2.4.1 空间变换 对图像平面上的像素进行重新排列以恢复恢复原原 空间空间关系关系。 2.4.2灰度插值 对空间变换后的像素赋予相应的灰度值以恢恢 复原位置的灰度复原位置的灰度值值。 第38页第2讲 几何失真模型几何失真模型 原图像原图像f (x, y)受几何形变的影响变成失真图像失真图像 g(x, y ) 坐标关系： 线性失真时

18、：线性失真时： （非线性）二次失真（非线性）二次失真 2.4.1 空间变换 ),(yxsx ),(yxty 321 ),(kykxkyxs 654 ),(kykxkyxt 2 65 2 4321 ),(ykxykxkykxkkyxs 2 1211 2 10987 ),(ykxykxkykxkkyxt 第39页第2讲 约束对应点方法约束对应点方法 在输入图（失真图）和输出图（校正图）上找一些 其位置确切知道的点，然后利用这些点建立两幅图间其它 点空间位置的对应关系。 设失真过程可用双线性等式表示，选取四边形顶点作为四 组对应点，求解八个参数： 2.4.1 空间变换 4321 kxykykxkx

19、8765 kxykykxky 第40页第2讲 w用整数处的像素值来计算在非整数处的像素值 w上式中，(x, y)总是整数，但(x, y )值可能不是整数 最近邻插值最近邻插值 也常称为零阶插值 将离(x, y )点 最近的像素的灰 度值作为(x, y ) 点的灰度值计算 原图(x, y)处像素 2.4.2 灰度插值 空间变换 灰度赋值 x, y x, y g 最近邻 () () ()x, y x, y() f 4321 kxykykxkx 8765 kxykykxky 不失真图失真图 第41页第2讲 前向映射前向映射 将实际采集的失真图像坐标向原始的不失真图像映射将实际采集的失真图像坐标向原始的不失真