绝对值不等式的解法[青苗教育]

1、 每当人们去求解任何一道数学问题，每当人们去求解任何一道数学问题， 或力图攀登一个数学高峰，都被誉为摘或力图攀登一个数学高峰，都被誉为摘 取科学皇冠上的明珠取科学皇冠上的明珠! 徐安福徐安福徐安福 2绝对值不等式的解法 1.1.含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a|x|a|x|a的解集的解集. . 不等式不等式 a0a0a=0a=0a0a0 |x|a|x|a|x|a_ x|-ax|-ax xaa x|xx|xa a或或x x-a-axxR|xR|x00 R R 2.|ax+b|c(c0)2.|ax+b|c(c0)和和|ax+b|c(c0)|ax+b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法.

2、 . (1)|ax+b|c(1)|ax+b|c_._. (2)|ax+b|c(2)|ax+b|c_._. -cax+bc-cax+bc ax+bcax+bc或或ax+b-cax+b-c 1.1.不等式不等式|x|x1|1|2 2的解集是的解集是_._. 【解析解析】由由|x|x1|1|2 2得得2 2x x1 12 2，解得，解得1 1x x3.3. 答案：答案：( (1,3)1,3) 2.2.不等式不等式|4|43x|23x|2的解集是的解集是_._. 【解析解析】|4|43x|23x|2|3x|3x4|24|23x3x442 2 或或3x3x4242，解得，解得 或或x2.x2. 答案：答

3、案： 2 (, )2,) 3 2 x 3 解含绝对值不等式的核心任务解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等 变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号. . 类型类型 一一简单绝对值不等式的解法简单绝对值不等式的解法 1.1.不等式不等式 的解集是的解集是_._. 2 2不等式不等式 的解集为的解集为_._. 1 |x2| 1 2 2 1 |1xx |1 2 【解

4、析解析】1. 1. 解得解得2x6.2x6. 1 |x2| 1x422x42, 2 答案：答案： 2,62,6 【拓展提升拓展提升】绝对值不等式的常见类型及其解法绝对值不等式的常见类型及其解法 (1)(1)形如形如|f(x)|a(aR)|f(x)|a(aR)型不等式型不等式. . 此类不等式的简单解法是等价转化法，即此类不等式的简单解法是等价转化法，即 当当a0a0时，时，|f(x)|a|f(x)|a-af(x)a.-af(x)a|f(x)|af(x)af(x)a或或f(x)-a.f(x)-a. 当当a=0a=0时，时，|f(x)|a|f(x)|a|f(x)|af(x)0.f(x)0. 当当a

5、0a0时，时，|f(x)|a|f(x)|a|f(x)|af(x)f(x)有意义即可有意义即可. . (2)(2)形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|型不等式型不等式. . 此类问题的简单解法是利用平方法，即此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)f(x)2 2 g(x)g(x)2 2 f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)-g(x)0.0. (3)(3)形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)型不等式型不等式. . 此类不等式的简单解法是等价转化法，即此类不等式的简单解法是等价转化法，即 |f(x)|g

6、(x)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x),-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x)(f(x)-g(x)(其中其中g(x)g(x)可正也可正也 可负可负).). 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂. . (4)(4)形如形如a|f(x)|a0)a|f(x)|a0)型不等式型不等式. . 此类问题的简单解法是利用等价转化法，即此类问题的简单解法是利用等价转化法，即 a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b(0ab)af(x)baf(x)b或或-bf(x)-a.-bf(x)-a

7、. (5)(5)形如形如|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)型不等式型不等式. . 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)f(x)0.f(x)0)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等型不等 式的解法式的解法 (1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式有三种解型不等式有三种解 法：分区间法：分区间( (分类分类) )讨论法讨论法,图象法和几何法图象法和几何法. .分区间

8、讨论的方分区间讨论的方 法具有普遍性法具有普遍性, ,但较麻烦但较麻烦; ;几何法和图象法直观几何法和图象法直观, ,但只适用于数但只适用于数 据较简单的情况据较简单的情况. . (2)(2)分区间分区间( (分类分类) )讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解, , 即即 也即也即xR.xxR.x为非负数时为非负数时, ,x x为为x;xx;x为负为负 数时数时, ,x x为为-x,-x,即即x x的相反数的相反数. . xx0 x xx0 ， ， (3)(3)x-ax-a+ +x-bx-bc,c,x-ax-a+ +x-bx-bc(c0)c(c0)型不等式型

