湖南省雅礼中学高三2月月考文科数学试题及答案

1、- 1 - 雅礼中学雅礼中学 20152015 届高三年级二月份月考试卷届高三年级二月份月考试卷 数数 学学 ( (文科文科) ) ( ( 时量：时量：120120 分钟，满分：分钟，满分：150150 分分) ) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 5050 分）分） 1 1设全集设全集，集合，集合，则集合，则集合= =（ |02uxx1 |0axxacu c c ） a a b b c c d d(0,1)(0,1(1,2)1,2) 2 2复数复数 3 1 i i 等于（等于（ d d ） a a12i b b1 2i c c

2、2i d d2i 3 3设设（ b b ） 2 ,0 ( ) 2 ,0 x x f x ax x ，若( 1)2,ff 则a a a、2 2 b b、1 1 c c、-2-2 d d、-1-1 4 4、某商场在今年端午节的促销活动中，对、某商场在今年端午节的促销活动中，对 6 6 月月 9 9 时时 至至 1414 时的销售额进行统计时的销售额进行统计 ，其频率分布直方图如图所示，其频率分布直方图如图所示， 已知已知 9 9 时至时至 1010 时的销售额为时的销售额为 3 3 万元，则万元，则 1111 时至时至 1212 时的销售为（时的销售为（ c c ） a a8 8 万元万元 b b

3、1010 万元万元 c c1212 万元万元 d d1515 万元万元 - 2 - 5 5、甲：函数、甲：函数 f x是是 r r 上的单调递增函数；乙：上的单调递增函数；乙： 1212 ,()()xxf xf x，则甲是乙的（，则甲是乙的（ a a ） a a充分不必要条件充分不必要条件 b b必要不充分条件必要不充分条件 c c充要条件充要条件 d d既不充分也不既不充分也不 必要条件必要条件 6 6、某程序框图如右图所示若输出的、某程序框图如右图所示若输出的57s ，则判断，则判断 框内应填（框内应填（ a a ） a a4?k b b5?k c c6?k d d7?k 7 7已知某几何

4、体的三视图（单位：已知某几何体的三视图（单位：cmcm）如图所示，则该几何）如图所示，则该几何 体的体积是（体的体积是（ b b ） 左视图 俯视图 正视图 4 2 315 a a48cm48cm3 3 b b98cm98cm3 3 c c88cm88cm3 3 - 3 - d d78cm78cm3 3 8 8已知实数已知实数, x y满足满足1 1 yx xy y ，则目标函数，则目标函数2zxy的最大值为的最大值为 （b b） a a6 b b5 c c 1 2 d d 3 9.9. 函数函数的零点所在的一个区间是（的零点所在的一个区间是（ b b ）( )23 x f xx a a （-

5、2-2，-1-1） b.b.（-1,0-1,0） c.c.（0,10,1） d.d.（1,21,2） 1010已知已知 ，是双曲线是双曲线的左，右焦点，若的左，右焦点，若 1 f 2 f 22 22 1(0,0) xy ab ab 双曲线左支上存在一点双曲线左支上存在一点 与点与点关于直线关于直线对称，则该双对称，则该双p 2 fx a b y 曲线的离心率为（曲线的离心率为（ ） a a b b c c 5 5 2 2 d d2 【答案答案】a】a 【解析解析】 试题分析：由已知试题分析：由已知到直线到直线的距离为的距离为，所以由，所以由 2 f bx y a b ba bc 22 双曲线的

6、定义得双曲线的定义得，故，故，注意到，注意到apfpf2 12 abpf22 1 ，所以，所以，所以，所以即即x a b ypf直线/ 121 pfpf 2 2 1 2 2 4cpfpf ，解得，解得，所以离心率为，所以离心率为 22 2 cbba 22 ba ab2 51 2 a b a c e - 4 - 考点：双曲线离心率考点：双曲线离心率 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 2525 分）分） 1111直线直线tan3010 xy 的倾斜角是的倾斜角是_ 3 2 _； 1212直线直线与函数与函数的图象相切，则切点坐标为的图

