利用频率估计概率

1、新课导入新课导入 同一条件下同一条件下, ,在大量重复试验中在大量重复试验中, ,如如 果某随机事件果某随机事件A A发生的频率稳定在某个发生的频率稳定在某个 常数常数p p附近附近, ,那么这个常数就叫做事件那么这个常数就叫做事件A A 的概率的概率. . P(A)= P(A)= m m n n 问题问题( (两题中任选一题）两题中任选一题）: : . .掷一次骰子，向上的一面数字是的掷一次骰子，向上的一面数字是的 概率是概率是_ .某射击运动员射击一次，命中靶心的某射击运动员射击一次，命中靶心的 概率是概率是_ 命中靶心与未命中靶心发生可能性不相等命中靶心与未命中靶心发生可能性不相等 试验

2、的结果不是有限个的试验的结果不是有限个的 各种结果发生的可能性相等各种结果发生的可能性相等 试验的结果是有限个的试验的结果是有限个的 等可能事件等可能事件 某林业部门要考查某种幼树在一定条件下某林业部门要考查某种幼树在一定条件下 的移植成活率的移植成活率, ,应采用什么具体做法应采用什么具体做法? ? 观察在各次试验中得到的幼树成活的频观察在各次试验中得到的幼树成活的频 率，谈谈你的看法率，谈谈你的看法 估计移植成活率估计移植成活率 移植总数（移植总数（n）成活数（成活数（m） 108 成活的频率成活的频率 0.8 ( ) n m 5047 2702350.870 400369 750662

3、150013350.890 350032030.915 70006335 90008073902 0.94 0.923 0.883 0.905 0.897 是实际问题中的一种概率是实际问题中的一种概率, , 可理解为成活的概率可理解为成活的概率. . 数学史实数学史实 人们在长期的实践中发现人们在长期的实践中发现, ,在随机试验中在随机试验中, , 由于众多微小的偶然因素的影响由于众多微小的偶然因素的影响, ,每次测得的结每次测得的结 果虽不尽相同果虽不尽相同, ,但大量重复试验所得结果却但大量重复试验所得结果却能反能反 应客观规律应客观规律. .这称为这称为大数法则

4、大数法则, ,亦称亦称大数定律大数定律. . 由频率可以估计概率是由频率可以估计概率是 由瑞士数学家雅各布由瑞士数学家雅各布伯努伯努 利（利（1654165417051705）最早阐明）最早阐明 的，因而他被公认为是概率的，因而他被公认为是概率 论的先驱之一论的先驱之一 频率稳定性定理频率稳定性定理 估计移植成活率估计移植成活率 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在由下表可以发现，幼树移植成活的频率在 左右摆动，左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律并且随着移植棵数越来越大，这种规律 愈加明显愈加明显. .所以估计幼树移植成活的概率为所以估计幼树移植成活的概率为 0.9 0.9 移植总数

5、（移植总数（n）成活数（成活数（m） 108 成活的频率成活的频率 0.8 ( ) n m 5047 2702350.870 400369 750662 150013350.890 350032030.915 70006335 90008073902 0.94 0.923 0.883 0.905 0.897 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在由下表可以发现，幼树移植成活的频率在左左 右摆动，右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加 明显明显. .所以估计幼树移植成活的概率为所以估计幼树移植成活的概率为 0.9 0.9 移植

6、总数（移植总数（n）成活数（成活数（m） 108 成活的频率成活的频率 0.8 ( ) n m 5047 2702350.870 400369 750662 150013350.890 350032030.915 70006335 90008073902 0.94 0.923 0.883 0.905 0.897 1.1.林业部门种植了该幼树林业部门种植了该幼树10001000棵棵, ,估计能估计能 成活成活_棵棵. . 2.2.我们学校需种植这样的树苗我们学校需种植这样的树苗500500棵来绿棵来绿 化校园化校园, ,则至少向林业部门购买约则至少向林业部门购买约_棵棵

