ch1数字逻辑基础

1、数字电子技术数字电子技术 姓名：吴志敏姓名：吴志敏 单位：信息数理学院单位：信息数理学院 办公地点：文约楼办公地点：文约楼603603 使用教材使用教材 q数字电路逻辑设计数字电路逻辑设计第2版（朱正伟主 编），清华大学出版社，2011。 参考教材参考教材 v1、康华光主编.电子技术基础.第四版.高等教育 出版社,1998 v2、阎石主编.数字电子技术基础.第四版.高等教 育出版社，1998 v3、江小安主编.数字电子技术.西安电子科技大学 出版社,1996 v4、范志忠.实用数字电子技术.电子工业出版 社,1998 本课程考核办法本课程考核办法 v平时（包括点名和作业）平时（包括点名和作业）

2、：1515 v实验（实验（4 4个必做）：个必做）：1515 v考试考试：7070 v考试形式：考试形式：闭卷笔试闭卷笔试 第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础 1.2 数制与码制数制与码制 1.3 逻辑代数的运算逻辑代数的运算 1.1 数字电路概述数字电路概述 1.4 逻辑代数的基本定律和基本运算规则逻辑代数的基本定律和基本运算规则 1.5 逻辑函数的表示方法及标准形式逻辑函数的表示方法及标准形式 1.6 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 学习要点学习要点： 二进制、八进制与十进制的相互转换 逻辑代数的公式与定理、逻辑函数化简 -时间和数值均连续变化的电信号，如正弦波、三时间和数值均连续变化的

3、电信号，如正弦波、三 角波等角波等 u u O t O t u u 1.1.11.1.1模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号 1.1 1.1 数字电路概述数字电路概述 数字信号波形数字信号波形 2 2、数字信号、数字信号 - -在时间上和数值上均是离散的信号。在时间上和数值上均是离散的信号。 (1) (1)数字信号的主要参数数字信号的主要参数 m V信号幅度。它表示电压波形变化的最大值。信号幅度。它表示电压波形变化的最大值。 T Tf/1 信号的周期。信号的频率信号的周期。信号的频率 。 W t脉冲宽度。它表示脉冲的作用时间。脉冲宽度。它表示脉冲的作用时间。 q占空比。 占空比。 %100(%

4、) T t q W 它表示脉冲宽度占整个周期它表示脉冲宽度占整个周期T的百分比，其定义为：的百分比，其定义为： 电压电压(V)(V)二值逻辑二值逻辑电电 平平 +51H( (高电平高电平) ) 00L( (低电平低电平) ) 逻辑电平与电压值的关系（正逻辑）逻辑电平与电压值的关系（正逻辑） (2)(2)数字信号的描述方法数字信号的描述方法 1)1)、二值数字逻辑和逻辑电平、二值数字逻辑和逻辑电平 a a 、在电路中用低、高电平表示、在电路中用低、高电平表示0 0、1 1两种逻辑状态两种逻辑状态 0 0、1 1数码数码- 表示方式表示方式 二值数字逻辑二值数字逻辑 - - (a) (a) 用逻辑

5、电平描述的数用逻辑电平描述的数 字波形字波形 (b) 16(b) 16位数据的图形表位数据的图形表 示示 2)2)、数字波形、数字波形 数字波形数字波形-是信号逻辑电平对时间的图形表示是信号逻辑电平对时间的图形表示. . (1)(1)根据电路的结构特点及其对输入信号的响应规则的不根据电路的结构特点及其对输入信号的响应规则的不 同，同， - -数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路。数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路。 a.a.组合逻辑电路组合逻辑电路 特点特点:输出只与当时的输入有关，电路没有记忆功能。输出只与当时的输入有关，电路没有记忆功能。 b.b.时序逻辑电路时序逻辑电路 特点：

6、输出不仅与当时的输入有关，还与电路特点：输出不仅与当时的输入有关，还与电路 原来的状态有关。原来的状态有关。 1.1.数字电路的分类数字电路的分类 1.1.2 数字电路数字电路 （2 2）按集成电路规模的大小分类按集成电路规模的大小分类 - -数字集成电路可分为小规模、中规模、数字集成电路可分为小规模、中规模、 大规模、超大规模和甚大规模五类。大规模、超大规模和甚大规模五类。 1.1.数字电路的分类数字电路的分类 1.1.2 数字电路数字电路 可编程逻辑器件、多功能专用集成 电路 106以上甚大规模 大型存储器、微处理器10,00099,999超大规模 小型存储器、门阵列1009999大规模

