实变函数期末练习题课案

1、实变函数期末练习题(1-4)姓名班级练习1一、单项选择题1、下列各式正确的是()(第12页，共13页)(a)co qqliman -ak;n .n 4 k -n(c)qo qoniman =印八(b)(d)qo oolim anl a0,则mx)。四、解答题1、设f(x)x2,e2? ,则f(x)在。1上是否r-可积，是否l可积，若可积，1,也有理数求出积分值。2、求 lim 二inse-cosxdx n 0 n五、证明题.1、证明0,1 1上的全体无理数作成的集其势为c.2、设f(x)是(g,z)上的实值连续函数，则对于任意常数a,e=x|f(x)至a是闭集。3、在ia,b】上的任一有界变差

2、函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。4、设 me 0 ,存在闭子集尾匚e ,使f (x)在收 上连续，且m(e.f6,证明：f(x)是e上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)练习2一.单项选择题1 .设m,n是两集合，则 m(mn)=()(a) m (b) n (c) m - n (d)2 .下列说法不正确的是()(a) p0的任一领域内都有e中无穷多个点，则r是e的聚点(b) p0的任一领域内至少有一个e中异于p0的点，则p0是e的聚点(c)存在e中点列pn,使pntp0,则p0是e的聚点(d)内点必是聚点3 .下列断言()是正确的。(a)任意个开集白交是开集；(b)任意个闭集的交是闭集；(

3、c)任意个闭集的并是闭集；(d)以上都不对；4 .下列断言中()是错误的。(a)零测集是可测集；(b)可数个零测集的并是零测集；(c)任意个零测集的并是零测集；(d)零测集的任意子集是可测集;5 .若f(x)是可测函数，则下列断言()是正确的(a) f (x)在 b,b】l -可积 u | f (x) |在 ia,b】l -可积;(b) f(x)在 la,b】r-可积 u | f(x)| 在 la,br-可积(c) f(x)在 la,b】l -可积 u | f (x)|在 b,br-可积;(d) f(x)在(a,)r-广义可积= f(x)在(a,+ )l-可积二.填空题111、设 an = ,

4、2 -,n =1,2,愕，贝uliman=。n nnf：o2、设 p 为 cantor 集，贝u p=, mp=, p=?3、设是一列可测集，则mgsj msi4、鲁津定理：5、设f(x)为b,b上的有限函数，如果 则称f(x)为a,b上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立？若成立,则证明之；若不成立，则说明原因或举出反例.1、 由于01-(0,1) = 0,仆，故不存在使(0,1)和0,1之间1-1对应的映射。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、ae收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题1、设f(x)x，x为无理数，则f(x)在10,11上是否r-可积，是

5、否l-可积，若可积， 1,也有理数求出积分值。2、求极限 lim-* 2 sin3 nxdx .n : - 01 n x五.证明题1 . 1、设f(x)是(,y)上的实值连续函数，则对任意常数 c, e=x|f(x)c是一开集.2 .设80,三开集gne,使m*(g-e) 名，则e是可测集。3 .在b,b】上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。4 .设函数列fn(x) (n =1,2, iii)在有界集e上“基本上”一致收敛于f(x),证明：fn(x)ae 收敛于f (x)。5 .设f(x)在e = b,b】上可积，则对任何名0,必存在e上的连续函数邛(x),使 b.| f

6、(x) - (x) |dx :二；.练习3一、单项选择题1、设 an =1,2+(1)n,n=1,2|，则()n(a) ijman =0, i(b) iiman=(o, in ：:nj二：(c) l iman=(0, 3(d)血 an =(0,3)n .n i.2、设e是b上有理点全体，则下列各式不成立的()o_(a) e =0,1 (b) e=0 (c) e=0, 1 (d) me=13、下列说法不正确的是()(a)若 aub, 贝lj m* a m* b(b)有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (c)可测集的任何子集都可测(d)凡开集、闭集皆可测4、设en是一列可测集，e1二e2二二

