信号与系统第一章

1、信号与系统信号与系统 奥本海姆奥本海姆 教师教师:黄松柏黄松柏 E-mail: 电子信息工程系 引引 言言 概述概述: : 信号与系统信号与系统是一门非常重要的是一门非常重要的基础课基础课 程程，其，其基本理论基本理论，基本概念基本概念和和分析方分析方 法法是我们专业的基础。是我们专业的基础。 引引 言言 目的目的: : 讨论和研究讨论和研究确定性信号确定性信号经过经过线性时线性时 不变系统不变系统传输与处理的传输与处理的基本概念基本概念和和基基 本理论本理论和和分析方法分析方法。 课程框架课程框架 第一章第一章: 信号与系统信号与系统 建立信号与系统的基本概念建立信号与系统的基本概念 第二章

2、第二章: 线性时不变系统线性时不变系统 介绍线性时不变系统在时域上的理论和介绍线性时不变系统在时域上的理论和 分析方法。分析方法。 重点是重点是卷积理论卷积理论。 系系 统统 x(t)y(t) 课程框架课程框架 第三、四章：连续时间付立叶级数和变换第三、四章：连续时间付立叶级数和变换 重要的信号分析方法重要的信号分析方法 第六章第六章:信号与系统的时域和频域特性信号与系统的时域和频域特性 注意分析方法的掌握注意分析方法的掌握 第七章第七章: 采样采样 采样是模拟信号与数字信号之间的桥梁采样是模拟信号与数字信号之间的桥梁。 课程框架课程框架 第八章第八章: 通信系统通信系统 付立叶变换的应用付立

3、叶变换的应用 第九章：第九章：拉普拉斯变换拉普拉斯变换 简称简称拉氏变换拉氏变换，是信号与系统中的重要，是信号与系统中的重要 分析工具。分析工具。 第一章第一章 信号与系统信号与系统 主要内容主要内容 1.1 连续时间和离散时间信号连续时间和离散时间信号 1 信号的定义信号的定义 2 系统的定义系统的定义 3 连续时间和离散时间信号连续时间和离散时间信号 4 信号的描述信号的描述 5 信号的举例信号的举例 6 小结小结 主要内容主要内容 1.2 自变量的变换自变量的变换 1.时移时移 2.反褶反褶 3.尺度变换尺度变换 4.举例举例 5.周期信号周期信号 6.奇偶信号奇偶信号 主要内容主要内容

4、 1.3, 1.4 典型信号典型信号 1.正弦信号正弦信号 2.指数信号指数信号 3.单位冲激信号和单位阶跃信号单位冲激信号和单位阶跃信号 主要内容主要内容 1.5 连续时间和离散时间系统连续时间和离散时间系统 1.连续时间和离散时间系统连续时间和离散时间系统 2.系统的举例系统的举例 3.系统的互联系统的互联 主要内容主要内容 1.6 系统的基本性质系统的基本性质 1.记忆和无记忆性记忆和无记忆性 2.可逆性和可逆系统可逆性和可逆系统 3.因果性因果性 4.稳定性稳定性 5.时不变性时不变性 6.线性线性 举例举例总结总结 信号的定义信号的定义 信号信号在数学上表示为一个或多个独立变量的函在

5、数学上表示为一个或多个独立变量的函 数，包含自然界物理现象中存在的行为和特征数，包含自然界物理现象中存在的行为和特征 等信息量。等信息量。 例如：电路中的电压和电流信号，语音信号等。例如：电路中的电压和电流信号，语音信号等。 返回返回 系统的定义系统的定义 系统系统是若干是若干相互间联系相互间联系的事物组合而成并的事物组合而成并 且具有且具有特定功能特定功能的的整体整体。 例如：通信系统、控制系统等。例如：通信系统、控制系统等。 返回返回 系统系统 输入信号输入信号输出信号输出信号 传输或处理传输或处理 x(t)y(t) 1.1连续时间和离散时间信号连续时间和离散时间信号 定义定义 1、自变量

6、连续可变的信号为连续时间信号或、自变量连续可变的信号为连续时间信号或 者模拟信号。者模拟信号。 2、自变量离散的信号为离散时间信号。、自变量离散的信号为离散时间信号。 t )(tx 连续时间信号连续时间信号返回返回 n nx 离散时间信号离散时间信号 周期信号周期信号 其中，其中，k k为整数为整数 ,T,T为周期。为周期。 )()(kTtxtx 1.2.2 周期信号周期信号 对连续时间信号来讲，如果满足表达式，对连续时间信号来讲，如果满足表达式， 则称为周期连续信号。则称为周期连续信号。 k kTtxtx)()( 1 T t )( 1 tx)(tx t T 周期信号周期信号 其中，其中，k

