材料力学第5章剪力图与弯矩图

1、 返回返回 返回总目录返回总目录 梁的力学模型（1） 悬臂梁 固定端 l A B 自由端 梁的力学模型（2） 简支梁 A B l 固定铰支座 辊轴支座 梁的力学模型（3） AB C 固定铰支座辊轴支座外伸端 l1l2 外伸梁（一端外伸） AB C D 固定铰支座辊轴支座外伸端外伸端 l1l3l2 外伸梁（两端外伸） 梁的力学模型 悬臂梁 固定端 l A B 自由端 架在空中的悬臂梁 架在空中的悬臂梁 A B FP 大自然中的悬臂梁 独根草，多年 生草本植物，具 粗壮的根状茎， 生长在山谷和悬 崖石缝处，为中 国特有属。 梁的力学模型 简支梁 A B l 固定铰支座 辊轴支座 梁的力学模型 AB

2、 C 固定铰支座辊轴支座外伸端 l1l2 外伸梁（一端外伸） AB C D 固定铰支座辊轴支座外伸端外伸端 l1l3l2 外伸梁（两端外伸） FP1 M1 FP2 FP1 FP4 FP3FP5 M1M2 q(x) x x FQ M 0 0 y F M ， FP2 FP1 FP4 FP3FP5 M1 M2 q(x) FP2 FP1 M1 q(x) FP4 FP3 FP5 M2 q(x) FQ M M F Q FP1 M1 FP2 FP1 FP4 FP3FP5 M1M2 q(x) x x FQ M 0 0 y F M ， 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相某一截面上的内力与作用在

3、该截面一侧局部杆件上的外力相 平衡；平衡； 在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化. . FP2 FP1 FP4 FP3FP5 M1M2 q(x) 根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规 律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面：）。据此，下列截面均可为控制面： 集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷

4、（集度相同）起点和终点处的截面。均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。 FP2 FP1 FP4 FP3FP5 M1M2 q(x) FQ FQ FQ FQ MM MM 将力系简化方法用于确定控制面上的剪力和弯矩 FP aa FQ= FP M= FP a M= FP a FQ= FPFPFP FP a M= FP a FQ= FP FP ll A B C MO=2FPl FP ll A B C MO=2FPl MA FA= FP ll A B C MO=2FPl FQ= FP MB=FPl ll ABC MO=2FPl FP FP MB=0 FQ= FP FP ll A B C MO=2FPl

5、FQ= FP FP ll A B C MO=2FPl FP ll A B C MO=2FPl FA= FP MA=0 MA=0 MC=FPl FQ= FP BA q BA q RR 2 AB ql FF O y x B A q q q O y x B A q QR 02 2 A ql FxFqxqxxl-+ 2 02 22 qlqx M xxxl-+ 返回 返回总目录 q x M F x M q x F 2 2 Q Q d d d d d d FQ MM+d M q(x) dx FP2 FP1 FP4 FP3FP5 M1M2 q(x) dx x C FQ+ dFQ Fy=0: MC=0: Q

6、F dq x QQ dFF0 MdMM Qd Fx d d 2 x q x0 FQFQ+ dFQ MM+d M q(x) dx C 略去高阶项，得到略去高阶项，得到 此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。 根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力 FQ 、M 的变化规律。的变化规律。 q x F d d Q q x M 2 2 d d Q d d F x M Q F dq x QQ dFF 0 MdMM Qd Fx d d 2 x q x0 0 根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内

7、力根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力 FQ 、M 的变化规律。的变化规律。 q x F d d Q q x M 2 2 d d Q d d F x M 例如，如果两个相邻控制面之间没有外部载荷，则有例如，如果两个相邻控制面之间没有外部载荷，则有 Q d 0 d F q x Q1 const.=FC Q112 d , d M FCMC xC x 平行于平行于x轴的直线轴的直线 斜直线斜直线 q x F d d Q q x M 2 2 d d Q d d F x M Q d const. , d F q x Q12 FC xC 2 Q12123 d , d M FC xCMC xC x

8、C x q x M F x M q x F 2 2 Q Q d d d d d d FQ x M x q=0 0 d d Q q x F Q d =const. d M F x q=0 FQ x M x 0 d d Q q x F Q d =const. d M F x q0 FQ x M x Q d 0 d F q x 2 2 d 0. d M q x q0 FQ x M x Q d 0 d F q x 2 2 d 0. d M q x q0 FQ x M x Q d 0 d F q x 2 2 d 0. d M q x q0 FQ x M x Q d 0 d F q x 2 2 d 0.