7、计数器、加法器1099中规模 逻辑门、触发器最多10个小规模 典型集成电路门的个数分类 集成度集成度: :每一芯片所包含的门个数每一芯片所包含的门个数 （3 3）按所采用的半导体类型分类）按所采用的半导体类型分类 - -数字集成电路可分为双极型电路和单极型数字集成电路可分为双极型电路和单极型 电路电路 。 1.1.数字电路的分类数字电路的分类 1.1.2 数字电路数字电路 a.a.双极型电路双极型电路 -采用采用双极型半导体器件双极型半导体器件作为元件。作为元件。 双极型电路可分为：双极型电路可分为：TTLTTL电路、电路、ECL ECL 电路和电路和I IL L 等等 类型。类型。 b.b.

8、单极型电路单极型电路-采用采用金属金属- -氧化物半导体场效应管氧化物半导体场效应管 ( (简称为简称为MOSMOS管管) )作为元件。作为元件。 MOSMOS集成电路又可分为集成电路又可分为 PMOSPMOS、NMOSNMOS和和CMOSCMOS等类型。等类型。 2.数字电路的优点数字电路的优点 1)1)由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，只由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，只 有有0 0和和1 1两个基本数字，易于用电路来实现两个基本数字，易于用电路来实现 ； 2)2)由数字电路组成的数字系统工作可靠，精度较由数字电路组成的数字系统工作可靠，精度较 高，抗干扰能力强；高，抗干扰能力强

9、； 3)3)数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻 辑判断和运算辑判断和运算 ； 4)4)数字信息便于长期保存数字信息便于长期保存 ； 5)5)数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。 3.数字电路的分析、设计与测试数字电路的分析、设计与测试 (1)数字电路的分析方法数字电路的分析方法 数字电路的分析数字电路的分析: :根据电路确定根据电路确定电路输出与输电路输出与输 入之间的逻辑关系。入之间的逻辑关系。 分析工具：分析工具：逻辑代数。逻辑代数。 电路逻辑功能主要用真值表、功能表、逻辑表达式电路逻辑功能主要用

10、真值表、功能表、逻辑表达式 和波形图。和波形图。 3.数字电路的分析、设计与测试数字电路的分析、设计与测试 (2) 数字电路的设计方法数字电路的设计方法 数字电路的设计数字电路的设计:从给定的逻辑功能要求出发，选从给定的逻辑功能要求出发，选 择适当的逻辑器件，设计出符合要求的逻辑电路择适当的逻辑器件，设计出符合要求的逻辑电路。 设计方式设计方式: :分为传统的设计方式和基于分为传统的设计方式和基于EDA软件的软件的 设计方式。设计方式。 (3) 数字电路的测试方法数字电路的测试方法 测试时必须具备的基本仪器设备测试时必须具备的基本仪器设备: :数字电压表数字电压表 和电子示波器和电子示波器 1

11、.2.1 常用计数制常用计数制 1. 十进制数十进制数（Decimal）- 逢十进一逢十进一 数码数码：0 9 位权：位权： 01234 105104103102101 2. 二进制数（二进制数（Binary） - 逢二进一逢二进一 数码：数码：0 ，1位权：位权： 2 ) 1011 ( 0123 21212021 10 ) 12345 ( i 10 i 2 21012 105107103104101 10 ) 75 143. ( 2 ) 11 101. ( 21012 2121212021 1.2数制与码制数制与码制 数码数码：0 7位权：位权： 8 ) 41 .37 ( 2101 8184

12、8783 i 8 3.八进制数八进制数（Octal）- 逢八进一逢八进一 4.十六进制数十六进制数 (Hexadecimal) -逢十六进一逢十六进一 数码：数码：0 9 , A(10) , B(11) , C(12) , D(13) , E(14) , F(15) 位权：位权： i 16 16 ) 7F 2A. ( 2101 16151671610162 任意任意(N)进制数展开式的普遍形式：进制数展开式的普遍形式： i iN kD i k i N 第第 i 位的系数位的系数 第第 i 位的权位的权 十六进制的十六进制的 1、与二进制之间的转换容易；、与二进制之间的转换容易； 2、计数容量较

13、其它进制都大。假如同样采用四位数、计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数 码，二进制最多可计至码，二进制最多可计至( 1111)B =( 15)D； 八进制可计至八进制可计至 (7777)O =( 4095)D； 十进制可计至十进制可计至 (9999)D； 十六进制可计至十六进制可计至 (FFFF)H = (65535)D，即，即64K。其容量。其容量 最大。最大。 3、书写简洁。、书写简洁。 1.2.2数制转换数制转换 (1) 二二-十转换：十转换： 将二进制数按位权展开后相加将二进制数按位权展开后相加 2 ) 11 .101 ( 21012 2121212021 10 )75 . 5(

