强度、刚度、稳定性

1、弯曲应力与强度计算弯曲应力与强度计算 1 1 梁弯曲时横截面上的正应力梁弯曲时横截面上的正应力 2 2 弯曲切应力弯曲切应力 3 3 梁的强度计算梁的强度计算 4 4 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 横弯曲和纯弯曲横弯曲和纯弯曲102 平面弯曲时梁的横截面上有两平面弯曲时梁的横截面上有两 个内力分量：弯矩和剪力。个内力分量：弯矩和剪力。 例如：例如：AC和和DB段。段。梁在垂直梁在垂直 梁轴线的横向力作用下，梁轴线的横向力作用下，横截横截 面将同时产生弯矩和剪力面将同时产生弯矩和剪力。这。这 种弯曲种弯曲称为称为横力弯曲简称横弯横力弯曲简称横弯 曲曲。 例如：例如：CD段。段。梁在垂直梁

2、轴梁在垂直梁轴 线的横向力作用下，线的横向力作用下，横截面上横截面上 只有弯矩没有剪力。只有弯矩没有剪力。称为称为纯弯纯弯 曲。曲。 中性轴：中性轴：中性层与梁的横截面的交线。中性层与梁的横截面的交线。 垂直于梁的纵向对称面。垂直于梁的纵向对称面。 中性轴的概念中性轴的概念103 设想梁由平行于轴线的众多纵向设想梁由平行于轴线的众多纵向 纤维组成，弯曲时一侧纵向纤维纤维组成，弯曲时一侧纵向纤维 伸长，一侧纵向纤维缩短，总有伸长，一侧纵向纤维缩短，总有 一层既不伸长也不缩短，称为一层既不伸长也不缩短，称为中中 性层：性层： 纯弯曲的基本假设：纯弯曲的基本假设：103 纯弯曲的基本假设：纯弯曲的基

3、本假设： 平面假设：平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后 的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。各纵向纤维之间相互不挤压。 横向线横向线( (mm、nn): ): 仍保持为直线，仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。发生了相对转动，仍与弧线垂直。 实验观察变形实验观察变形 纵向线纵向线( (aa、bb) )：变为弧线，凹侧变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。缩短，凸侧伸长。 直接导出弯曲正应力直接导出弯曲正应力

4、梁横截面上的弯矩梁横截面上的弯矩 弯曲正应力公式的推导弯曲正应力公式的推导103-105103-105 弯曲梁的横截面上弯曲梁的横截面上 正应力正应力 l变形的几何关系变形的几何关系 l物理关系物理关系 l静力关系静力关系 横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不 但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些

5、差异，但是应用纯弯曲时正虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正 应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大， 足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。越大，其误差越小。 弯曲时横截面上的正应力弯曲时横截面上的正应力105 MZ: 横截面上的弯矩横截面上的弯矩 y: 所求应力点到中性轴的距离所求应力点到中性轴的距离 IZ: 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 dx m m n n o z y o M M 中性轴 y z dA Wz 称为称为抗弯截

6、面系数。抗弯截面系数。它与它与截面的几何形状有关，单位为截面的几何形状有关，单位为m3。 z I yM maxmax max max y I W z z z W M max max P105横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应最大正应 力力 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即即 max 引用记号引用记号 则则 对于宽为对于宽为 b ，高为，高为 h 的矩形截面的矩形截面 max y I W z z 对于直径为对于直径为 D 的圆形截面的圆形截面 max y I W z z 对于内外径

7、分别为对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面的空心圆截面 max y I W z z 2/ 12/ 3 h bh 6 2 bh 2/ 64/ 4 D D 32 3 D 2/ 64/ )1 ( 44 D D )1 ( 32 4 3 D 抗弯截面系数抗弯截面系数106 如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就 是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为 z W M max max 对于抗拉和抗压强度相等的材料对于抗拉和抗压强度相等的材料 ( (如炭钢如炭钢) )，只要绝对值最大，只要绝对值最

8、大 的正应力不超过许用弯曲应力即可。的正应力不超过许用弯曲应力即可。 对于抗拉和抗压不等的材料对于抗拉和抗压不等的材料 ( (如铸铁如铸铁) )，则最大的拉应力和最，则最大的拉应力和最 大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。 1. 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力109 y =0，即中性轴上各点处：，即中性轴上各点处： ， 2 h y 0 bh FQ max 2 3 即横截面上、下边缘各点处：即横截面上、下边缘各点处： A FQ 2 3 * z Z QS I b max b z y A 2h2h y 0 y 常见梁横截面上的最大剪应力常见梁