9、d M q x q0 FQ x M x Q d 0 d F q x 2 2 d 0. d M q x q0 FQ x M x Q d 0 d F q x 2 2 d 0. d M q x B A C q Q 2 ql Fxqx-+ 2 22 qlqx M xx-+ Q d d Fx q x Q d d2 M xql qxF x 2 2 d d M q x q x M F x M q x F 2 2 Q Q d d d d d d 返回 返回总目录 F A 00 FA MM, O O F A O O F A kN111 max Q .F mkN6651 max .M max M max Q F

10、O O F A O O F A q B A 00， BA MM qaFqaF ByAy 4 3 4 9 , q B A C q B A q B A q B A q xE qaFAy 4 9 Q 9 0 4 E Fqaqx 9 4 E xa q B A 2 max 9 42 E EE qx MqaxM E q B A Q max 9 4 Fqa 2 max 81 32 Mqa q B A ll q q ql/2ql/2 FQ x M x ql/2 ql/2 ql/2 ql2/8 ql2/8 ll q q FQ x M x ql ql2/2 ql2 FQ x l l q q ql ql M x q

11、l ql ql2/2 返回 返回总目录 刚架的组成刚架的组成横横 梁、立柱与刚节点。梁、立柱与刚节点。 C A l l B q 面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量 轴力、剪力和弯矩。轴力、剪力和弯矩。 内力分量的正负号与观察者位置的关系：内力分量的正负号与观察者位置的关系： 轴力的正负号与观察者位置无关；轴力的正负号与观察者位置无关； 剪力的正负号与观察者位置无关；剪力的正负号与观察者位置无关； 弯矩的正负号与观察者位置有关。弯矩的正负号与观察者位置有关。 轴力的正负号与观察者位置无关轴力的正负号与观察者位置无关 FNFN 剪力的正负号与观察者

12、位置无关剪力的正负号与观察者位置无关 FQ FQ 弯矩的正负号与观察者位置有关弯矩的正负号与观察者位置有关 MM 受拉边与受压边保持不变受拉边与受压边保持不变 MM + + 节点处的平衡关系节点处的平衡关系 FN FQ FN FQ FN FQ FN FQ C A l l B q 已知平面刚架上已知平面刚架上 的均布载荷集度的均布载荷集度q,长长 度度l。 画出刚架的画出刚架的 内力图。内力图。 C A l l B q 1. 确定约束力确定约束力 FC C A l l B q FAy FAx 00 xAx FqlF ， 00 2 AC l MFlql ， Ax Fql 2 C ql F ql 2

13、. 确定控制面确定控制面 B B C A l l q 2 ql 2 ql B 3. 确定控制面上的内力确定控制面上的内力 Q FAql N 2 ql FA 0M A q l A B 采用力系简化方法采用力系简化方法 ql/2 ql ql/2 ql A 3. 确定控制面上的内力确定控制面上的内力 采用力系简化方法采用力系简化方法 Q 0FBqlql N 2 ql FB 2 22 lql M Bqllql ql q l ql/2 ql A B ql2/2 ql/2 ql ql2 受拉边 3. 确定控制面上的内力确定控制面上的内力 应用力系简化的方法应用力系简化的方法 N 0FB Q 2 ql FB

14、 2 2 ql M B ql/2 ql2/2 受拉边 l ql/2 C B 3. 确定控制面上的内力确定控制面上的内力 Q 2 ql FC N 0FC 0M C l C B C l C B 2 ql 2 ql 2 ql 4. 画剪力图画剪力图 和弯矩图和弯矩图 将控制面上的剪力标在将控制面上的剪力标在 横杆和竖杆相应的横截面处横杆和竖杆相应的横截面处 根据微分关系连图线。根据微分关系连图线。 剪力图标上正负号。剪力图标上正负号。 ql/2 b FQ A B C ql a b c ql/2 4. 画剪力图画剪力图 和弯矩图和弯矩图 将控制面上的弯矩将控制面上的弯矩 标在横杆和竖杆相应的横标在横杆

15、和竖杆相应的横 截面处。截面处。 根据微分关系连图根据微分关系连图 线。线。 弯矩图画在受拉的弯矩图画在受拉的 一侧。一侧。 B C A M a c b ql2/2 ql2/2 b 4. 画轴力图画轴力图 将控制面上的轴力标在横将控制面上的轴力标在横 杆和竖杆相应的横截面处。杆和竖杆相应的横截面处。 连图线。连图线。 根据轴力的拉、压性质，根据轴力的拉、压性质， 在图上标上正负号。在图上标上正负号。 C A B FN ql/2 a c b ql/2 b C A l l B q ql/2 b FQ A B C ql a b c ql/2 B C A M a c b ql2/2 ql2/2 b C

16、 A B FN ql/2 a c b ql/2 b 返回返回 返回总目录返回总目录 从中能得到什么 重要结论？ 比较三种情形下梁 的受力、剪力和弯矩 图的相同之处和不同 之处。 ll q q ql/2ql/2 FQ x ql/2 ql/2 ql/2 ql2/8 M x ql2/8 ll q q ql FQ x ql2 ql2/2 M x ql FQ x ql l l q q ql ql ql2/2 M x ll q q ql/2ql/2 FQ x ql/2 ql/2 ql/2 M x ? 确定控制确定控制 面上剪力和弯矩有面上剪力和弯矩有 几种方法？怎样确几种方法？怎样确 定弯矩图上极值点定弯矩图上极值点 处的弯矩数值？处的弯矩数值？ ll q q ql/2ql/2 FQ x ql/2 ql/2 ql/2 M x a e Ma Me 通过平衡微分方程的积分确通过平衡微分方程的积分确 定弯矩图上极值点处的弯矩数值。定弯矩图上极值点处的弯矩数值。 Q d d F x M xFMdd Q e a e a xFMdd Q e a FAaMeM Q e a FAaMeM Q B E 30