7、en二，且me1z,则有()/qqxfoq、(a) m c en |= lim men (b) m j en lim menn=ljnjpcn=ljnjpc(c) mc en lim men ; ( d)以上都不对 n h j njpc5、设f(x)是a,b上绝对连续函数，则下面不成立的()(a) f (x)在a,b上的一致连续函数 (b) f (x)在a,b上处处可导(c) f(x)在a,b上l可积 (d)f(x)是有界变差函数二.填空题1、设集合 num,贝 lj m -(m -n)=o2、设 p为 cantor 集，贝u p=, mp=, p=?3、设e是rn中点集，如果对任一点集t都有

8、,则称e是l可测的4、叶果洛夫定理： 5、设f(x)在e上可测，则f (x)在e上可积的充要 条件是| *)|在上可积.(填“充分”，“必要”，“充要”)三、下列命题是否成立？若成立，则证明之；若不成立，则举反例说明.1、任意多个开集之交集仍为开集。2、若me=0,则e一定是可数集.3、ae收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四、解答题1、设f(x)x2，f詈 ，则f(x)在b,11上是否r-可积，是否l-可积，若可积, 0,x为有理数，求出积分值。122、求极限 lim_ 2-2sin3nxdxn 01 - n x五、证明题.1、试证(0,1) 0,12、设f(x)是(

9、3,)上的实值连续函数，则对任意常数c, e=x|f(x)c是开集.3、设f(x)是可测集e的非负可积函数,g(x)是e的可测函数,且|g(x)区f(x),则g(x) 也是e上的可积函数。4、设f (x)在e上积分确定，且f (x) =g(x)a.e于e ,则g(x)在e上也积分确定，且 f(x)dx = g(x)dxee5、设在 e 上 fn(x)口 f (x)，而 fn(x) = gn(x)a.e.成立，n =1,2,，则有 gn(x)= f (x)练习4一.单项选择题1 .设p为cantor集，则 o(a) p 八 (b) mp=1(c) p=p (d) p = p2 .下列说法不正确的

10、是()(a) r的任一领域内都有e中无穷多个点，则兄是的聚点(b) p的任一领域内至少有一个e中异于r的点，则r是e的聚点(c)存在e中点列pj,使rtp。，则兄是的聚点(d)内点必是聚点3.设f(x)在e上l可积，则下面不成立的是()(a) f (x)在e上可测 (b) f (x)在e上a.e.有限(c) f(x)在e上有界 (d) f(x)在e上l可积4 .设en是一列可测集，匕三2三|三匕川，则有()(a)m . ： enlim men(b) m j . :en = limmenn1n .n 1n-.(c) m卜en j=lim men ； (d)以上都不对c 3 j n铃5 .设f (

11、x)为a,b上的有界变差函数，则下面不成立的()(a) f(x)在a,b上 l 可积 (b) f(x)在a,b上 r 可积(c) f(x)在a,b上l可积 (d) f (x)在a,b上绝对连续二.填空题(3分x 5=15分)1、设 an =1,2 - 1 , n =1,2,| ,贝u lim_ an =。 n nnr八02、设eur,若et e,则是_闭 集；若eu e,则e是 集；若 = ,则e是 集.3、设是一列可测集，则mlsi _ v4、叙述鲁津定理：5、设f(x)为b,b】上的有限函数，如果对于 hb的一切划分，使 成一有界数集，则称f (x)为b,b上的有界变差函数。三.下列命题是否成立？若成立,则证明之；若不成立，则说明原因或举出反例.1、a为可数集，b为至多可数集，则ajb是可数集.2、若 me =0,则 me=0.3、若| f (x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数4.设f(x)在可测集e上可积分，若vxee,f(x)0,则fe f (x)0四.解答题1、设f(x)x,也无理数，则f(x)在0,1上是否r.可积，是否l.可积，若可积, 1,也有理数求出积分值。2、求 lim 加x n)n 0e cos xdx五.证明题1、设f(x)是(,上的实值连续函数，则对于任意常数a,e=x|f(x)a是闭集。2 .