123角的平分线的性质

1、八年级数学（上）八年级数学（上） 人教版人教版 12.312.3角平分线的性质（角平分线的性质（1 1） 和里中学和里中学 李新田李新田 思考（思考（1 1） 如图如图, ,是一个平分角的仪器，其中是一个平分角的仪器，其中AB=ADAB=AD，BC=DCBC=DC， 将点将点A A放在角的顶点，放在角的顶点，ABAB和和ADAD沿着角的两边放下，沿着角的两边放下， 沿沿ACAC画一条射线画一条射线AEAE，AEAE就是角平分线。你能说就是角平分线。你能说 明它的道理吗？明它的道理吗？ C A D B E 问题（问题（1 1）：）： 即：即：CAD=CAB AEAE就是角平分线就是角平分线 问题

2、（问题（2 2）：）： 作角平分线的方法作角平分线的方法 即：直尺、元规作图即：直尺、元规作图 证明：证明： 探索（探索（1 1） 如图如图, ,是一个平分角的仪器，其中是一个平分角的仪器，其中AB=ADAB=AD，BC=DCBC=DC， 将点将点A A放在角的顶点，放在角的顶点，ABAB和和ADAD沿着角的两边放下，沿着角的两边放下， 沿沿ACAC画一条射线画一条射线AEAE，AEAE就是角平分线。你能说就是角平分线。你能说 明它的道理吗？明它的道理吗？ C A D B E 问题（问题（1 1）：）：AEAE就是角平分线就是角平分线 AD=ABAD=AB（已知）（已知） 在在ACDACD和和

3、ACBACB中中 DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共边）（公共边） ACD ACD ACBACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应角相等）对应角相等） A AE E平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义） 画法：画法： 以为圆心，适当长为半以为圆心，适当长为半 径作弧，交于，交于径作弧，交于，交于 分别以，为圆心大分别以，为圆心大 于于 1/2 的长为半径作弧两弧的长为半径作弧两弧 在在的内部交于的内部交于 画射线画射线 射线即为所求射线即为所求 探索（探索（2 2）问题（问题（2 2）：）： 画画DA

4、BDAB的的角平分线角平分线 即：即：O OO O 即：即：C CC C 思考（思考（2 2） 如图如图, ,任作一个角任作一个角AOBAOB，作，作AOBAOB的平分线的平分线OCOC，在，在 OCOC上任取一点上任取一点P P，过点，过点P P画出画出OAOA，OBOB的垂线，分别的垂线，分别 记垂足记垂足D D、E E，测量，测量PDPD、PEPE并作比较，你得到什么并作比较，你得到什么 结论？在结论？在OCOC上再取几个点试一试。上再取几个点试一试。 问题（问题（3 3）：）： 角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线上的点到角的两边的距离相等。 D P P E A O B C 已

5、知：如图，已知：如图，OCOC是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P P在在OCOC上，上， PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别是，垂足分别是D D，E E。求证：。求证：PDPDPEPE 证明：证明： 在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO PDO PEO（AAS） D P P E A O B C 问题（问题（3 3）：）：角平分线上的点到角两边角平分线上的点到角两边 的距离相等。的距离相等。 探索（探索（3 3） PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义） OP=OP AOC= BOC PDOA，PEO

6、B（已知）（已知） 证明几何命题的一般步骤：证明几何命题的一般步骤： 1 1、明确命题的已知和求证、明确命题的已知和求证 经验：经验： 2 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知 和求证；和求证； 3 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程。证明过程。 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用逻辑式表示为：用逻辑式表示为： 1= 2 1= 2 应用应用角的平分线性质的应用。角的平分线性质的应用。 A O B P E D 1 2 PD

7、OA PD OA ，PE OBPE OB PD=PEPD=PE ( (角的平分线上的点到角的两边角的平分线上的点到角的两边 的距离相等的距离相等) ) 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） BDCD （在角的平分线上的点到这个（在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。）角的两边的距离相等。） 练习（练习（1 1） A C D B 下面是一个同学的证题过程，是否正确？为什么？下面是一个同学的证题过程，是否正确？为什么？ 证明：证明： 不正确。不正确。 没有没有DBAB和和 DCAC这个条件。这个条件。 如图，如图，DBAB，DCAC BDCD （在角的平分线上的点到这个（在角的平

8、分线上的点到这个 角的两边的距离相等。）角的两边的距离相等。） 练习（练习（2 2） 下面是一个同学的证题过程，是否正确？为什么？下面是一个同学的证题过程，是否正确？为什么？ 证明：证明： 不正确。不正确。 没有没有AD是角是角BAC的平的平 分线这个条件分线这个条件。 A C D B DBAB，DCAC（已知）（已知） BDCD （在角的平分线上的点到这个（在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。）角的两边的距离相等。） 练习（练习（3 3） 下面是一个同学的证题过程，是否正确？为什么？下面是一个同学的证题过程，是否正确？为什么？ 证明：证明： 正确。正确。 A C D B 如图，如图

9、，AD平分平分BAC（已知）（已知） ， 1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB， 垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ A BC D E 2 2、如图、如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,点点P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则 PE=_cm.PE=_cm. A D O B E P C4 练习（练习（4 4） DCDCBCBC，DEDEBABA（已知）（已知） DEDEDCDC （在角的平

10、分线上的点到这（在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。）个角的两边的距离相等。） 如图，如图，B BD D平分平分ABCABC（已知）（已知） 1 . 1 . 如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足 分别是分别是E E，F F， DE =DFDE =DF， EDB= EDB= 6060，则，则 EBF=EBF= 度，度， BE=BE= 。 A B C D C E F 60 BF 2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB， 1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm 练习（练习（5 5） 小结小结 2.角平分线的性质角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。 1.角平分线的尺规作图。角平分线的尺规作图。 3.角平分线的性质角平分线的性质 只