非正弦周期函数有效值和平均功率

1、非正弦周期函数有效值和平均功率 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率 重点重点 3. 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算 1. 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 第十三章第十三章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路 下 页 4. 滤波器电路滤波器电路 非正弦周期函数有效值和平均功率 在实际应用中不一定都是正弦电路，经常会遇到非正在实际应用中不一定都是正弦电路，经常会遇到非正 弦周期的电源和信号。在电子技术、自动控制、计算机和弦周期的电源和信号。在电子技术、自动控制、计算机和 无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦无线

2、电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦 波形。波形。 非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期规律变化按周期规律变化 )()(kTtftf 如果电路存在非线性元件，即使电源或信号源是正弦如果电路存在非线性元件，即使电源或信号源是正弦 信号，电路中也将产生非正弦的周期电压和电流。信号，电路中也将产生非正弦的周期电压和电流。 13.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 例例2 示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波周期性锯齿波 例例1 半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出

3、信号 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 脉冲电路中的脉冲信号脉冲电路中的脉冲信号 T t 例例3 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 基波（和原基波（和原 函数同频）函数同频） 二次谐波二次谐波 （2 2倍频）倍频） 高次谐波高次谐波 )cos()( 1 10 k kkm tkAAtf )cos()( 1110 tAAtf m )2cos( 212 tA m )cos( 1nnm tnA 周期函数展开成付里叶级数：周期函数展开成付里叶级数： 13.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 直流分量直流分量 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 )sin

4、()cos()( 1 1 10 tkbtkaatf k k k 也可表示成：也可表示成： )arctan( 22 00 k k k kkkm a b baA aA 系数之间的关系为系数之间的关系为 )cos()( 1 10 k kkm tkAAtf kkmk kkmk Ab Aa Aa sin cos 00 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 T dttf T aA 0 00 )( 1 求出求出A0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数 f (t) 的展开式。的展开式。 系数的计算系数的计算 2 0 11 )()sin()( 1 tdtktfbk 2 0 11 )()cos()(

5、1 tdtktfak 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 利用函数的对称性可简化系数的确定利用函数的对称性可简化系数的确定 （1）偶函数）偶函数 T/2 t T/2 f (t) 0 )()( k btftf T/2 t T/2 f (t) 0 )()( k atftf （2）奇函数）奇函数 （3）奇谐波函数）奇谐波函数 0 ) 2 ()( 22 kk ba T tftf t f (t) T/2 T 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解 例例 解解 图示矩形波电流在一个周期内图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：的表达式为： Tt T

6、 T tI tiS 2 0 2 0 )( m 2 1 )( 1 0 2/ 0 0 m TT mS I dtI T dtti T I 直流分量：直流分量： 谐波分量：谐波分量： 2 0 )()sin()( 1 tdtktib Sk K为偶数为偶数 K为奇数为奇数 k I tk k I m m 2 0 )cos( 0 tT/2T S i m I 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 0)sin( 2 )()cos()( 2 0 2 0 tk k I tdtktia m Sk S i的展开式为：的展开式为： )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 2 2 ttt II i mm S

7、下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 t 基波基波 直流分量直流分量 三次谐波三次谐波 五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波 周期性方波波形分解周期性方波波形分解 t t )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 2 2 ttt II i mm S 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 2 2 ttt II i mm S 基波基波 直流分量直流分量 三次谐波三次谐波 直流分量直流分量+基波基波 直流分量直流分量+基波基波+三次谐波三次谐波 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 5sin 5 1 3sin 3 1 sin

8、2 2 ttt II i mm S tT/2T S i m I 1S i 3S i 5S i 0S I 下 页上 页 5S i 等效电源等效电源 3S i 1S i 0S I 非正弦周期函数有效值和平均功率 矩形波的频谱图矩形波的频谱图 5sin 5 1 3sin 3 1 sin 2 2 ttt II i mm S tT/2T S i m I Akm o 3 5 7 为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后包含哪为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后包含哪 些频率分量以及各分量所占的比重，可用长度与各次谐些频率分量以及各分量所占的比重，可用长度与各次谐 波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把

9、它们依波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依 次排列起来，成为幅度频谱（线频谱）。次排列起来，成为幅度频谱（线频谱）。 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 TT tdtktdtk 00 0)()cos( , 0)()sin( 1. 三角函数的性质三角函数的性质 （1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 K为整数为整数 （2）正弦、余弦信号的平方在一个周期内的积分为）正弦、余弦信号的平方在一个周期内的积分为 。 )()(cos ,)()(sin 0 2 0 2 tdtktdtk TT 13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功

