幂函数概念和性质[主要内容]

1、 2.3幂函数幂函数 学习目标学习目标 1、通过实例，了解幂函数的概念. 2、通过具体实例研究幂函数的图 象和性质. 3、掌握幂函数的简单应用. (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需 要支付p=w元,这里p是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 , 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 这里a是 S的函数; (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数. a S 2 a V 3 , 2 1 s a ,/ 1 skm

2、v t 若将它们的自变量全部用若将它们的自变量全部用x来表示来表示,函数值用函数值用y来表来表 示示,则它们的函数关系式将是则它们的函数关系式将是: xy x y 2 x y 3 x y 2 1 x y 1 x y 几点说明几点说明: , . yx x 一般地 函数叫做幂函数 其中 是自变量 是常数 .2 ., 11 的值有关与定义域不固定 并且后面没有常数项前面的系数为中 ，、 、y xx 式子式子 名称名称 a x y 指数函数函数: y=a x 幂函数幂函数: y= x a 底数底数指数指数 指数指数 底数底数 幂值幂值 幂值幂值 幂函数与指数 判断一个函数是幂函数还是指数判断一个函数是

3、幂函数还是指数 看看未知数看看未知数x是是指数指数还是还是底数底数 幂函数幂函数函数函数 判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数. . (1) y=x4 2 1 )2( x y (3) y= -x2 2 1 )4(xy (5) y=2x2 (6) y=x3+2 哪几个是幂函数 中在函数,1,2,. 1 22 yxyxyy xx 这个是幂函数这个是幂函数 这个是幂函数这个是幂函数 . ), 2()(. 22 式试求出这个函数的解析 的图象过点已知幂函数xfy . 2 1 2 ,2),2, 2( ,: 2 1 2 1 22 2 loglog 2 x x y y 故所求的幂函数为 所以 所

4、以因为函数过点 设所求幂函数为解 定义域值域奇偶性单调性公共点 RR奇函数增函数(0,0),(1,1) R偶函数(0,0),(1,1) RR奇函数增函数(0,0),(1,1) 非奇非偶 增函数(0,0),(1,1) 奇函数(1,1) yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 0y 0 x 0 x 0y 0y l所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1). l如果0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+)上为增函数. l如果1 01 0 0 1 2 3 0123 2 xy 3 xy 0 1 2 3 0123 2 1 xy 3 1 xy 2 xy

5、1 yx 结论：幂函数图象在第一象限的分布情况： 10 1 0 例例2. 利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3) 2.5 -2 5 与 2.7 -2 5 解解:(1)y= x0.8在在(0,+)内是增函数内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,+)内是增函数内是增函数 0.20.3 0.20.3 0.30.3 (3)y=x-2/5在在(0,+)内是减函数内是减函数 2.52.7-2/5 练习练习2 1） 0.5 1.3 0.5 1.5 2 5

6、.1 2 5.092） 3） 1 4 1.79 1 4 1.81 4） 2 2 3 (2)a 2 3 2 1、判断下列函数是否为幂函数、判断下列函数是否为幂函数 若是判断其定义域与奇偶性若是判断其定义域与奇偶性. (1) y=x4 2 1 )2( x y (3) y= -x2 2 1 )4(xy (5) y=2x2 (6) y=x3+2 检测提升检测提升 正确答案：正确答案：(1)(2)(4) 2、 如果函数如果函数 是幂函数，且在是幂函数，且在 区间（区间（0，+）内是减函数，求满足条件的实）内是减函数，求满足条件的实 数数m的集合。的集合。 2m 1m 舍去 322 2 1 mm xmmxf)()( ., 0)(. 3上是增函数在证明幂函数例xxf 则且任取证明, 0,: 2121xxxx xx xxxx xxxx ff 21 2121 2121 )( )()( xx xx 21 21 , 0, 0, 0, 2121