7、象相切，则切点坐标为 exy x exf)( (1, )e 1313、设、设p在在0,5上随机地取值，则关于上随机地取值，则关于x的方程的方程 2 10 xpx 有实有实 数根的概率为数根的概率为 5 3 1414已知一个数列已知一个数列的各项是的各项是 0 0 或或 1 1，首项为，首项为 0 0，且在第，且在第 k k n a 个个 0 0 和第和第 k k1 1 个个 0 0 之间有之间有个个 1 1，即，即21 k 0 0，1 1，0 0，1 1，1 1，1 1，0 0，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1， 1 1，0 0，则，则 前前 2 2 015015 项中项中 0

8、0 的个数为的个数为_10_10_ 1515已知已知 g g 点为点为abcabc 的重心，且的重心，且，若，若agbg ，则实数，则实数 的值为的值为 112 tantantanabc 1 4 d g a c b 【解析解析】：如图，连接：如图，连接 cgcg 延长交延长交 abab 于于 d d，则，则 d d 为为 abab 的中的中 点，由题点，由题，由重心的性质得，由重心的性质得，由余，由余 1 2 agbgdgab 3 2 cdab 弦定理得弦定理得， 222 2cosacadcdad cdadc ， 222 2cos,bcbdcdbd cdbdcadcbdcadbd - 5 -

9、222222222 19 225 22 acbcadcdacbcababab 又又 112coscos2 cos tantantansintsinsin abc abcabc sincoscossinsin 2sinsincos ababc abc 2222 22222 sin1 2sinsincos2cos54 cababab abcbc accbcacababab 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 个小题，共计个小题，共计 7575 分。解答应写出文分。解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 16.16.（本小题满分（本小题满分 1212 分

10、）分） 如图，已知函数如图，已知函数的图象与的图象与) 2 , 0, 0)(sin()( axaxf 轴的交点为轴的交点为(0,1)(0,1)，它在，它在 轴右侧的第一个最高点和第一个轴右侧的第一个最高点和第一个yy 最低点的坐标分别为最低点的坐标分别为和和)2 ,( 0 x)2,2( 0 x (1)(1)求函数求函数的解析式及的解析式及的值；的值；)(xf 0 x (2)(2) 在在中，角中，角a a，b b，c c成等差数列成等差数列 ，求，求( )f x在在上上abc 0 ,xb 的值域的值域 解解(1)(1)由题由题即即. . 2 2分分2 2 , 2 t a4t 4 2 t 2 1

11、，由图象经过点，由图象经过点(0,1)(0,1)得得，) 2 1 sin(2)(xxf1sin2)0(f - 6 - 又又，. . 4 4 分分 2 6 ) 62 1 sin(2)( xxf ，即，即)( 2 2 62 1 0 zkkx )( 3 2 4 0 zkkx 根据图象可得根据图象可得是最小的正数，则是最小的正数，则 6 6 0 x 3 2 0 x 分分 (2)(2)由由 3 b 8 8分 分 ，即，即，则，则 0 xxb 3 2 3 x 2623 x ，故，故 12121) 62 1 sin( 2 3 x)2 , 3)(xf 分分 17.17. ( (本小题满分本小题满分 1212

12、分）分） 从某学校的从某学校的 800800 名男生中随机抽取名男生中随机抽取 5050 名测量身高，被测名测量身高，被测 学生身高全部介于学生身高全部介于 155cm155cm 和和 195cm195cm 之间，将测量结果按如下之间，将测量结果按如下 方式分成八组：第一组方式分成八组：第一组 155155，160160） ，第二组，第二组 160160，165165） ，第八组，第八组 190190，195195，下图是按上述分，下图是按上述分 组方法得到的频率分布直方图组方法得到的频率分布直方图 的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六