10、率 下 页上 页 2 )(cos , 2 )(sin 0 2 0 2 T dttk T dttk TT 非正弦周期函数有效值和平均功率 （3） 三角函数的正交性三角函数的正交性 T tdtptk 0 0)()sin()cos( pk T tdtptk 0 0)()cos()cos( 0)()sin()sin( 0 tdtptk T 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 2. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值 )cos()( 1 0k k mk tkIIti 若若 则有效值则有效值: T dtti T I 0 2 )( 1 dttkII T T k kmk 0 1 2 0 )

11、cos( 1 积分项中包含积分项中包含: 2 0 I 2 )cos( kmk tkI )cos(2 0kmk tkII 下 页上 页 )cos()cos(2 pkmpmk tptkII 非正弦周期函数有效值和平均功率 1 22 0 k k III 利用三角函数的性质：利用三角函数的性质： 2 0 0 2 0 1 IdtI T T 222 0 2 2 1 )(cos 1 kmkk T mk IIdttkI T 0)cos(2 1 0 0 dttkII T k T mk 0)cos()cos(2 1 0 dttptkII T pkmp T mk 2 2 2 1 2 0 III 周期函数的有效值为直

12、流分量及各次谐波分周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分 量有效值平方和的平方根。量有效值平方和的平方根。 下 页上 页 )(pk 非正弦周期函数有效值和平均功率 3. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值 T av dtti T I 0 )( 1 则其平均值为：则其平均值为： )cos()( 1 0k k mk tkIIti 若若 4 00 )cos( 4 )cos( 1 T m T mav dtt T I dttI T I 下 页上 页 IIt T I m T m 898. 0637. 0)sin( 4 4 0 非正弦周期函数有效值和平均功率 4. 非正弦周期交流电路的平均功率非正

13、弦周期交流电路的平均功率 T dtiu T P 0 1 )cos()( 1 0uk k mk tkUUtu )cos()( 1 0ki k mk tkIIti 利用三角函数的性质，得：利用三角函数的性质，得： )( cos 1 00ikukkkk k kI UIUP 22211100 cos cos IUIUIU 210 PPP 下 页上 页 平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 非正弦周期函数有效值和平均功率 1. 计算步骤计算步骤 （2） 对各次谐波信号分别应用相量法进行分析计算；对各次谐波信号分别应用相量法进行分析计算； （1） 利用傅里叶级数

14、，将非正弦周期函数展开成若干项不利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干项不 同频率的谐波信号；同频率的谐波信号； （3） 将以上计算结果转换为正弦量；将以上计算结果转换为正弦量； 13.4 非正弦周期交流电路的计算非正弦周期交流电路的计算 （4） 对时域正弦量进行迭加。对时域正弦量进行迭加。 （a）对于直流分量作用时）对于直流分量作用时 C 相当于开路、相当于开路、L 相于短路相于短路; （b）在各次谐波频率单独作用下的）在各次谐波频率单独作用下的 XL、XC 不同。不同。 注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。直接相加

15、是没有意义的。 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 2. 计算举例计算举例 例例1方波信号激励的电路。求方波信号激励的电路。求u, 已知：已知： sTAI pFCmHLR m 28. 6 157 1000 1 20 、 、 解解 （1）已知方波信号的展开式为：）已知方波信号的展开式为： )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 2 2 t tt II i mm S s.T A,I m 286 157 代入已知数据：代入已知数据： R L C u S i tT/2T S i m I 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 直流分量直流分量 A5 .78 2 157 2 0

16、I I m A 100 14. 3 15722 1 m m I I 基波最大值基波最大值 AII mm 20 5 1 15 五次谐波最大值五次谐波最大值 rad/s10 1028.6 14.322 6 6 T 角频率角频率 三次谐波最大值三次谐波最大值 AII mm 3 .33 3 1 13 A5 .78 0 S I 电流源各频率的谐波分量为：电流源各频率的谐波分量为： A10sin100 6 1 tiS A)103sin(3 .33 6 3 tiS A)105sin(20 6 5 tiS 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 mV57. 1105 .7820 6 00 S RIU （

17、2） 对各种频率的谐波分量单独计算对各种频率的谐波分量单独计算 （a）直流分量）直流分量 IS0 作用作用 电容断路，电感短路电容断路，电感短路: A5 .78 0 S I （b）基波作用）基波作用AtiS )10sin100( 6 1 k1 10100010 11 126 C k50 )( )()( )( RC L R XX XXjR jXjXR Z CL CL CL XLR R IS0 U0 k11010 36 L R L C 1 u 1S i mVZIU S 90 2 5000 105090 2 10100 )( 3 6 11 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 （c）三次谐波

