控制工程课件 第二章 控制系统的数学模型[教学内容]

1、本章主要讲怎样建立系统的数学模 型微分方程 广义上是指表达自然界或社会现象某 些本质特征的数学表达式或称为数学 方程。 比较宽泛 数学模型 具体一点，数学模型是用数学方法描述的 抽象的理论模型，用来表达系统内部各部 分之间或系统与其外部环境之间的关系 定义：控制系统在工作状态时的运动方程称 为数学模型。它反映输出量与输入量之间的 关系系统的动态特性。揭示系统的结构参 数与其动态特性之间的关系。 格式: 输出量的表达式 = 输入量的表达式 本课程中，数学模型的定义、格式及其表达 表达式通常有微分方程、传递函数、传递函数 方框图、频率特性、差分方程、状态方程等。 本课程只讲前三种。 物理模型物理模

2、型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出 精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后 的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有 条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确 定出合理的物理模型。定出合理的物理模型。 电子放大器电子放大器 看成看成 理想的线性放大环节。理想的线性放大环节。 通讯卫星通讯卫星 看成看成 质点质点 。 黑黑匣匣子子 输输入入（已已知知） 输输出出（已已知知） 例:

3、下图为平面铣削示意图. 分析动力滑台水平运动情况 工件 铣刀 动力滑台 f (t) y(t) fky dt dy C dt yd m 2 2 c k m y(t) f (t) fkycvma 根据达朗贝尔原理建模根据达朗贝尔原理建模 M J C K M为输入量为输入量, ,转角转角为输出量为输出量 MKCJ MK dt d C dt d J 2 2 解（解（a a）题：依基尔霍夫电压定律得电路方程）题：依基尔霍夫电压定律得电路方程 idt c uo 1 dt du ci o io o uu dt du RC uiu o R C (a) R ui C uo (b) ui Cuo (c) L io

4、 uuRi其中 解（解（b b）题，依照基尔霍夫定律得）题，依照基尔霍夫定律得 io uuidt c 1 Riuo ioo uudtu RC 1 电路相同，输入或者输出不同，微分方程不同电路相同，输入或者输出不同，微分方程不同 dt du RC u dt du ioo u i u o R C (a) R u i C uo (b) 求图示电子网络节点1的电流动态方程式 i u输入电压 0 u输出电压 对节点1的电流有： 0 cRL iii 其中： dtu L i LL 1 oiL uuu Rui RR / dt du ci c c 所以节点1的电流动态方程为 0)( 1 dt du c R uu

5、 dtuu L ooi oi L u dt du RL u dt du Rdt ud c iiooo 11 2 L R iL iR C U0Ui 节点1 iR 13优学课堂 数控数控 装置装置 比较器比较器放大器放大器伺服伺服 机构机构 工作台工作台 检测检测 装置装置 系统元件间的负载效应 外反馈 内反馈 14优学课堂 内反馈： 2212111 )(xkxkkxm 122222 xkxkxm （1-1） （1-2） 两自由度机械系统 信息传递关系 许多机械系统或过程中，往往存在内在的相互耦合作 用构成非人为的内在反馈，从而形成一个闭环系统。 15优学课堂 16优学课堂 系统元件间的负载效应

6、K1 y1(t) f(t) k2 y2(t) m1 m2 再看下面的例子: 图示为由两个质量为m1、m2和弹簧k1、k2串联起来的系统 设输入量为外力f (t),输出量为位移y1(t), y2(t).试求系统的数学模型 )()( 21211 2 1 2 1 tfyykyk dt yd m )( 212 2 2 2 2 yyk dt yd m 对 m1 对 m2 (1)(1) 17优学课堂 K1 y1(t) f(t) k2 y2(t) m1 m2 负载效应由多个元件组成的系统，若后一个元件的存在会影响到由多个元件组成的系统，若后一个元件的存在会影响到 前一个元件的输出，就认为后者给前者增加了负载

7、。这种现象称为前一个元件的输出，就认为后者给前者增加了负载。这种现象称为 负载效应。负载效应。 注意，当存在负载效应时，绝不能孤立地分别列出前后两个元件的 微分方程式，而应该把前后两个元件作为一个整体分析 如果不考虑如果不考虑m m2 2对对m m1 1的影响，则会得到错误的结果的影响，则会得到错误的结果 解方程（解方程（1 1），消除），消除y2 2得得 fkpmykkpkmkmkmpmm)()( 22121 2 211221 4 21 )( 11 2 1 2 1 tfyk dt yd m 18优学课堂 下图表示一台机器放在隔振垫上。将机器简化为一刚性质块，质 量为m，在垂直方向的位移为x(

8、t)，从静态平衡位置开始计算质块 的位移。 解 )()()( . tNtFtxm ),()( . xxftN . . 0 0 . 0 0 . ),(),( )0 , 0(x x xxf x x xxf fN x x x x k x f )0 , 0( c x f . )0 , 0( 记 . xckxN)()()()( . tFtkxtxctxm 此即为动态模型。如系统运动很慢即 0 x 0 x ktFtx)()( 静态模型 19优学课堂 fky dt dy C dt yd m 2 2 c k m y(t) f (t) 此模型是以作用 在机器上的力F(t) 为激励，机器的 振动位移小x(t)作 为响应。 )()()()( . tFtkxtxctxm 20优学课堂 试分析地基振动对机器运动的影响 即y(t)为激励，x(t)为响应 )()()()()(txmtxtyktxtyc 解 )()()()()(tkytyctkxtxctxm 21优学课堂 o x z z z z l 3 4 1 2 2 i xKK dt d c dt d J 2 2 1 1 11 M dt d JM 参数的归一化 见书P19例4 此外，