7、. . 900 556 51.54500 44.57450 39.24400 35.32350 30.93300 24.25250 19.42200 15.15150 0.10510.5100 0.1105.5050 柑橘损坏的频率（柑橘损坏的频率（ ）损坏柑橘质量（损坏柑橘质量（m）/千克千克柑橘总质量（柑橘总质量（n）/千克千克 n m 完成下表完成下表, , 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 某水果公司以某水果公司以2 2元元/ /千克的成本新进了千克的成本新进了10 00010 000千克柑橘千克柑橘, ,如如 果公司希望这

8、些柑橘能够获得利润果公司希望这些柑橘能够获得利润5 0005 000元元, ,那么在出售柑橘那么在出售柑橘 ( (已去掉损坏的柑橘已去掉损坏的柑橘) )时时, ,每千克大约定价为多少元比较合适每千克大约定价为多少元比较合适? ? 为简单起见，我们能否直接把表中的为简单起见，我们能否直接把表中的 500500千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑 橘损坏的概率？橘损坏的概率？ 利用你得到的结论解答下列问题利用你得到的结论解答下列问题: : 根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下，根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下， 不妨用表中的最后一行数据中的频

9、率近似地代替概率不妨用表中的最后一行数据中的频率近似地代替概率. . 51.54500 44.57450 39.24400 35.32350 30.93300 24.25250 19.42200 15.15150 0.10510.5100 0.1105.5050 柑橘损坏的频率（柑橘损坏的频率（ ）损坏柑橘质量（损坏柑橘质量（m）/千克千克柑橘总质量（柑橘总质量（n）/千克千克 n m 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 为简单起见，我们能否直接把表中的为简单起见，我们能否直接把表中的 500500千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑千

10、克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑 橘损坏的概率？橘损坏的概率？ 完成下表完成下表, ,利用你得到的结论解答下列问题利用你得到的结论解答下列问题: : 1.1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 0001 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤 鱼、鲫鱼出现的频率是鱼、鲫鱼出现的频率是31%31%和和42%42%，则这个，则这个 水塘里有鲤鱼水塘里有鲤鱼_尾尾, ,鲢鱼鲢鱼_尾尾. . 310270 2.2.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，某厂打算生产一种中学生使用的笔袋， 但无法确定各种颜色的产量，于是该文具但无法确定各种颜色

11、的产量，于是该文具 厂就笔袋的颜色随机调查了厂就笔袋的颜色随机调查了5 0005 000名中学生，名中学生， 并在调查到并在调查到1 0001 000名、名、2 0002 000名、名、3 0003 000名、名、 4 0004 000名、名、5 0005 000名时分别计算了各种颜色名时分别计算了各种颜色 的频率，绘制折线图如下：的频率，绘制折线图如下： 做一做做一做 (1)(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？ (2) (2)你能你能估计估计调查到调查到10 00010 000名同学时，红色的频率是多少吗？名同学时，红色的频率是多少吗？ 估计

12、调查到估计调查到10 00010 000名同学时，红色的频率大约仍是名同学时，红色的频率大约仍是40%40%左右左右. . 随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在40%40%左右左右. . (3) (3)若你是该厂的负责人若你是该厂的负责人, ,你将如何安排生产各种颜色的产量？你将如何安排生产各种颜色的产量？ 红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比 例大约为例大约为4:2:1:1:2 . 4:2:1:1:2 . 3.3.如图如图, ,长方形内有一不规则区域长方形内有一不规则区域, ,现在玩投现在玩投 掷游戏掷游戏, ,如果随机

13、掷中长方形的如果随机掷中长方形的300300次中，有次中，有 100100次是落在不规则图形内次是落在不规则图形内. . 【拓展拓展】 你能设计一个利用频你能设计一个利用频 率估计概率的实验方法估率估计概率的实验方法估 算该不规则图形的面积的算该不规则图形的面积的 方案吗方案吗? ? (1)(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)(2)若该长方形的面积为若该长方形的面积为150,150,试估计不规则试估计不规则 图形的面积图形的面积. . 了解了一种方法了解了一种方法-用多次试验频率用多次试验频率 去估计概率去估计概率 体会了一种思想：体会了一种思想：

