复合函数的单调性完全解析与练习

1、课题：函数的单调性(二)复合函数单调性北京二十二中 刘青教学目标1 .掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2 .会求复合函数的单调区间.3 .必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点与难点1 .教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义生：设y=f(u)的定义域为a, u=g(x)的值域为b,若a b,则y关于x函数的y=f g(x)叫做函数f与g的复合 函数，u叫中间量.师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间(教师

2、把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应 题的下边.)(教师板书，可适当略写.)例求下列函数的单调区间.1 .一次函数 y=kx+b(k w 0).解 当k0时，(一, +8)是这个函数的单调增区间；当 kv0时，(一8, +oo)是这个函数的单调减区间.k2 .反比例函数y= x (k w 0).解 当k0时，(8, 0)和(0, +oo)都是这个函数的单调减区间，当 kv0时，(一8, 0)和(0, +oo )都是这个 函数的单调增区间.3 .二次函数 y=ax2+bx+c(a 卞 0).bb解 当a 0时(一8, 2a )是这个函数的

3、单调减区间， (一2a, +8)是它的单调增区间；当a0, awl).解 当a1时，(一8, +8)是这个函数的单调增区间，当0vavi时，(8, +oo)是这个函数的单调减区间.5 .对数函数 y=log ax(a 0, awl).解 当a1时，(0, +8)是这个函数的单调增区间，当0vavl时，(0, +8)是它的单调减区间.师：我们还学过哥函数y=xn(n为有理数)，由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.师：我们看看这个函数y=2x2+2x+1,它显然是复合函数，它的单调性如何？生：它在(00, +8)上是增函数.师：我猜你是这样想

4、的，底等于 2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(8, +8),所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数 u=x2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性 .咱们不难猜想复合函数的单 调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.(板书)引理1已知函数y=f g(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c , d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f g(x)在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数 xi,x2,使

5、avxvx2vb.因为 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以 g(x 1) g(x 2),记 u1=g(x1),u2=g(x 2)即 ui u2,且 ui,u 2c (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1) f(u 2),即f g(x1) f f(x 2),故函数y=f g(x)在区间(a,b)上是增函数.师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢？生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些(教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些

6、改动即可.建议引理2的证明也是改动引理 1的部分证明过程就行了 .)引理2 已知函数y=f g(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c , d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f g(x)在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数xi,x 2,使a xi x2g(x2),记 u1=g(x i),u2=g(x 2)即 uiu2,且 ui,u 2c (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1) vf(u 2),即f g(xi) 3.师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义域.下面该求它

7、的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢？生：利用图象.师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象？可咱们并没学过画复合函数的图象啊？这个问题你想如彳s解决？生：师：我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围？或是求中间量u的取值范围？生：求x的取值范围.师：所以我们只需画 x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.jl7777/一.01 t3v图1（板书）师：当xc（8, 1）时，u=x2 4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以（一8, 1）是复合函数的单调减区间；当x c （3 , 8

8、）时，u=x2-4x+3为增函数y=log 4u为增函数，所以，（3 , +却是复合函数的单调增区间.师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.（板书）u=x2- 4x+3=（x - 2）2 1,*3或*3或* 2 （u 增）解得x 3.所以（3 , +8）是复合函数的单调增区间.师：下面咱们再看例 2.（板书）例2求下列复合函数的单调区间：y=log- （2x x2）3师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.（板书）解 设 y=log 1 u,u=2x x2.由302u=2x x解得原复合函数的定义版为0vxv 2.由于y=l

9、og 1 u在定义域（0 ,+）内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x x2的单调性正好相反.3易知u=2x-x2=-（x -1）2+1在x1时单调增.由0vx 1时单调减，由x 1, （u 减）解得0wxv2,所以0, 1=是原复合函数的单调增区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写（板书）例3求丫=17 6x x2的单调区间.（几分钟后，教师找一个做得对的或基本做对的学生，由他口述他的全部解题过程，教师在黑板上写，整个都写完后，教师边讲边肯定或修改学生的做法，以

10、使所有同学再熟悉一遍解题思路以及格式要求.）解 设 y=7u ,u=7 6xx2,由u 0,rc2u=7 6x x解得原复合函数的定义域为7 x w 1.因为v黄u在定义域0+8内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=-x2-6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-（x+3） 2+16在xw-3时单调增加。由-7 x3 时单调减，由7x- 3, （u 减）解得一3wxw1,所以3, 1是复合函数的单调减区间.师：下面咱们看最后一道例题，这道题由大家独立地做在笔记本上，我叫一个同学到黑板上来做（板书）例 4（2）（学生板书）2x 1的单调区间.(1)r,22x 1,

11、解 设y= 2 u u=x解得原复合函数的定义域为x c r.（1）uu=x2- 2x- 1的单调性与复合函数的单调性相反因为y= 2 在定义域r内为减函数，所以由引理知，二次函数 易知,u=x 2 2x 1=（x 1）22在x 1时单调减，由xc r,（复合函数定义域）x 1, （u 减）解得xw1.所以（8, 1是复合函数的单调增区间.同理1, +8）是复合函数的单调减区间 师：黑板上这道题做得很好 .请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.师：下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱

12、们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.（作业均为补充题）作业求下列复合函数的单调区间.1 .y=log 3（x22x）;（答：（00, 0）是单调减区间，（2 , +8）是单调增区间.）2 .y=log 2（x2 3x+2）;（答：（巴 1）是单调增区间，（2, +8）是单调减区间.）553 .y= t x2 5x 6,（答：2, 2是单调增区间，2, 3是单调减区间.）14.y=0.7x；(答：（一8, 0）, （0, +oo ）均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)5.y=6.y=7.y=23 x2(1)x3310g2x；（答（一巴3,（答（一00

13、8.y=1log 一(4xx2)9.y=4 x2 6x ；(答:0）为单调增区间，（0, +8 ）为单调减区间）+ oo）为单调减区间.）+ oo）为单调减区间.）（答：（0 , 2）为单调减区间，（2, 4）为单调增区间.）（0 , 3）为单调减区间，（3, 6）为单调增区间.）r 2x x10 .y= 7;（答（8, 1）为单调增区间，（1, +8）为单调减区间.）课堂教学设计说明11 复习提问简单函数的单调性 .12 复习提问复合函数的定义.13 引出并证明一个引理，用表格的形式给出所有的引理14 对于例1,教师要带着学生分析，着重突出单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题，还是以教师讲解为主.例2中的第二题，过渡到以学生讲述自己解法为主.例2中的第三题，以学生独立完成为主.15 小结，作业.我为什么要采取这几个环节呢 ？因为从以往的经验看，当要求学生求复合函数的单调区间时，他往往不考虑这个函 数的定义域，而这种错误又很顽固，不好纠正.为此，本节课我在廛为什么要求复合函数的定义域，以及定义域与单调区间的关系上，投入了较大的精力.力求使学生做到，想法正确，步骤清晰.为了调动学生的积极性，突出课堂的主体