14、25 . 05 . 014 原理原理：将整数部分和小数部分：将整数部分和小数部分分别分别进行转换。进行转换。 整数部分整数部分采用基数采用基数连除连除法，法，小数部分小数部分 采用基数采用基数连乘连乘法。转换后再合并。法。转换后再合并。 (2) 十十- -二转换二转换 法一：法一：基数连除、连乘法基数连除、连乘法 2 44 余数 低位 2 22 0=K0 2 11 0=K1 2 5 1=K2 2 2 1=K3 2 1 0=K4 0 1=K5 高位 0.375 2 整数 高位 0.750 0=K1 0.750 2 1.500 1=K2 0.500 2 1.000 1=K3 低位 整数部分采用整数

15、部分采用基数连除法基数连除法， 先得到的余数为低位，后先得到的余数为低位，后 得到的得到的余数余数为高位。为高位。 小数部分采用小数部分采用基数连乘法基数连乘法， 先得到的整数为高位，后先得到的整数为高位，后 得到的得到的整数整数为低位为低位。 所以：(44.375)10(101100.011)2 采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的 N进制数。进制数。 (2) 十十- -二转换二转换： 法法2：降幂比较法：降幂比较法 要求熟记要求熟记 20 210 的数值的数值 。 20212223242526272829210 12481632641

16、28 256 512 1024 210 ) () 571 ( 10011101 157 ) 128 29 ) 16 ) 8 5 27 24 13 快速转换法：拆分法快速转换法：拆分法 ( 26 )10= 16 + 8 + 2= 24 +23 + 21= ( 1 1 0 1 0 )2 ) 4 1 1 16 8 4 2 1 (2) 十十- -二转换二转换： 法二：降幂比较法法二：降幂比较法 23 22 20) 0 12821572562 78 16229322 45 8213162 34 42582 23 12122 01 (3) 二二-八转换八转换: 82 ) () 111 101 10 ( 2

17、57 57 (4) 八八-二转换二转换:每位每位 8 进制数转换为相应进制数转换为相应 3 位二进制数位二进制数 28 ) () 47 .31 ( 011 001. 100 111 每每 3 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 8 进制数进制数 28 ) () 64 375. ( 011 111 101. 110 100 0 82 ) () 1 1 0 0 0 1. 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 ( 00 2341. 06 2 （5）二）二-十六转换：十六转换： 每每 4 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 16 进制数进制数 16210 ) () () 26 ( 1010 11

18、A A1 （6）十六）十六-二转换：二转换： 每位每位 16 进制数换为相应的进制数换为相应的 4 位二进制数位二进制数 216 ) () 6 C . AF 8 ( 0 0 0 1 216 ) () F 2 . 8 D E ( 0 1 1 1 1 1 1 1. 0 1 0 10 0 1 10 1 1 0 1 0 1 1. 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 ) () 1 0 0 . 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ( 162 2 . 6 B 1 000 0000 编码：编码：用数码或符号、文字来表示特定对象的过程。用数码或符号、文字来表示特定对象的过程。 代码：代码： 用于编码

19、的数码。用于编码的数码。 用四位二进制数组成一组代码来表示用四位二进制数组成一组代码来表示 十个数字十个数字 0 9，又称为，又称为 BCD 码码 （Binary Coded Decimal ）。）。 几种常见的几种常见的BCD代码：代码： 8421码码 余余 3 码码 2421码码5211码码 余余 3 循环码循环码 其它代码：其它代码：ISO 码 码，ASCII（美国信息交换标准代码美国信息交换标准代码） 一一.BCD.BCD码：码： 1.2.3代码和常用码制代码和常用码制 数字系统只能识别数字系统只能识别0 0和和1 1，怎样才能表示更多的数，怎样才能表示更多的数 码、符号、字母呢？用编

20、码可以解决此问题。码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。 表表1-1-2 1-1-2 几种常见的几种常见的BCDBCD代码代码 编码种类编码种类 十进制数十进制数 二进制二进制8421-BCD2421-BCD余余3码码余余3循环码循环码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 0011 0100

21、0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 权权 8421 2421 非恒权码非恒权码 变权码变权码 8421-BCD+“0011”相邻两码只有一相邻两码只有一 位不同位不同 52111BCD与之类与之类 似似 数字电子技术数字电子技术 二二. 格雷码格雷码(Gray Code) 格雷码是一种格雷码是一种无权码无权码，其特点是，其特点是任意两个相任意两个相 邻码组之间只有一位码元不同邻码组之间只有一位码元不同。典型的。典型的n位格雷位格雷 码中，码中，0和最大