9、不等式 的图象解法和画出函数的图象解法和画出函数f(x)=f(x)=x-ax-a+ +x-bx-b-c-c的图象是密的图象是密 切相关的切相关的, ,其图象是折线其图象是折线, ,正确地画出其图象的关键是写出正确地画出其图象的关键是写出f(x)f(x) 的分段表达式的分段表达式. .不妨设不妨设ab,ab, 于是于是 这种图象法的关键是合理构造函数这种图象法的关键是合理构造函数, ,正确画出函数的图象正确画出函数的图象, , 求出函数的零点求出函数的零点, ,体现了函数与方程结合、数形结合的思想体现了函数与方程结合、数形结合的思想. . 2xabcxa f(x)bacaxb 2xabcxb.

10、， ， ， ， ， 其他类型的绝对值不等式其他类型的绝对值不等式 【典型例题典型例题】 1.1.不等式不等式2x-32x-33x+13x+1的解集是的解集是_._. 2.2.设函数设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意如果对任意xR,f(x)2,xR,f(x)2,则则a a的的 取值范围是取值范围是_._. 3.3.解不等式：解不等式：|x|x2 23|3|2x.2x. 【解析解析】1.|2x-3|3x+1,1.|2x-3|0,3x+10,原不等式转化为原不等式转化为 -(3x+1)2x-33x+1.-(3x+1)2x-33x+1. 以上不等式等价

11、于以上不等式等价于 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 答案：答案： 2x33x1,x25, 2x33x1,x4,x25. 3x10,x13 2 (). 5 ， 2 (). 5 ， 2.2.若若a=1,a=1,则则f(x)=2|x-1|,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件不满足题设条件. . 若若a1,a1,a1,则则 f(x)f(x)的最小值为的最小值为a-1.a-1. 综上可知，所求综上可知，所求a a的取值范围是的取值范围是(-,-1(-,-13,+).3,+). 答案：答案：(-,-1(-,-13,+)3,+) 2xa1, xa f(x)1 a, ax1, 2xa1 , x1

12、 ， 2xa1, x1 f(x)a1, 1xa 2xa1 , xa ， ， 3. 3. 因为因为|x|x2 23|3|2x2x，所以，所以x x0 0， 所以所以|x|x2 23|3|2x2x2x2xx x2 23 32x2x 解不等式组得解不等式组得 22 22 2xx3x2x 3 0 x3 2xx2x 3 0 ， ， ， x |1x 3. 【拓展提升拓展提升】含参数的不等式问题分类及解题策略含参数的不等式问题分类及解题策略 (1)(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论， 而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后而

13、是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后 把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集. . (2)(2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号，解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号， 去绝对值符号的常用手段有以下几种：去绝对值符号的常用手段有以下几种： 形如形如f(x)f(x)g(x)g(x)或或f(x)f(x)g(x)g(x)的求解方法：的求解方法： ()()根据实数的绝对值的意义分类讨论，根据实数的绝对值的意义分类讨论， 即即 ()()根据公式：根据公式：|x|a|x|a-axa(aR-ax0);a0); f(x)f

14、(x)g(x)g(x)-g(x)f(x)g(x);-g(x)f(x)a|x|axaxa或或x-a(aRxg(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x).f(x)0,a+10, 即即a-1a-1时，时，6 6分分 原不等式可变为原不等式可变为-a-12x+3a+1.-a-12x+3-1a-1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 当当a-1a-1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 . . 1212分分 a4a2 x. 22 a4 a2 (,); 22 【防范措施防范措施】 含参数的绝对值不等式含参数的绝对值不等式 解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号

15、进解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进 行讨论，如本例需对行讨论，如本例需对a+1a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结的符号进行讨论，否则易导致错误结 果果. . 1.1.解关于解关于x x的不等式：的不等式：|x|x2 2-a|a.-a|0a0时，原不等式等价于时，原不等式等价于-ax-ax2 2-aa-aa0 x0 x2 22a,0a0时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 2ax2a,x0.且(2a,0)(0, 2a). 2.2.若不等式若不等式|ax+2|ax+2|6 6的解集为的解集为( (1,2)1,2)，则实数，则实数a=_.a=_. 【类题试解类题试解】 2.2.若不等式若不等式|ax+2|ax+2|6 6的解集为的解集为( (1,