14、 用样本去估计总体用样本去估计总体 用频率去估计概率用频率去估计概率 弄清了一种关系弄清了一种关系-频率与概率的关系频率与概率的关系 当当试验次数很多或试验时样本容量足够大试验次数很多或试验时样本容量足够大 时时, ,一件事件发生的一件事件发生的频率频率与相应的与相应的概率概率会非常会非常 接近接近. .此时此时, ,我们可以用一件事件发生的我们可以用一件事件发生的频率频率来来 估计这一事件发生的估计这一事件发生的概率概率. . 小红和小明在操场上做游戏，他们先小红和小明在操场上做游戏，他们先 在地上画了半径分别为在地上画了半径分别为2m2m和和3m3m的同心圆的同心圆( (如如 图图) )，

15、蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子 ，掷中阴影小红胜，掷中里面小圈小明胜，掷中阴影小红胜，掷中里面小圈小明胜 ，未掷入大圈内不算未掷入大圈内不算，你认为游戏公平吗，你认为游戏公平吗 ？为什么？为什么？ 3m 2m 教学目标教学目标 过程与方法过程与方法 当事件的试验结果不是有限个或结果当事件的试验结果不是有限个或结果 发生的可能性不相等时，要用频率来估计发生的可能性不相等时，要用频率来估计 概率。通过试验，理解当试验次数较大时概率。通过试验，理解当试验次数较大时 试验频率稳定于理论概率，进一步发展概试验频率稳定于理论概率，进一步发展概 率观念。率观念。 知识与能

16、力知识与能力 通过实验及分析试验结果、收集数据、通过实验及分析试验结果、收集数据、 处理数据、得出结论的试验过程，体会频处理数据、得出结论的试验过程，体会频 率与概率的联系与区别，发展学生根据频率与概率的联系与区别，发展学生根据频 率的集中趋势估计概率的能力。率的集中趋势估计概率的能力。 通过具体情境使学生体会到概率是描述不通过具体情境使学生体会到概率是描述不 确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中 学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题 的习惯。在活动中进一步发展合作交流的意识的习惯。在活动中进一步发展合作交

17、流的意识 和能力。和能力。 教学目标教学目标 情感态度与价值观情感态度与价值观 教学重难点教学重难点 教学重点教学重点 理解当试验次数较大时，试验频理解当试验次数较大时，试验频 率稳定于理论概率。率稳定于理论概率。 教学难点教学难点 对概率的理解。对概率的理解。 某林业部门要考察某种幼树在一某林业部门要考察某种幼树在一 定条件的移植成活率，应该用什么具体做法？定条件的移植成活率，应该用什么具体做法？ 问题问题1 1 分析：分析： 幼苗移植成活率是实际问题中的一种概率。幼苗移植成活率是实际问题中的一种概率。 这个实际问题中的移植试验不属于各种结果可这个实际问题中的移植试验不属于各种结果可 能性相

18、等的类型，所以成活率要由频率去估计。能性相等的类型，所以成活率要由频率去估计。 在同样条件下，大量地对这种幼苗进行移在同样条件下，大量地对这种幼苗进行移 植，并统计成活情况，计算成活的频率。如果植，并统计成活情况，计算成活的频率。如果 随着移植棵数随着移植棵数n n的越来越大，频率的越来越大，频率 越来越稳越来越稳 定于某个常数，那么这个常数就可以被当作成定于某个常数，那么这个常数就可以被当作成 活率的近似值。活率的近似值。 下表是一张模拟的统计表，请填出表中的下表是一张模拟的统计表，请填出表中的 空缺，并完成表后的填空。空缺，并完成表后的填空。 n m 0.905 0.923 0.883 0

19、.94 0.897 一个学习校小组有一个学习校小组有6 6名男生名男生3 3名女生。老师名女生。老师 要从小组的学生中先后随机地抽取要从小组的学生中先后随机地抽取3 3人参加几人参加几 项测试，并且每名学生都可被重复抽取。你能项测试，并且每名学生都可被重复抽取。你能 设计一种试验来估计设计一种试验来估计“被抽取的被抽取的3 3人中有人中有2 2名男名男 生生1 1名女生名女生”的概率吗？的概率吗？ 从表可以发现，幼苗移植成活的频从表可以发现，幼苗移植成活的频 率在（率在（ ）左右摆动，并且）左右摆动，并且 随着统计数据的增加，这种规律愈随着统计数据的增加，这种规律愈 加明显，所以估计幼树移植成