22、数（和最大数（ 2n-1 ）之间也只有一位码元）之间也只有一位码元 不同。因此它是一种不同。因此它是一种循环码循环码。表。表1-1-3示出了典型示出了典型 的四位格雷码。的四位格雷码。 格雷码在传输过程中引起的误差较小，因为格雷码在传输过程中引起的误差较小，因为 相邻码组中仅有一位码元不同，这样可减小逻辑相邻码组中仅有一位码元不同，这样可减小逻辑 上的差错，避免可能存在的瞬间模糊状态，所以上的差错，避免可能存在的瞬间模糊状态，所以 它是它是错误最小化代码。错误最小化代码。 表表1 1 典型格雷码与二进制码典型格雷码与二进制码 思考思考3：怎样记忆？：怎样记忆？ 余余3循环码循环码 三、误差检验

23、码三、误差检验码(Error-detecting Codes) 由于存在干扰，二进制信息在传输过程中会由于存在干扰，二进制信息在传输过程中会 出现错误。为发现并纠正错误，提高数字设备的出现错误。为发现并纠正错误，提高数字设备的 抗干扰能力，必须使代码具有发现错误并纠正的抗干扰能力，必须使代码具有发现错误并纠正的 能力，这种代码称为能力，这种代码称为误差检验码误差检验码。 最常用的误差检验码为最常用的误差检验码为奇偶校验码奇偶校验码。它的编。它的编 码方法是在信息码组外增加一位监督码元，码方法是在信息码组外增加一位监督码元，增加增加 监督码元后，使得整个码组中监督码元后，使得整个码组中“1”码元

24、的数目为码元的数目为 奇数或为偶数奇数或为偶数。若为。若为奇奇数，称为数，称为奇校验码奇校验码(Odd parity)；若为；若为偶偶，称为，称为偶校验码偶校验码(Even parity)。 以四位二进制代码为例，采用奇偶校验码时，以四位二进制代码为例，采用奇偶校验码时， 其编码示于表其编码示于表2中。中。 数字电子技术数字电子技术 表表2 2 奇偶校验码奇偶校验码 四、字符、数字代码四、字符、数字代码(Alphanumeric)(Alphanumeric) 字符、数字代码用来表示字符、数字代码用来表示文字、符号文字、符号和和数码数码。 它们是一种特殊的二进制代码，被广泛应用于计算它们是一种特

25、殊的二进制代码，被广泛应用于计算 机和数字通讯中。常见的有机和数字通讯中。常见的有EBCDIC和和ASCII码。码。 其中其中ASCII码是码是美国信息交换标准码（美国信息交换标准码（American National Standard Code for Information Interchange）。ASCII码一般为八位码，其中第八码一般为八位码，其中第八 位是奇偶校验位，其它位是奇偶校验位，其它7位表示信息。位表示信息。 表表3 3列出了七位列出了七位ASCIIASCII码表。码表。 表表3 3 七位七位 ASCII ASCII 码码 1.3.1逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数 在

26、逻辑代数中，用英文字母表示的变量称在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称 为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值 不是不是 1 就是就是 0 。 逻辑函数：逻辑函数：如果输入逻辑变量如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值的取值 确定之后，输出逻辑变量确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被的值也被 唯一确定，则称唯一确定，则称 Y 是是 A、B、C 的的 逻辑函数。并记作逻辑函数。并记作 CBAFY, 原变量和反变量：原变量和反变量：字母上面无反号的称为字母上面无反号的称为原变量原变量， 有反号的叫做有反号的叫做反变量反变量。 逻辑变量：逻辑变量： 1.3 1.3 逻

27、辑代数的运算逻辑代数的运算 1.3.2 三种基本逻辑运算三种基本逻辑运算 1. 与逻辑与逻辑 功能表功能表 灭灭 灭灭 灭灭 亮亮 断断 断断 断断 合合 合合 断断 合合 合合 与逻辑关系与逻辑关系 开关开关A开关开关B 灯灯F电源电源 ABF （1）电路图：）电路图： 当决定一事件的所有条件都具备时，事当决定一事件的所有条件都具备时，事 件才发生的逻辑关系。件才发生的逻辑关系。 （2）真值表：）真值表：经过设定变量和状态赋值后，得到的经过设定变量和状态赋值后，得到的 反映输入变量与输出变量之间因果关反映输入变量与输出变量之间因果关 系的数学表达形式。系的数学表达形式。 功能表功能表 灭灭