13、组的人数为 4 4 人。人。 （1 1）求第七组的频率，并估计该校的）求第七组的频率，并估计该校的 800800 名男生的身高的中名男生的身高的中 位数以及身高在位数以及身高在 180cm180cm 以上（含以上（含 180cm180cm）的人数；）的人数； （2 2）若从身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名男）若从身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名男 生，求他们的身高之差不超过生，求他们的身高之差不超过 5 5 的概率。的概率。 - 7 - 解：（解：（1 1）第六组的频率为）第六组的频率为，11 分分 4 0.08 50 第七组的频率第七组的频率 为为（3 3 分）分）1 0

14、.085 (0.08 20.0160.04 20.06)0.06 易知中位数位于易知中位数位于之间设为之间设为m m，则有，则有170,175 ，(170) 0.040.50.320.18m174.5m 身高在身高在 180cm180cm 以上（含以上（含 180cm180cm）的人数为）的人数为 人人（6 6 分）分）0.18 800144 （2 2）设第六组四人分别为）设第六组四人分别为， 1234 ,180,185)aaaa 第八组二人分别为第八组二人分别为，则从六人中任取两名共，则从六人中任取两名共 12 ,190,195bb 有有 1515 种不同取法种不同取法 高之差不超过高之差不

15、超过 5 5 的共有的共有 7 7 种情况种情况 故故（1212 分）分） 15 7 p 1818 （本题满分（本题满分 1212 分）分） 如图，在等腰梯形如图，在等腰梯形中，中，abcd/ /abcd2cbdcad ，四边形，四边形为矩形，平面为矩形，平面平面平面， 30cabacfeacfe abcd 3cf - 8 - （）求证：）求证：平面平面；bc acfe （）设点）设点为为中点，求二面角中点，求二面角的余弦值的余弦值mefcamb 【解析解析】:】: （）30 ,30 ,2 3cabdcaac， bcac 平面平面平面平面，平面，平面平面平面acfe abcdacfe abcd

16、ac 平面平面bc acfe （）作）作cham 平面平面, , 平面平面，bc acfeambcam chb bham 即为二面角即为二面角的平面角的平面角bhccamb ，。二面角二面角的余弦的余弦3,2chbc 3 13 cos 13 bhccamb 值是值是 3 13 13 1919 （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 数列数列 n a中，已知中，已知 * 1 11 4 11 ,23log 44 n nn n a abann a . . （1 1）求数列）求数列 n a、 n b的通项公式；的通项公式； - 9 - （2 2）设数列）设数列 n c满足满足 1 1 ) 1(

17、nn n n bbc，且，且 n c的前的前n项和项和 n s，若，若 2 tnsn对对 * nn恒成立，求实数恒成立，求实数t取值范围取值范围. . 解析：（解析：（1 1） 4 1 1 n n a a , ,数列数列 n a是首项为是首项为 4 1 ，公比为，公比为 4 1 的等比的等比 数列，数列， *)() 4 1 (nna n n . . 33 分分 2log3 4 1 nn ab 232) 4 1 (log3 4 1 nb n n . .1 1 b，公差，公差3d 数列数列 n b是首项是首项1 1 b，公差，公差3d的等差数列的等差数列. . 6 6 分分 （2 2）由（）由（1

18、 1）知，）知，23,) 4 1 (nba n n n , , 当当 n n 为偶数时为偶数时 11433221 nnnnn bbbbbbbbbbs )()()( 11534312 nnn bbbbbbbbb 2 2 )234( 6)(6 42 n n bbb n 2 )23( 2 3 tnnn，即，即) 2 3( 2 3 n t对对 n n 取任意正偶数都成立，所以取任意正偶数都成立，所以 6t 1010 分分 当当 n n 为奇数时，为奇数时， ) 13)(23(2) 1(3)1( 2 3 11433221 nnnnbbbbbbbbbbs nnnnn 0 2 7 3 2 9 2 nn对对6