9、横截面上的最大剪应力 （1）矩形截面梁）矩形截面梁 A Q 2 3 max （2）工字形截面梁）工字形截面梁 dh Q 1 max （3）圆截面梁）圆截面梁 A Q 3 4 max h1_腹板的高度腹板的高度 d_腹板的宽度腹板的宽度 （4）空心圆截面梁）空心圆截面梁 A Q 2 max 2. 工字形截面梁的弯曲切应力工字形截面梁的弯曲切应力111 腹板上的切应力腹板上的切应力 b Sz Iz F max Q max 为腹板厚度b 可查表 maxSz Iz bh FQ max 可近似写为 在在y =0处处，即中性轴上各点处：，即中性轴上各点处： 2 max max Q 3 4 R F y A

10、FQ 3 4 max 3. 圆形截面梁的弯曲剪应力圆形截面梁的弯曲剪应力110 4. 薄壁圆环形截面梁的弯曲剪应力薄壁圆环形截面梁的弯曲剪应力110 因为薄壁圆环的壁厚因为薄壁圆环的壁厚 t 远小于平均半径远小于平均半径 R ，故可以认为剪应力，故可以认为剪应力 沿壁厚均匀分布，方向与圆周相切。沿壁厚均匀分布，方向与圆周相切。 最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为 A FQ *2 max max 满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足剪应力的强满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足剪应力的强 度条件。因而可不对切应力进行强度校核度条件。因而可不对切应力进行强

11、度校核 梁的强度条件梁的强度条件115 1 1、梁的正应力强度条件：、梁的正应力强度条件： 2 2、梁的切应力强度条件：、梁的切应力强度条件： 必须进行剪应力的强度校核的情况：必须进行剪应力的强度校核的情况： (1) (1) 梁的跨度较短，或在支座附近作用梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷较大的载荷；以致梁；以致梁 的弯矩较小，而剪力很大。的弯矩较小，而剪力很大。 (2) (2) 焊接或铆接的焊接或铆接的工字梁工字梁，如果，如果腹板较薄而截面高度很大，腹板较薄而截面高度很大， 以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时，对腹板应进，这时，对腹板应进

12、 行剪应力强度校核。行剪应力强度校核。 (3) (3) 经焊接、铆接或胶合而成的组合梁经焊接、铆接或胶合而成的组合梁，一般，一般需对焊缝、铆需对焊缝、铆 钉或胶合面钉或胶合面进行剪应力强度校核。进行剪应力强度校核。 按强度条件设计梁时，强度条件按强度条件设计梁时，强度条件 W M max max 可解决三方面问题：可解决三方面问题： （1）强度校核强度校核； （2）设计截面尺寸设计截面尺寸； （3）计算许可载荷。计算许可载荷。 按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件 W M max max 由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低

13、最大正应力，可以从由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低最大正应力，可以从 两个方面来考虑，两个方面来考虑，一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩 Mmax 的数值；二是采用合理的截面形状，以提高抗弯截面系数的数值；二是采用合理的截面形状，以提高抗弯截面系数W 的数值。充分利用材料的性能。的数值。充分利用材料的性能。 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施119119 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 一、一、 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况 合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。从合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。

14、从 而提高梁的强度而提高梁的强度 1、使集中力分散、使集中力分散 二、二、 合理选择截面合理选择截面 当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成 反比，即弯曲截面系数反比，即弯曲截面系数W，越大越好。另一方面，横截面面积越小，越大越好。另一方面，横截面面积越小， 梁使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积梁使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积A，越小越好。，越小越好。 因此，因此，合理的横截面形状应该是截面面积合理的横截面形状应该是截面面积 A 较小，而弯曲截较小，而弯曲截 面系数面系数 W 较大。较大。我们可以我们可以用比值用比值

15、 来衡量截面形状的合理性。来衡量截面形状的合理性。 所以，在截面面积一定时，环形截面比圆形截面合理，矩形截面所以，在截面面积一定时，环形截面比圆形截面合理，矩形截面 比圆形截面合理，矩形截面竖放比平放合理，工字形截面比矩形比圆形截面合理，矩形截面竖放比平放合理，工字形截面比矩形 截面合理。截面合理。 A W 对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其 对称轴的截面对称轴的截面，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。 另外，另外，截面是否合理，还应考虑材料的特性。截面是否合理，还应考虑材料的特性

16、。 对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，由于抗压能力强对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，由于抗压能力强 于抗拉能力，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。于抗拉能力，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。 对这类截面，应使最大拉应力和最大压应力同时接近材料的对这类截面，应使最大拉应力和最大压应力同时接近材料的 许用拉应力和许用压应力。许用拉应力和许用压应力。 三、合理设计梁的外形三、合理设计梁的外形（等强度梁）（等强度梁） 在一般情况下，梁的弯矩沿轴线是变化的。因此，在一般情况下，梁的弯矩沿轴线是变化的。因此，在按最大在按最大 弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面弯矩所设计的等截