28、灭灭 灭灭 亮亮 断断 断断 断断 合合 合合 断断 合合 合合 ABF 与逻辑关系与逻辑关系 真值表真值表 （Truth table） 0 0 0 1 00 01 10 11 ABF 真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式 与门与门（AND gate) 逻辑符号逻辑符号 （3）逻辑函数式及逻辑符号）逻辑函数式及逻辑符号 FA BAB 0 0 0 1 00 01 10 11 ABF A B F & 或逻辑关系或逻辑关系 开关开关A 开关开关B 灯灯F电源电源 功能表功能表 灭灭 亮亮 亮亮 亮亮 断断 断断 断断 合合 合合 断断 合合 合合 ABF 2. 或逻辑或逻辑 决定一事件结果的诸条件中，只

29、要有一个或一个以决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以 上具备时，事件就会发生的逻辑关系。上具备时，事件就会发生的逻辑关系。 （1）电路图：）电路图： (2)真值表真值表 灭灭 亮亮 亮亮 亮亮 断断 断断 断断 合合 合合 断断 合合 合合 ABF 真值表真值表 0 1 1 1 00 01 10 11 ABF 或逻辑关系或逻辑关系 （3）逻辑函数式与逻辑符号）逻辑函数式与逻辑符号 FAB 或门或门（OR gate) ) 真真 值值 表表 逻辑函数式逻辑函数式 逻辑符号逻辑符号 0 1 1 1 00 01 10 11 ABF A B F 1 非逻辑关系非逻辑关系 开关开关A 灯灯F电源电

30、源 R 亮亮 灭灭 断断 合合 AF 功能表功能表 3. 非逻辑非逻辑 （1）电路图：）电路图： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。事件一定发生的逻辑关系。 亮亮 灭灭 断断 合合 AF 功能表功能表 非逻辑关系非逻辑关系 真值表真值表 1 0 0 1 AF (2)真值表真值表 （3）逻辑函数式及逻辑符号：）逻辑函数式及逻辑符号： 真真 值值 表表 逻辑函数式逻辑函数式 F A 逻辑符号逻辑符号 非门非门（NOT gate) 1 0 0 1 AF AF 1 (1) 与非运算与非运算 (NAND) (2) 或非运算或非运

31、算 (NOR) (3) 与或非运算与或非运算 (AND OR INVERT) (真值表略真值表略) 1 1 1 0 ABY 1 0 0 0 1 1 0 1 1 CDABY 3 A B & 1 Y BAY 2 1 0 0 0 1.3.3 几种常用复合逻辑运算几种常用复合逻辑运算 ABY1Y2 Y1、Y2 的真值表的真值表 A B 2 Y 1 A B & C D 3 Y 1 (4) 异或运算异或运算 (ExclusiveOR) (5) 同或运算同或运算 (ExclusiveNOR) ( (异或非异或非) ) A B =1 4 Y BABABAY 4 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1

32、A B =1 5 Y BAY 5 = AB ABY4 ABBA 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 ABY5 基本和常用逻辑运算的逻辑符号基本和常用逻辑运算的逻辑符号 曾用符号曾用符号美国符号美国符号 A B Y A B Y A B Y AY AY 国标符号国标符号 A B &BAY A 1 AY A B Y A B BAY 1 国标符号国标符号曾用符号曾用符号美国符号美国符号 A B & BAY A B Y A B Y A B Y A B =1 BAY A B Y A B Y A B Y A B BAY 1 或：或： 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 与

33、：与： 0 0 = 0 0 1 = 0 1 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系( (变量：变量：A、B、C) ) 或：或：A + 0 = A A + 1 = 1 与与: : A 0 = 0 A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 一、一、 常量之间的关系常量之间的关系( (常量：常量：0 和和 1 ) ) 1.1. 4 4逻辑代数的基本定律和逻辑代数的基本定律和基本运算规则基本运算规则 三、与普通代数相似的定理三、与普通代数相似的定理 交换律交换律 ABBA ABBA 结合律结合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律 ACAB

34、CBA )( )( )(CABABCA 例例 1. 1. 1 证明公式证明公式)(CABABCA 解解 方法一：公式法方法一：公式法 CBBACAAACABA )(右右式式 BCABACA BCBCA )1( 左左式式 BCA 例例 1. 1. 1 证明公式证明公式)(CABABCA 方法二：真值表法方法二：真值表法 ( (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中) ) A B CCB BCA BA CA )(CABA 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0