20、活的加明显，所以估计幼树移植成活的 概率为（概率为（ ）。）。 0.9 0.9 0.5 事件发生的概率与事件发生的频事件发生的概率与事件发生的频 率有什么联系和区别？率有什么联系和区别？ 0.9 2.某射击运动员在同一条件下练习射击,结果 如下表所示: 射击次数n102050100200500 击中靶心次数m 8194492178452 击中靶心频率 m/n (1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中. (2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率多少 0.80.950.88 0.920.890.94 0.9 普查普查 为了一定的目的为了一定的目的, ,而对考察对象进行而对考察对象进行 全面的调查

21、全面的调查, ,称为普查称为普查; ; 频数频数 在考察中在考察中, ,每个对象出现的次数每个对象出现的次数; ; 频率频率 而每个对象出现的次数与总次数的比而每个对象出现的次数与总次数的比 值称为频率值称为频率. . 总体总体 所要考察对象的全体所要考察对象的全体, ,称为总体称为总体, , 个体个体 而组成总体的每一个考察对象称为个体而组成总体的每一个考察对象称为个体; ; 抽样调查抽样调查 从总体中抽取部分个体进行调查从总体中抽取部分个体进行调查, , 这种调查称为抽样调查这种调查称为抽样调查; ; 样本样本 从总体中抽取的一部分个体叫做总体从总体中抽取的一部分个体叫做总体 的一个样本的

22、一个样本; ; 知识要点知识要点 w必然事件必然事件 w不可能事件不可能事件 w可能性可能性 0 (50%) 1(100%) 不可不可 能发能发 生生 可可 能能 发发 生生 必然必然 发生发生 w随机事件随机事件(不确定事件不确定事件) 概率概率 事件发生的可能性事件发生的可能性, ,也称为事件发生也称为事件发生 的概率的概率. . w必然事件发生的概率为必然事件发生的概率为1(1(或或100%),100%), 记作记作P(P(必然事件必然事件)=1;)=1; w不可能事件发生的概率为不可能事件发生的概率为0,0, 记作记作P(P(不可能事件不可能事件)=0;)=0; w随机事件随机事件(不

23、确定事件不确定事件) )发生的概率介于发生的概率介于0 0 1 1之之 间间, ,即即0P(0P(不确定事件不确定事件)1.)1. w如果如果A A为为随机事件随机事件(不确定事件不确定事件),), 那么那么0P(A)1.0P(A)1. 用列举法求概率的条件用列举法求概率的条件: : m P A = n (1)(1)实验的所有结果是有限个实验的所有结果是有限个(n)(n) (2)(2)各种结果的可能性相等各种结果的可能性相等. . 当实验的所有结果不是有限个当实验的所有结果不是有限个; ;或各种或各种 可能结果发生的可能性不相等时可能结果发生的可能性不相等时. .又该如何又该如何 求事件发生的

24、概率呢求事件发生的概率呢? ? 某林业部门有考查某种幼树在一定条件某林业部门有考查某种幼树在一定条件 下的移植成活率下的移植成活率, ,应采取什么具体做法应采取什么具体做法? ? 某水果公司以某水果公司以2 2元元/ /千克的成本新进了千克的成本新进了 1000010000千克柑橘千克柑橘, ,如果公司希望这些柑橘能够如果公司希望这些柑橘能够 获得利润获得利润50005000元元, ,那么在出售柑橘时那么在出售柑橘时( (去掉坏去掉坏 的的),),每千克大约定价为多少元每千克大约定价为多少元? ? 问题问题1 1 问题问题2 2 上面两个问题上面两个问题, ,都不属于结果可能性相都不属于结果可

