专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明

1、全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 专题提升专题提升(十十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明 【教材原型教材原型】 把一张顶角为把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小 纸片，使每张小纸片都是等腰三角形纸片，使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗？请画示你能办到吗？请画示 意图说明剪法意图说明剪法.(浙教版八上浙教版八上P64作业题第作业题第6题题)

2、 解：解：如答图，作如答图，作ABC的平分线，交的平分线，交AC于点于点D. 在在BA上截取上截取BEBD，连结，连结ED，则沿虚线，则沿虚线BD， DE剪两刀，分成的三个三角形都是等腰三角形剪两刀，分成的三个三角形都是等腰三角形 教材原型答图教材原型答图 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 【思想方法思想方法】等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直 平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结 合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中合在一起求角度，或者通过列方程或方程

3、组解决等腰三角形中 关于边的计算关于边的计算 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 【中考变形中考变形】 1如图如图Z101，在，在ABC中，中，ABAC，DE垂直平分垂直平分AB， BEAC，AFBC，则，则EFC_. 图图Z101 45 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 【解析解析】DE垂直平分垂直平分AB， AEBE. BEAC， ABE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， BACABE45. 又又ABAC， 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 CBEABCABE67.54522.5. ABAC，AFBC， BFCF，BEAC，F为为BC中点，中点， BEFCBE22.5，

4、EFCBEFCBE22.522.545. 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 22015河北河北如图如图Z102，BOC9，点，点A在在OB上，且上，且 OA1，按下列要求画图：，按下列要求画图： 以以A为圆心，为圆心，1为半径向右画弧交为半径向右画弧交OC于点于点A1，得第，得第1条线段条线段 AA1； 再以再以A1为圆心，为圆心，1为半径向右画弧交为半径向右画弧交OB于点于点A2，得第，得第2条线条线 段段A1A2； 再以再以A2为圆心，为圆心，1为半径向右画弧交为半径向右画弧交OC于点于点A3，得第，得第3条线条线 段段A2A3； 这样画下去，直到得第这样画下去，直到得第n条线段，条

5、线段， 之后就不能再画出符合要求的线段了，则之后就不能再画出符合要求的线段了，则n_. 图图Z102 9 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 【解析解析】由题意可知，由题意可知，AOA1A，A1AA2A1， 则则AOA1OA1A，A1AA2A1A2A， BOC9， A1AB18，A2A1C27，A3A2B36， A4A3C45， 当当n9时，底角为时，底角为81， 当当n10时，底角为时，底角为90，不能构成三角形，故答案为，不能构成三角形，故答案为9. 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 32016菏泽菏泽如图如图Z103，ACB和和DCE均为等腰三角均为等腰三角 形，点形，点A，D

6、，E在同一直线上，连结在同一直线上，连结BE. (1)如图如图，若，若CABCBACDECED50， 求证：求证：ADBE， 求求AEB的度数；的度数； 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 解解：(1)证明：证明：CABCBACDECED50， ACBDCE18025080. ACBACDDCB，DCEDCBBCE， ACDBCE. ACB和和DCE均为等腰三角形，均为等腰三角形， ACBC，DCEC. 图图Z103 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 在在ACD和和BCE中，中， ACD BCE(SAS)， ADBE； ACD BCE， ADCBEC. 点点A，D，E在同一直线上，且

7、在同一直线上，且CDE50， ADC180CDE130， BEC130， AEBBECCED1305080； 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 ACBDCE120， ACBDCBDCEDCB，即，即ACDBCE， 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 又又ACBC，CDCE，ACD BCE(SAS)， ADCBEC，ADBE. BECADC18030150，BECCEM AEB， AEBBECCEM15030120， BEN18012060. 在在RtBNE中，中，N90，BEN60， 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 【中考预测中考预测】 如图如图Z104，在，在ABC中，中，

8、ABAC，A100，BD 是是ABC的平分线，的平分线，E是是BC上一点，且上一点，且BDBE.求求DEC 的度数的度数 图图Z104 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 类型之二以直角三角形为背景的计算与证明类型之二以直角三角形为背景的计算与证明 【教材原型教材原型】 已知：如图已知：如图Z105，在，在ABC中，中，ADBC于点于点D，E为为AC 上一点，且上一点，且BFAC，DFDC.求证：求证：BEAC.(浙教版八上浙教版八上 P82作业题第作业题第5题题) 图图Z105 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 证明证明：ADBC， ADCB

9、DF90， 又又BFAC，DFDC， RtBDF RtADC(HL)， DBFDAC， BFDAFE， AEFBDF90，即，即BEAC. 【思想方法思想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中 应用广泛，常与三角形全等知识结合使用应用广泛，常与三角形全等知识结合使用 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 【中考变形中考变形】 1金华中考金华中考如图如图Z106，将，将RtABC绕直角顶点绕直角顶点C顺时针顺时针 旋转旋转90，得到，得到ABC，连结，连结AA，若，若120， 则则B的度数是的度数是 ( ) A70 B65 C60 D55 图图Z