19、t时时 2 tnsn恒成立，恒成立， 综上，综上，6t. . 1313 分分 . . 2020 （本题满分（本题满分 1313 分）分） - 10 - 已知动圆已知动圆c过定点过定点 ）（ 2 , 0m ，且在，且在x轴上截得弦长为轴上截得弦长为4设该设该 动圆圆心的轨迹为曲线动圆圆心的轨迹为曲线c. . （1 1）求曲线）求曲线c方程；方程； （2 2）点）点a为直线为直线l： 20 xy 上任意一点，过上任意一点，过a作曲线作曲线c的的 切线，切点分别为切线，切点分别为p、 q， apq 面积的最小值及此时点面积的最小值及此时点a的坐标的坐标. . 解析：（解析：（1 1）设动圆圆心坐标为

20、）设动圆圆心坐标为 ( , )c x y ，根据题意得，根据题意得 222 (2)4xyy+-=+ ， 化简得化简得 2 4xy= . . （4 4 分）分） （2 2）：设直线）：设直线 pq的方程为 的方程为 ykxb=+ ， 由由 2 4xy ykxb = =+ 消去消去 y得 得 2 440 xkxb-= 设设 1122 (,),(,)p x yq xy ，则，则 12 12 4 4 xxk x xb += = - ，且，且 2 1616kbd =+ （6 6 分）分） 以点以点p为切点的切线的斜率为为切点的切线的斜率为 11 1 2 yx = ，其切线方程为，其切线方程为 111 1

21、 () 2 yyx xx-=- 即即 2 11 11 24 yx xx=- 同理过点同理过点q的切线的方程为的切线的方程为 2 22 11 24 yx xx=- 设两条切线的交点为设两条切线的交点为 (,) aa a xy 在直线在直线 20 xy-= 上，上， 12 xxq ，解得，解得 12 12 2 2 4 a a xx xk x x yb + = = - ，即，即 (2 ,)akb- 则：则：2 20kb+-= ，即，即 22bk=- （9 9 分）分） 代入代入 222 161616323216(1)160kbkkkd =+=+-=-+ 222 12 |1|4 1pqkxxkkb=+

22、-=+ (2 ,)akb- 到直线到直线pq的距离为的距离为 2 2 | 22 | 1 kb d k + = + - 11 - 33 22 22 4(22)4(1)1kkk=-+=-+ 当当 1k = 时，时， apq sd 最小，其最小值为最小，其最小值为4，此时点，此时点a的坐标的坐标 为为(2,0). . （1313 分）分） 21.21. （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 已知函数已知函数 2 ( )2lnf xxx （1 1）求函数）求函数的最大值；的最大值；( )f x （2 2）若函数）若函数与与有相同极值点，有相同极值点，( )f x( ) a g xx x （）求

23、实数）求实数 的值；的值；a （）若对于）若对于，不等式，不等式恒成立，求实数恒成立，求实数 12 1 , ,3xx e 12 ()() 1 1 f xg x k 的取值范围的取值范围k 【解析解析】：（：（1 1）， 1 1 分分 由由 22(1)(1) ( )2(0) xx fxxx xx 得得， ( )0 0 fx x 01x 由由得得，在在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数，上为减函数， ( )0 0 fx x 1x ( )f x(0,1)(1,) 函数函数的最大值为的最大值为； ( )f x(1)1f 4 4 分分 （2 2），( ) a g xx x 2 ( )1 a g x x （i i）由（）由（1 1）知，）知，是函数是函数的极值点，又的极值点，又函数函数与与1x ( )f x( )f x 有相同极值点，有相同极值点，( ) a g xx x 是函数是函数的极值点，的极值点，解得，解得，1x ( )g x(1)10ga 1a 经检验，当经检验，当时，函数时，函数取到极小值，符合题意；取到极小值，符合题意；1a