18、作用）三次谐波作用AtiS )103sin( 3 100 6 3 19.895 .374 )( )( )3( 33 33 CL CL XXjR jXjXR Z k33. 0 101000103 1 3 1 126 C 19.895 .37490 2 103 .33 )3( 6 33 ZIU S mV 2 .179 2 47.12 k3101033 36 L R L C 3 u 3S i 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 （d）五次谐波作用）五次谐波作用A)105sin(20 6 5 tiS 53.893 .208 )( )( )5( 55 55 CL CL XXjR jXjXR Z

19、 k2 .0 101000105 1 5 1 126 C 53.893 .20890 2 1020 )5( 6 55 ZIU S k5101055 36 L mV53.179 2 166.4 R L C 5 u 5S i 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 （3）各谐波分量计算结果化成正弦量并迭加）各谐波分量计算结果化成正弦量并迭加 5310 uuuUu mVU57. 1 0 mVU 2 .179 2 47.12 3 mVU 90 2 5000 1 mVU 53.179 2 166. 4 5 )90cos(500057. 1 t )2 .1793cos(47.12 t )53.179

20、5cos(166. 4 t 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 例例2已知已知 u ( t ) 是周期函数，波形如图，是周期函数，波形如图，L=1/2 H， C=125/ F，求理想变压器原边电流求理想变压器原边电流 i1( t ) 及输出电及输出电 压压 u2 的有效值。的有效值。 24 1 0.5 u/V t/ms 12 解解 sradT/102/2 3 ) cos(1212)(ttu Ai5 . 18/12 10 当当u=12V作用时，电容开路、作用时，电容开路、 电感短路，有：电感短路，有： 0 20 u * C 1 i 2 i 2 u 2 : 1 8 L u 下 页上 页

21、非正弦周期函数有效值和平均功率 Aj jj U I25 . 1 4 26 4 11 VUU 0 2 12 11 VU n U 0 2 61 1121 VU243. 4 2 6 2 Ati)90cos(35 . 1 0 1 作用时作用时当当)cos(12 tu 4 10125102 1 63 C X C 110 2 1 102 33 LX L 21 U 0 2 12 * * 11 I 2 : 1 8 4j j 21 I 11 U 0 2 12 11 I 8 4j 4j 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 例例3 求求 Uab、i 及功率表的读数。及功率表的读数。 VttutVu)303

22、cos(2100cos2220 ,cos2220 0 21 已知已知 解解 一次谐波作用时：一次谐波作用时： VUab 0440 )1( A jj I 4 .1896. 6 3 22 2060 440 )1( 三次谐波作用时：三次谐波作用时： VUab 30100 )3( A jj I 1518. 1 33 305 6060 30100 )3( VU ab 22.451100440 22 Atti)153cos(218. 1)4 .18cos(296. 6 WP92.14524 .18cos96. 6220 I 60 j20 1 U W a b 2 U * * ,20 L 下 页上 页 45c

23、os18. 11004 .18cos96. 6440P 6018. 16096. 6 22 R P 非正弦周期函数有效值和平均功率 3滤波器滤波器 利用电感和电容元件的感抗和容抗对各次谐波的反应利用电感和电容元件的感抗和容抗对各次谐波的反应 不同，组成含有电感和电容的各种不同电路，将其接在输不同，组成含有电感和电容的各种不同电路，将其接在输 入和输出之间，让某些所需频率分量顺利通过而抑制某些入和输出之间，让某些所需频率分量顺利通过而抑制某些 不需要的频率分量，这种电路为滤波器。不需要的频率分量，这种电路为滤波器。 低通滤波器：使低频电流分量顺利通过，抑制高频电流分量。低通滤波器：使低频电流分量

24、顺利通过，抑制高频电流分量。 高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。 低通低通 高通高通 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 图示电路中，激励图示电路中，激励 u1(t) 包含包含 1、 2 两个频率分量，且两个频率分量，且 1 2 ，要求响应，要求响应 u2(t) 只含有只含有 1 频率电压，如何实现？频率电压，如何实现？ 可由图示滤波电路实现：可由图示滤波电路实现： C R C2 C3 L1 + _ u1(t) + _ u2(t) 21 2 1 CL )( 1 321 1 CCL 并联谐振，相当于开路并联谐振，相当于开路 串联谐振，相当于短路串联谐振，相当于短路 例例1 解解 + _ u1(t)u2(t) 下 页上 页 非正弦周期函数有效值和平均功率 电路如图所示，已知电路如图所示，已知=1000 rad/s，C=1F，R=1， 在稳态时，在稳态时，uR(t)中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波