10、106 B 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 【解析解析】RtABC绕直角顶点绕直角顶点C顺时针旋转顺时针旋转90得到得到 ABC， ACAC， ACA是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， CAA45， ABC1CAA204565， 由旋转的性质，得由旋转的性质，得BABC65. 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 22016济宁济宁如图如图Z107，在，在ABC中，中，ADBC， CEAB，垂足分别为，垂足分别为D，E，AD，CE交于点交于点H， 请你添加一个适当条件请你添加一个适当条件_， 使使AEH CEB. 【解析解析】该题为开放型题，根据垂直关系，可该题为开放型题，根据垂直

11、关系，可 以找出以找出AEH与与CEB的两对相等的对应角，只的两对相等的对应角，只 需要找它们的一对对应边相等就可以了需要找它们的一对对应边相等就可以了 图图Z107 AECE(答案不唯一答案不唯一) 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 ADBC，CEAB，垂足分别为，垂足分别为D，E， BECAECADB90， 在在RtAEH中，中，EAH90AHE， 在在RtABD中，中，EAH90B， BAHE. 根据根据AAS添加添加AHCB或或AECE； 根据根据ASA添加添加EHEB， 可证可证AEH CEB. 故填空答案：故填空答案：AHCB或或EHEB或或AECE(答案不唯一，合答案不唯一

12、，合 理即可理即可) 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 3如图如图Z108，在，在ABC中，中，ABCB，ABC 90，D为为AB延长线上一点，点延长线上一点，点E在在BC边上，边上， 且且BEBD，连结，连结AE，DE，DC. (1)求证：求证：ABE CBD； (2)若若CAE30，求，求BDC的度数的度数 解解：(1)证明：证明：ABC90， DBE180ABC1809090， ABECBD. 图图Z108 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 ABE CBD(SAS)； (2)ABCB，ABC90， ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ECA45. CAE30， BEA

13、ECACAE， BEA453075. 由由(1)知知BDCBEA， BDC75. 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 42016苏州二模苏州二模如图如图Z109，ACB与与ECD都是等腰直都是等腰直 角三角形，角三角形，ACBECD90，D为为AB边上的一点边上的一点 (1)求证：求证：ACE BCD； (2)若若DE13，BD12，求线段，求线段AB的长的长 图图Z109 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 解解：(1)证明：证明：ACB与与ECD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形， CECD，ACBC，ACBECD90， ACEBCD90ACD， ACE BCD(SAS)； 全

14、效学习全效学习 中考学练测中考学练测 (2)ACE BCD， AEBD12，EACB45， EADEACCAD454590， 在在RtEAD中，中，EAD90，DE13，AE12， ABBDAD12517. 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 5重庆中考重庆中考如图如图Z1010，在，在ABC中，中，ACB90，AC BC，E为为AC边的中点，过点边的中点，过点A作作ADAB交交BE的延长线的延长线 于点于点D，CG平分平分ACB交交BD于点于点G，F为为AB边上一点，连边上一点，连 结结CF，且，且ACFCBG.求证：求证： (1)AFCG； (2)CF2DE. 图图Z1010 全效学习

15、全效学习 中考学练测中考学练测 证明证明：(1)ACB90，CG平分平分ACB，ACBC. BCGCAB45， 又又ACFCBG，ACCB， ACF CBG(ASA)，AFCG； 中考变形中考变形5答图答图 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 (2)如答图，延长如答图，延长CG交交AB于点于点H. ACBC，CG平分平分ACB， CHAB，H为为AB中点，中点， 又又ADAB，CHAD， G为为BD中点，中点，DEGC， E为为AC中点，中点，AEEC， 又又AEDCEG， AED CEG(ASA)，DEEG， DG2DE，BGDG2DE， 由由(1)得得CFBG，CF2DE. 全效学习全

16、效学习 中考学练测中考学练测 【中考预测中考预测】 一节数学课后，老师布置了一道课后练习：一节数学课后，老师布置了一道课后练习： 如图如图Z1011，已知在，已知在RtABC中，中，AB BC，ABC90，BOAC于点于点O.点点P， D分别在分别在AO和和BC上，上，PBPD，DEAC 于点于点E.求证：求证：BPO PDE. (1)理清思路，完成解答：本题证明的思路理清思路，完成解答：本题证明的思路 可以用下列框图表示：可以用下列框图表示： 图图Z1011 全效学习全效学习 中考学练测中考学练测 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程； (2)特殊位置，证明结论：若特殊位置，证明结论：若BP平分平分ABO，其余条件不变，其余条件不变， 求证：求证：APCD； (3)知识迁移，探索新知：若知识迁移，探索新知：若P是一个动点，当点是一个动点，当点P运动到运动到OC的的 中点中点P时，满足题中条件的点时，满足题中条件的点D也随之在直线也随之在直线BC上运动到点上运动到点 D，请直接写出，请直接写出