35、 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 相等相等 解解 四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理 BABA BABA 重叠律重叠律A + A = AA A = A 还原律还原律 AA 例例 1. 1. 2 证明：证明：德德 摩根定摩根定理理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 BA BA 0 0 0 1 1 1 1 0 ABBA 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 BA BA BA 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 相等相等相等相等 德德 摩根定摩根定理理

36、 吸收律吸收律 BAAB (1) ABA (2) BAA (3) AAA ) ( )(BBA )1(BA )(BAAA A A BA 推广推广 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量 1.4.2 逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则 1. 代入规则：代入规则： 等式中某一变量都代之以一个逻等式中某一变量都代之以一个逻 辑函数，则等式仍然成立。辑函数，则等式仍然成立。 例如，已知例如，已知 BABA ( (用函数用函数 A + C 代替代替 A) ) 则则

37、 BCABCABCA )( 2. 反演规则：反演规则： 不属于单个变量上不属于单个变量上的反号的反号应保留不变应保留不变 运算顺序：运算顺序：括号括号 乘乘 加加 注意注意: Y 例如：例如：已知已知 )( 1 CDCBAY ) ( ) ( 1 DCCBAY CDCBAY 2 CDCBAY )( 2 反演规则的应用：反演规则的应用：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数 则则 将将 Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量 已知已知 则则 运算顺序：运算顺序： 括号括号

38、 与与 或或 不属于单个变量上不属于单个变量上 的反号应保留不变的反号应保留不变 Y 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 1.4.2 逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则 3. 对偶规则：对偶规则： 不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变 运算顺序：运算顺序：括号括号 乘乘 加加 注意注意: Y 例如：例如：已知已知 1 ()()YAB AC 1 YABAC 则则 1.5 逻辑函数的表示方法及标准形式逻辑函数的表示方法及标准形式 1. 5. 1 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 一、真值表

39、一、真值表将变量的各种取值与相应的函数值，以将变量的各种取值与相应的函数值，以 表格的形式一一列举出来。表格的形式一一列举出来。 1. 列写方法列写方法 CABCABY ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 例如函数例如函数 2. 主要特点主要特点 优点：优点：直观明了，便于将实际逻直观明了，便于将实际逻 辑问题抽象成数学表达式。辑问题抽象成数学表达式。 缺点：缺点：难以用公式和定理进行运难以用公式和定理进行运 算和变换；变量较多时，算和变换；变量较多时， 列函数真值表较繁琐。列函数真值表较繁琐

40、。 三、逻辑表达式三、逻辑表达式 优点：优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变 换。换。 缺点：缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出 函数的值。函数的值。 二、卡诺图二、卡诺图 A BC 0 1 0001 11 10 11 1 1 000 0 优点：优点：便于求出逻辑函数的最简便于求出逻辑函数的最简 与或表达式。与或表达式。 缺点：缺点：只适于表示和化简变量个数只适于表示和化简变量个数 比较少的逻辑函数，也不便比较少的逻辑函数，也不便 于进行运算和变换。于进行运算和变换。 真值表的一种方块图表达形

41、式，要求变量真值表的一种方块图表达形式，要求变量 取值必须按照循环码的顺序排列。取值必须按照循环码的顺序排列。 用与、或、非等运算表示函数中各用与、或、非等运算表示函数中各 个变量之间逻辑关系的代数式子。个变量之间逻辑关系的代数式子。 CABCABY 例如例如 四、逻辑图四、逻辑图 CABCABY A B Y C & & 优点：优点： 最接近实际电路。最接近实际电路。 缺点：缺点： 不能进行运算不能进行运算 和变换，所表示的和变换，所表示的 逻辑关系不直观。逻辑关系不直观。 & AB BC AC 1 用基本和常用的逻辑符号表示函数表达用基本和常用的逻辑符号表示函数表达 式中各个变量之间的运算关

42、系。式中各个变量之间的运算关系。 例例 画出函数的画出函数的逻辑图逻辑图 五、波形图五、波形图输入变量和对应的输出变量随时间变输入变量和对应的输出变量随时间变 化的波形。化的波形。 ABY A B Y 优点：优点： 形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上 的对应关系。的对应关系。 缺点：缺点： 难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个 数增多时，画图较麻烦。数增多时，画图较麻烦。 几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换 一、真值表一、真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 例例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判设

43、计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上中，必须有两人以上( (必有主必有主 裁判裁判) )认定运动员的动作合格，试认定运动员的动作合格，试 举才算成功。举才算成功。 真值表真值表函数式函数式 ABCCABCBAY 将真值表中使逻辑函数将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的的 输入变量取值组合所对应的最小项相输入变量取值组合所对应的最小项相 加，即得加，即得 Y 的逻辑函数式。的逻辑函数式。 ABCY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 函数式函数式