17、面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面 的材料强度均未能得到充分利用。的材料强度均未能得到充分利用。 为了减轻梁的自重和节省材料，常常根据弯矩的变化情况，为了减轻梁的自重和节省材料，常常根据弯矩的变化情况， 将梁设计成变截面将梁设计成变截面的。的。在弯矩较大处，采用较大的截面；在弯矩在弯矩较大处，采用较大的截面；在弯矩 较小处，采用较小的截面。较小处，采用较小的截面。 这种截面沿轴线变化的梁，称为这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁变截面梁。例如：阶梯轴、。例如：阶梯轴、 鱼腹梁等。鱼腹梁等。 从弯曲强度考虑，理想的变截面梁应该使所有截面上的最大从弯曲强度考虑，理想的变截面梁应该使所有截面上

18、的最大 弯曲正应力均相同，且等于许用应力，即弯曲正应力均相同，且等于许用应力，即 )( )( max xW xM 这种梁称为这种梁称为等强度梁等强度梁。 2 2、梁的刚度计算、梁的刚度计算 弯曲变形与刚度弯曲变形与刚度 1 1、弯曲变形的基本概念、弯曲变形的基本概念 3 3、提高梁刚度的措施、提高梁刚度的措施 弯曲变形问题弯曲变形问题126126 1 1、弯曲变形的基本概念、弯曲变形的基本概念 工程中梁的变形和位移都是弹性的，工程中梁的变形和位移都是弹性的，但设计中，但设计中， 对于结构或构件的弹性变形和位移变形都有一对于结构或构件的弹性变形和位移变形都有一 定的限制。定的限制。弹性变形和位移

19、过大都会使结构或弹性变形和位移过大都会使结构或 构件丧失正常功能，即发生刚度失效。构件丧失正常功能，即发生刚度失效。 弯曲构件除了要满弯曲构件除了要满 足强度条件外足强度条件外, , 还需满还需满 足刚度条件。如车床主足刚度条件。如车床主 轴的变形过大会引起加轴的变形过大会引起加 工零件的误差。工零件的误差。 车间内的吊车梁若车间内的吊车梁若 变形过大，将使吊车梁变形过大，将使吊车梁 上的小车行走困难，出上的小车行走困难，出 现爬坡现象。现爬坡现象。 弯曲变形问题弯曲变形问题 1 1、弯曲变形的基本概念、弯曲变形的基本概念 工程设计中还会有另外一种变形问题，所考虑 的不是限制构件的弹性变形和位

20、移，而是希望 在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较 大的弹性变形。 汽车车架处的钢板弹簧应有较大的变汽车车架处的钢板弹簧应有较大的变 形，才能更好地缓冲减振。形，才能更好地缓冲减振。 P A B y x 1、挠度、挠度：横截面形心沿垂直横截面形心沿垂直 于轴线方向的位移。于轴线方向的位移。 x 2. 转角转角：变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的：变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度。角度。 w=w(x)称为挠度方程。称为挠度方程。 3、轴向位移：、轴向位移：梁变形后，横截面形心将产生水平方向位移，梁变形后，横截面形心将产生水平方向位移， 称为轴向位移或水平位移，用称

21、为轴向位移或水平位移，用u表示。但在小变形表示。但在小变形 条件下，条件下，通常不考虑。通常不考虑。 xd d tan tan xd d 挠曲线挠曲线 梁的变形计算梁的变形计算-积分法积分法127 EI xM x )( 2 d d d d 2 2 挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程： C、D 积分常数；由积分常数；由边界条件边界条件和和连续性条件连续性条件确定。确定。 若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量为一常量, 上式可改写成：上式可改写成： )( xMEI 上式积分一次得上式积分一次得转角方程：转角方程： 再积分一次再积分一次, 得得挠度方程：挠度方程： C

22、dxxMEIEI )( DCxdxdxxMEI )( 34 条件条件：由于梁的变形微小由于梁的变形微小, , 梁变形后其跨长的梁变形后其跨长的 改变可略去不计改变可略去不计, , 且且梁的材料在线弹性范围内梁的材料在线弹性范围内 工作工作, , 因而梁的挠度和转角均与作用在梁上的因而梁的挠度和转角均与作用在梁上的 载荷成线性关系。载荷成线性关系。 在这种情况下在这种情况下, , 梁在几项载荷梁在几项载荷 ( (如集中力、集如集中力、集 中力偶或分布力中力偶或分布力) )同时作用下某一横截面的挠度和同时作用下某一横截面的挠度和 转角转角, , 就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠就分别等于每项