25、能性相 等的类型等的类型. .移植中有两种情况活或死移植中有两种情况活或死. .它们的它们的 可能性并不相等可能性并不相等, , 事件发生的概率并不都为事件发生的概率并不都为 50%.50%.柑橘是好的还是坏的两种事件发生的概柑橘是好的还是坏的两种事件发生的概 率也不相等率也不相等. .因此也不能简单的用因此也不能简单的用50%50%来表示来表示 它发生的概率它发生的概率. . 应该如何做呢应该如何做呢? ?翻翻 到课本到课本157157页页. . 在相同情况下随机的抽取若干个体进行在相同情况下随机的抽取若干个体进行 实验实验, ,进行实验统计进行实验统计, ,并计算事件发生的并计算事件发生的

26、 频率频率 , ,根据频率估计该事件发生的概率根据频率估计该事件发生的概率. . m n 当试验次数很大时,一个事件发生频率也 稳定在相应的概率附近.因此,我们可以通过多 次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事 件发生的概率. 知识要点知识要点 例例1.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表： 当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜 籽发芽的频率籽发芽的频率 接近于常数接近于常数0.9，于是我们，于是我们 说它的说它的概率是概率是0.90.9。 m n 例例2.2. 对某电视机厂生产的电视机进行抽样对某电视机厂生产的电视机进行

27、抽样 检测的数据如下：检测的数据如下： 抽取抽取 台数台数 501002003005001000 优等优等 品数品数 4092192285478954 （1）计算表中优等品的各个频率；）计算表中优等品的各个频率； （2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？ 0.80.920.960.950.9560.954 概率是概率是0.9 频率频率 课堂小结课堂小结 概率概率 事件发生的可能性事件发生的可能性, ,也称为事件发生也称为事件发生 的概率的概率. . w必然事件发生的概率为必然事件发生的概率为1(1(或或100%),100%), 记作记作P(P(必然事件必

28、然事件)=1;)=1; w不可能事件发生的概率为不可能事件发生的概率为0,0, 记作记作P(P(不可能事件不可能事件)=0;)=0; w随机事件随机事件(不确定事件不确定事件) )发生的概率介于发生的概率介于0 0 1 1之之 间间, ,即即0P(0P(不确定事件不确定事件)1.)1. w如果如果A A为为随机事件随机事件(不确定事件不确定事件),), 那么那么0P(A)1.0P(A)1. 当试验次数很大时,一个事件发生频 率也稳定在相应的概率附近.因此,我们可 以通过多次试验,用一个事件发生的频率 来估计这一事件发生的概率. 1.1.依据闯关游戏规则，请你探究依据闯关游戏规则，请你探究“闯关

29、游戏闯关游戏” 的奥秘：的奥秘： （1 1）用列举的方法表示有可能的闯关情况；）用列举的方法表示有可能的闯关情况； （2 2）求出闯关成功的概率）求出闯关成功的概率 。 课堂练习课堂练习 左右 解解（1 1）所有可能的闯关情况：（左所有可能的闯关情况：（左1 1，右，右1 1） （左（左1 1，右，右2 2）；（左）；（左2 2，右，右1 1）（左）（左2 2，右，右2 2）。）。 （2 2）闯关成功的概率是）闯关成功的概率是 。 1 4 2.某水果公司以2元/千克的成本新进了10000 千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利 润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑 橘）时，每千克大约

30、定价为多少元比较合适？ 分析：如果估计这个概率为0.1，则柑橘完好 的概率为0.9。 解：根据估计的概率可以知道，在解：根据估计的概率可以知道，在1000010000千克柑千克柑 橘中完好柑橘的质量为橘中完好柑橘的质量为10000100000.9=90000.9=9000千克，千克， 完好柑橘的实际成本为完好柑橘的实际成本为 设每千克柑橘的销价为设每千克柑橘的销价为x x元，则应有元，则应有 （x-2.22x-2.22）9000=50009000=5000 解得解得 x2.8x2.8 因此，出售柑橘时每千克大约定价为因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.82.8元可获元可获 利润利润50005000元。元。 2100002 =2.22(元/千克) 90000.9 3.3.如图，小明、小华用如图，小明、小华用4 4张扑克牌（方块张扑克牌（方块2 2、 黑桃黑桃4 4、黑桃、黑桃5