44、 ABCCABCBAY 卡诺图化简卡诺图化简A BC 0 1 0001 11 10 11 0 1 000 0 ACABY 函数式函数式逻辑图逻辑图 A B Y & C & 1 真值表真值表函数式函数式二、逻辑图二、逻辑图 ABBABAY ABBABA )()(BABBAA BABA BA 0 1 1 0 ABY 00 01 1 0 11 AB ABA ABB B A Y & & & & 一、标准与或表达式一、标准与或表达式 （最小项之和形式）（最小项之和形式） ) ( A ,B ,CFY CBABCACABABC CAAB )()(BBCACCAB 标准与标准与 或式或式 标准与或式就是最小项

45、之和的形式标准与或式就是最小项之和的形式 最小项最小项 最简式最简式 例例 1. 2. 1 1. 最小项的概念：最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。反变量的形式出现一次。 ) ( A ,B FY ( ( 2 变量共有变量共有 4 个最小项个最小项) ) BABABAAB ) (A ,B ,C ,DFY ( ( 4 变量共有变量共有 16 个最小项个最小项) ) ( ( n 变量共有变量共有 2n 个最小项个最小项) ) DCBADCBA DABC ABCDDCBA ) ( A ,B ,CFY ( ( 3 变

46、量共有变量共有 8 个最小项个最小项) ) CBACBACBABCACBACBACAB ABC 1 CBA1 CBA 对应规律：对应规律：1 原变量原变量 0 反变量反变量 2. 最小项的性质：最小项的性质： 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 A B C CBACBACBABCAC

47、BACBACAB ABC (1) 任任一一最小项，只有一组对应变量取值使其值为最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ； A B C 0 0 1 A B C 1 0 1 (2) 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0 ； (3) 全体最小项之和为全体最小项之和为 1 。 变量变量A、B、C全部最小项的真值表全部最小项的真值表 3. 最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元 CABCABA ,B ,CFY ) ( ABCCBAABCBCAABCCAB 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和

48、的形式。都可以表示成为最小项之和的形式。 )()()(BBCAAABCCCABY 例例 1. 2. 2 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式： 解解 相同最小相同最小 项合并项合并 ABCCBABCACAB 标准与或表达式是唯一的，一个函数只有一个标准与或表达式是唯一的，一个函数只有一个 最小项之和的表达式。最小项之和的表达式。 函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出：函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出： 例如，已知例如，已知 Y = A + BC 的真值表的真值表 A B CBCA 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1

49、1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 ABCCABCBACBABCAY 函数的标准与或式函数的标准与或式 4. 最小项的编号：最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。表示。 对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 0 CBACBACBABCACBACBACABABC 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 1 234567 m0m1m2m3m4m5m6m7 例例 写出下列函数的标准与或

50、式：写出下列函数的标准与或式： CBADABY )( )( )(CBDABA )( )(CBD BA DCBCABA )( )( )(AADCBBBCACCBA DCBADCBACBACBABCA DCBADCBADCBADCBA DCBADCBADBCABCDA m7m6m5m4 m1m0m8 8014567 mmmmmmm ) 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1 , 0 ( m m0 与前面与前面m0 相重相重 1. 最大项的概念：最大项的概念： 包括所有变量的和项，每个变量均以原变量或包括所有变量的和项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。反变量的形式出现一次。 ) (

51、A ,B FY ( ( 2 变量共有变量共有 4 个最大项个最大项) ) A BA BA B A B ( ( n 变量共有变量共有 2n 个最大项个最大项) ) ) ( A ,B ,CFY ( ( 3 变量共有变量共有 8 个最小项个最小项) ) ABCABCABCABC ABCABCABCABC 二、最大项之积形式二、最大项之积形式 0ABC 0ABC 对应规律：对应规律：1 反反变量变量 0 原变量原变量 2. 最大项的性质：最大项的性质： 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1

52、 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 A B C ABCABCABCABCABCABCABCABC (1) 任任一一最大项，只有一组对应变量取值使其值为最大项，只有一组对应变量取值使其值为 0 ； A B C 0 0 1 A B C 1 0 1 (2) 任意两个最大项的和为任意两个最大项的和为 1 ； (3) 全体最大项之积为全体最大项之积为 0 。 变量变量A、B、C全部最大项的真值表全部最大项的真值表 3. 最大项的编号：最大项

