高中数学第1部分第二章2-42-4-2求函数零点近似解的一种计算方法二分法课件新人教B版必修

1、2.2. 4 4 函 数 与 方 程 把握热点考向 应用创新演练 第 二 章 函 数 考点一 考点二 2.4.22.4.2 求函 数零 点近 似解 的一 种计 算方 法 二分 法 理解教材新知 知识点一 知识点二 已知已知yf(x)的图象的图象 问题问题1：函数：函数yf(x)有几个零点？有几个零点？ 提示：提示：三个三个 问题问题2：观察图象，在零点两侧函数值有何不同？：观察图象，在零点两侧函数值有何不同？ 提示：提示：在在x1、x3的两侧函数值异号，在的两侧函数值异号，在x2的两侧函数的两侧函数 值同号值同号 变号零点与不变号零点变号零点与不变号零点 如果函数如果函数yf(x)在一个区间在

2、一个区间a，b上的上的 ，并，并 且在它的两个端点处的函数值异号，即且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个，则这个 函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)， 使使f(x0)0.如果函数图象通过零点时如果函数图象通过零点时 ，则称这样，则称这样 的零点为变号零点如果没有的零点为变号零点如果没有 ，则称这样的零点，则称这样的零点 为不变号零点为不变号零点. 图象不间断图象不间断 f(a)f(b)0 穿过穿过x轴轴 穿过穿过x轴轴 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的 电话线

3、路发生了故障电话线路发生了故障.这是一条这是一条10 km长的线路，如果沿着线长的线路，如果沿着线 路一小段一小段查找，困难很多，每查一点就要爬一次电线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点就要爬一次电线 杆子杆子.10 km长，大约有长，大约有200多根电线杆子多根电线杆子(如图如图) 问题问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 提示：提示：首先从首先从AB的中点的中点C查，随带话机向两端测试，查，随带话机向两端测试， 若发现若发现AC正常，断定故障在正常，断定故障在BC段，再取段，再取BC的中点的中点D， 再测再测CD和和BD. 问题问题2：在有限次

4、重复相同的步骤下，能否最快地查：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查 出故障出故障? 提示：提示：能能 1二分法的原理二分法的原理 我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较， 按需要留下一个小区间的方法称为按需要留下一个小区间的方法称为 它是通过不它是通过不 断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到近似值的方法逐步逼近零点，进而得到近似值的方法 二分法二分法 2二分法的步骤二分法的步骤 第一步：在第一步：在D内取一个闭区间内取一个闭区间a0，b0D，使，使

5、f(a0)与与 f(b0)异号，即异号，即f(a0)f(b0)0.零点位于区间零点位于区间a0，b0中中 继续实施上述步骤，直到区间继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零，函数的零 点总位于区间点总位于区间an，bn上，当上，当an和和bn按照给定的精确度按照给定的精确度 所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y f(x)的近似零点，计算终止这时函数的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零的近似零 点满足给定的精确度点满足给定的精确度. (1)二分法就是通过不断逼近的办法，找到零点附近二分法就是通过不断逼近的办法，找到零点附近 足

6、够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个 数值近似地表示零点数值近似地表示零点 (2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的 变号零点适用，对函数的不变号零点不适用变号零点适用，对函数的不变号零点不适用 例例1下列函数图象与下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分轴均有交点，其中不能用二分 法求图中函数零点的是法求图中函数零点的是() 思路点拨思路点拨解答本题可根据二分法的定义，判解答本题可根据二分法的定义，判 断是否具备用二分法求零点的条件断是否具备用二分法求零点的条件 精解详析精解详析利用

7、二分法求函数零点必须满足零点两利用二分法求函数零点必须满足零点两 侧函数值异号在侧函数值异号在B中，不满足中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分，不能用二分 法求零点；法求零点；A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用中零点两侧函数值异号，故可采用 二分法求零点二分法求零点 答案答案B 一点通一点通判断一个函数能否用二分法求其零点的依判断一个函数能否用二分法求其零点的依 据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变 号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅 对函数的变号零点适用，对函数的不

8、变号零点不适用对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用 1.函数函数f(x)的图象如图所示，函数的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数的变号零点个数 为为() A0B1 C4 D3 解析：解析：由图可知，图象与由图可知，图象与x轴有轴有4个公共点，个公共点，3个穿个穿 过过x轴，共有轴，共有4个零点，其中有个零点，其中有3个变号零点个变号零点 答案：答案：D 例例2用二分法求函数用二分法求函数f(x)x3x2的一个正实数零的一个正实数零 点点(精确到精确到0.1) 思路点拨思路点拨解答本题可先确定函数的一个零点所在的解答本题可先确定函数的一个零点所在的 大致区间，然后将区间不断一分为

9、二使其零点的范围越来越大致区间，然后将区间不断一分为二使其零点的范围越来越 小，直至所得区间两端点按精确度要求取得同一个值时，求小，直至所得区间两端点按精确度要求取得同一个值时，求 解结束解结束 精解详析精解详析由由f(1)20，可以确定区间，可以确定区间 1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表： 由表中数据可知，区间由表中数据可知，区间1.5,1.531 25的左、右端点精的左、右端点精 确到确到0.1所取的近似值都是所取的近似值都是1.5，所以，所以1.5可作为所求函数的可作为所求函数的 一个正实数零点的近似值一个正实数零点的近

10、似值 一点通一点通 (1) 用二分法求函数的零点应遵循的原则用二分法求函数的零点应遵循的原则: 首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的 零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及 时检验所得区间的端点值按照所给的精确度所取的近似值是时检验所得区间的端点值按照所给的精确度所取的近似值是 否相同，以决定是停止还是继续计算否相同，以决定是停止还是继续计算 (2)用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器 一步步求解即可一步步求解即可.在

11、计算时可借助表格或数轴清晰地描述在计算时可借助表格或数轴清晰地描述 逐步缩小零点所在的区间的过程逐步缩小零点所在的区间的过程.在区间两端点的值按照在区间两端点的值按照 给定的精确度所取的近似值相同时，运算结束给定的精确度所取的近似值相同时，运算结束 2用二分法研究函数用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经的零点时，第一次经 计算计算f(0)0，可得其中一个零点，可得其中一个零点x0_， 第二次应计算第二次应计算_以上横线应填的内容为以上横线应填的内容为 () A(0,0.5)f(0.25) B(0,1)f(0.25) C(0.5,1)f(0.75) D(0,0.5)f(0.125

12、) 解析：解析：因为因为f(0)0，故，故x0(0,0.5).依二分法，依二分法， 第二次应计算第二次应计算f(0.25) 答案：答案：A 3用二分法求方程用二分法求方程x280在区间在区间(2,3)内的近似解，经内的近似解，经 过过 _次二分后精确度能达到次二分后精确度能达到0.1. 解析：解析：设设f(x)x28. 取取(2,3)的中点的中点x12.5. f(2.5)0， 所以取所以取(2.5,3)的中点的中点x22.75. f(2.75)0， 取取(2.75,2.875)的中点的中点x42.812 5. f(2.812 5)0， 零点在零点在(2.812 5,2.843 75)内内. 2.812 5与与2.843 75精确到精确到0.1均为均为2.8， x280在在(2,3)内精确到内精确到0.1的近似解为的近似解为2.8， 从而可知，经过从而可知，经过5次二分即可得次二分即可得x280精确到精确到0.1的近似解的近似解 答案：答案：5 (1) 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是： 其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零 点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函点因此，用二分法求函数的零点近似值