23、载荷单独作用下该截面的挠 度和转角的叠加度和转角的叠加，此即为，此即为叠加原理叠加原理。 35 梁的变形计算梁的变形计算-叠加法叠加法P133 梁的刚度计算梁的刚度计算136 2 设计截面设计截面 3 确定许可载荷确定许可载荷 1 刚度校核刚度校核 一、刚度条件：一、刚度条件： max max 二、应用三种刚度计算：二、应用三种刚度计算： 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施138 提高梁的刚度主要指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅和提高梁的刚度主要指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅和 荷载有关，还和杆长和梁的弯曲刚度荷载有关，还和杆长和梁的弯曲刚度EI有关，以有关，以 P132表表10-1中

24、中2悬臂梁为例，悬臂梁为例， 可以通过以下措施提高梁的刚度可以通过以下措施提高梁的刚度 EI Fpl EI Fpl w 2 3 2 max 3 max 转角 挠度 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施 提高梁的刚度主要指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅和提高梁的刚度主要指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅和 荷载有关，还和杆长和梁的弯曲刚度荷载有关，还和杆长和梁的弯曲刚度EI有关，以有关，以 P132表表10-1中中2悬臂梁为例，悬臂梁为例， 可以通过以下措施提高梁的刚度可以通过以下措施提高梁的刚度 EI Fpl EI Fpl w 2 3 2 max 3 max 转角 挠度 提高梁的刚度的措施提

25、高梁的刚度的措施 1 1、减小梁的跨度，当梁的长度无法减小时，增加中间支座；、减小梁的跨度，当梁的长度无法减小时，增加中间支座； 2 2、选择合理的截面增加惯性矩、选择合理的截面增加惯性矩I I EI Fpl EI Fpl w 2 3 2 max 3 max 转角 挠度 40 9-1 构件的承载能力构件的承载能力 强度强度 刚度刚度 稳定性稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 却不一定能安全可靠地工作。却不一定能安全可靠地工作。 41 当当F F小于某一临界值小于某一临界值F Fcr cr， ，撤去轴向力后，杆的轴线将撤去轴向力后，杆的轴线将 恢复其

26、原来的直线平衡形态（图恢复其原来的直线平衡形态（图 b b），），则称原来的平衡状则称原来的平衡状 态的是态的是。 F F Q (a) cr FF cr FF (b) 当当F F增大到一定的临界值增大到一定的临界值 F Fcr cr， ，撤去轴向力后，杆的轴线将撤去轴向力后，杆的轴线将 保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态 （图（图 c c），），则称原来的平衡状态的是则称原来的平衡状态的是 F F Q (a) cr FF cr FF (b) cr FF cr FF (c) 稳定的平衡状态和不稳定状态之间的分界点称为稳定的平衡状态

27、和不稳定状态之间的分界点称为临界点临界点，临界点对，临界点对 应的载荷称为应的载荷称为临界荷载。用临界荷载。用FpFpcr cr表示表示。 压杆从直线平衡状态转变 压杆从直线平衡状态转变 为其他形式平衡状态的过程称为为其他形式平衡状态的过程称为称为称为丧失稳定丧失稳定，简称，简称失稳失稳，也称，也称屈屈 曲，屈曲失效具有突发性，在设计时需要认真考虑。曲，屈曲失效具有突发性，在设计时需要认真考虑。 F F Q (a) cr FF cr FF (b) cr FF cr FF (c) )()(xwFxM 2 2 d )(d )( x xw EIxM EI F k 2 0)( )( 2 2 2 xwk

28、 dx xwd EI F k 2 0)( )( 2 2 2 xwk dx xwd kxCkxCxwcossin)( 21 0)()0(lww 0sin, 0 12 klCC 0sin, 0 12 klCC kxCkxCxwcossin)( 21 0sinklnkl ,.)2 , 1 , 0(n l n k ,.)2 , 1 , 0( 2 22 n l EIn F EI F k 2 欧拉公式欧拉公式 22 cr cr2 2 () FEIE AlA l i 则则 引入压杆引入压杆长细比长细比或或柔度柔度 式中，式中， 为为压杆横截面对中性轴的压杆横截面对中性轴的惯性半径惯性半径。 iI A 压杆的临界应力及临界应力总图压杆的临界应力及临界应力总图 一、细长压杆的一、细长压杆的临界应力临界应力185 2 crp 2 E 即 2 p pp EE 或 O p p cr 欧拉临界应力曲线欧拉临界应力曲线 通常称通常称 p的压杆为的压杆为大柔度杆大柔度杆或或细长杆细长杆。 欧拉公式的应用范围：欧拉公式的应用范围： 如如果压杆的柔度果压杆的柔度 p ，则临界应力，则临界应力 cr大于材料的大于材料的 极限应力极限应力 p，此时欧拉公式不再适用。此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆，通对于这类压杆，通 常采用以试验结果