53、的编号： 把与最大项对应的变量取值当成二进制数，与之把与最大项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最大项的编号，用相应的十进制数，就是该最大项的编号，用 Mi 表示。表示。 对应规律：对应规律：反变量反变量 1 原变量原变量 0 ABCABCABCABC ABCABCABC ABC 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 1 234567 M0M1M2M3M4M5M6M7 ii Mm 例例 写出下列函数的最大项之积形式：写出下列函数的最大项之积形式： CBADABY 8014567 mmmmmmm ) 8 , 7 , 6 , 5

54、 , 4 , 1 , 0 ( m 4.4. 最大项之积形式：最大项之积形式： 则有：则有： ik k ik k ik k MmmF 如果：如果： i Fm (2,3,9,10,11,12,13,14,15) kM k i M 1.6.1 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 一、一、 并项法并项法: : ABAAB BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY )()(CBCBA C BBCA A )(CBACBA 例例 1 例例2 （与或式（与或式最简与或式）最简与或式） 公式公式 定理定理 1.6 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 二、二、配项法：配项法： CAABBCCA

55、AB BA BACACB 或或CBCACACB CBCABA BCCABACBACBAY CBACBA BCCABA BA CBCACACBY 或或BCCABACBACBA 例例 3 例例 4 冗余项冗余项冗余项冗余项 三、三、吸收法：吸收法： AABA EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC BA BCABCA BCA 例例 5 例例7 例例6 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA 四、四、消去法：消去法： BABAA BDACABY BDACBA DCBA 例例 8 CBCAABY CBAAB)( CABAB CA

56、B 例例9 ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A ACCABABA CBABA 例例10 1.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 一、卡诺图的画法一、卡诺图的画法(Karnaugh maps) 卡诺图：卡诺图： 1. 二变量二变量 的卡诺图的卡诺图 最小项方格图最小项方格图( (按循环码排列按循环码排列) ) ( (四个最小项四个最小项) ) A B A A BB BABA BAAB 0 m A B 0 1 01 1 m 2 m 3 m A B 0 1 01 2. 三变量卡诺图的画法三变量卡诺图的画法 三变量三变量 的卡诺图：的卡诺图

57、：八个最小项八个最小项 A BC 0 1 0001 10 1111 10 卡诺图的实质：卡诺图的实质： 逻辑相邻逻辑相邻 逻辑不相邻逻辑不相邻 逻辑相邻逻辑相邻 逻辑相邻逻辑相邻 逻辑相邻：逻辑相邻： 两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同 逻辑相邻的两个最小项可以逻辑相邻的两个最小项可以 合并成一项，并消去一个因子。合并成一项，并消去一个因子。 如：如： CABCACBA m0m1m2m3 m4m5m6m7 4.五变量五变量 的卡诺图：的卡诺图： 3.四变量四变量 的卡诺图：的卡诺图： 十六个最小项十六个最小项 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 当变量

58、个数超过当变量个数超过 六个以上时，无法使六个以上时，无法使 用图形法进行化简。用图形法进行化简。 AB CDE 00 01 11 10 000 001 011 010 110 111 101 100 以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合） m0m1m2m3 m4m5m6m7 m12m13m14m15 m8m9m10m11 m0m1m2m3 m8m9m10m11 m24m25m26m27 m16m17m18m19 m6m7m4m5 m14m15m12m13 m30m31m28m29 m22m23m20m21 几几 何何 相相 邻邻 几何相邻几何相邻 几何相邻几何相邻

59、三十二个最小项三十二个最小项 二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表示逻辑函数 根据函数的变量个数画出相应的卡诺图。根据函数的变量个数画出相应的卡诺图。 在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填 1 ， 其余位置填其余位置填 0 或不填。或不填。 1. 逻辑函数卡诺图的画法逻辑函数卡诺图的画法 2. 逻辑函数卡诺图的特点逻辑函数卡诺图的特点 用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的 各个最小项在逻辑上的相邻性。各个最小项在逻辑上的相邻性。 优点：优点： 缺点：缺点：当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优 当函数变

60、量多于六个时，画图十分麻烦，其优 点不复存在，无实用价值。点不复存在，无实用价值。 例例 画出函数的画出函数的卡诺图卡诺图DCABBAY 1 3. 逻辑函数卡诺图画法举例逻辑函数卡诺图画法举例 解解 根据变量个数画出函数的根据变量个数画出函数的卡诺图卡诺图 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，根据函数的每个乘积项确定函数的最小项， 并在相应的位置上填并在相应的位置上填 1 。 BA m0、m1、m2、m3 1111 AB m12、m13、m14、m15 1111 DC m0、m4、m8、m12 1 1 例例 画出函数的画出函数的卡诺