7、, N都为整数都为整数 ,N为周期。为周期。 kNnxnx 对离散时间信号而言，如果满足对离散时间信号而言，如果满足 则具有周期性。则具有周期性。 k kNnxnx 1 N n 1 nx nx n N 周期信号 基波周期：周期信号的最小周期。基波周期：周期信号的最小周期。 基波频率：基波周期的倒数。基波频率：基波周期的倒数。 基波周期基波周期和和基波频率基波频率 )()( 0 kTtxtx 0 kNnxnx s T / 2 0 0 弧度 弧度 0 0 2 N 返回返回 奇偶信号奇偶信号 1.2.3 奇偶信号奇偶信号 一个实信号可以描述为奇信号和偶信号之和。一个实信号可以描述为奇信号和偶信号之和

8、。 )()( 2 1 )(txtxtxev )()( 2 1 )(txtxtxod 返回返回 )()()(txtxtx odev 1.3 指数信号和正弦信号指数信号和正弦信号 这一节和下一节介绍几个基本的连续时这一节和下一节介绍几个基本的连续时 间和离散时间信号。间和离散时间信号。 这些信号经常出现，并且可以作为基本这些信号经常出现，并且可以作为基本 信号构建单元来产生其它许多信号。信号构建单元来产生其它许多信号。 1.3 指数信号和正弦信号指数信号和正弦信号 基本构建单元（典型信号）基本构建单元（典型信号） 1. 正弦信号正弦信号 2. 指数信号指数信号 3. 单位冲激信号和单位阶跃信号单位

9、冲激信号和单位阶跃信号 1.3 指数信号和正弦信号指数信号和正弦信号 正弦信号：正弦信号： )cos()( 0 tAtx 其中其中: A : 幅值幅值 : 相位，单位为弧度相位，单位为弧度 0: 角频率，单位弧度角频率，单位弧度/秒秒 返回返回 其中其中, C和和 a为参数为参数,通常为复数通常为复数, 根据这些根据这些 参数值的不同参数值的不同,复指数信号具有不同特征：复指数信号具有不同特征： 1.3 指数信号和正弦信号指数信号和正弦信号 连续时间复指数信号连续时间复指数信号 at Cetx)( 周期复指数信号周期复指数信号 实指数信号实指数信号 谐波关系谐波关系 举例举例 一般复指数信号一

10、般复指数信号 和连续时间复指数信号一样，基于参数和连续时间复指数信号一样，基于参数 C 和和的不同的不同, 信号具有不同特性。信号具有不同特性。 1.3 指数信号和正弦信号指数信号和正弦信号 离散时间复指数信号离散时间复指数信号 离散时间复指数信号一般表达式如下：离散时间复指数信号一般表达式如下： n Cnx 1.3 指数信号和正弦信号指数信号和正弦信号 时间离散复指数信号时间离散复指数信号一般表达式如下：一般表达式如下： n Cnx 一般复指数信号一般复指数信号 实指数信号实指数信号 周期性周期性 正弦信号正弦信号 返回返回 谐波关系谐波关系 例子例子 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激

11、和单位阶跃函数 离散时间单位脉冲和单位阶跃序列离散时间单位脉冲和单位阶跃序列 1、定义定义 2、两种序列之间的关系两种序列之间的关系 3、采样特性采样特性 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 连续时间单位冲激和单位阶跃信号连续时间单位冲激和单位阶跃信号 1、定义定义 2、两者的关系两者的关系 3、采样特性采样特性 应用单位阶跃信号对某些时域信号的应用单位阶跃信号对某些时域信号的 简化表示简化表示。 返回返回 总结总结 u这章我们讨论了连续时间和离散时间信这章我们讨论了连续时间和离散时间信 号与系统的基本概念。号与系统的基本概念。 信号是消息的载体。信号是消息的载体。 信号可以

12、被描述为一个或多个独立变量信号可以被描述为一个或多个独立变量 的数学函数的数学函数,本书只讨论一元函数。本书只讨论一元函数。 总结总结 图象描述信号图象描述信号 牢固掌握典型信号及其特点牢固掌握典型信号及其特点: 单位冲激信号单位冲激信号、单位阶跃信号单位阶跃信号，实指数实指数 信号和复指数信号信号和复指数信号，正弦信号正弦信号等。等。 利用这些基本（典型）信号作为利用这些基本（典型）信号作为信号构信号构 造单元造单元组成其它复合信号。组成其它复合信号。 总结总结 系统由若干相互联系的子系统有机组成。系统由若干相互联系的子系统有机组成。 系统的物理意义非常广泛。系统的物理意义非常广泛。 u这一

13、章，我们用以下方法描述系统这一章，我们用以下方法描述系统: 系统框图系统框图 数学方程数学方程 u分析研究了系统的基本性质以及这些性分析研究了系统的基本性质以及这些性 质的证明方法。质的证明方法。 总结总结 重点：重点：线性性线性性，时不变性时不变性，因果性因果性，稳稳 定性。定性。 同时满足线性性和时不变性的系统称为同时满足线性性和时不变性的系统称为 LTI 系统系统。 本书主要重点讨论本书主要重点讨论LTI 系统系统，因为现实，因为现实 中的很多物理过程都可以用中的很多物理过程都可以用LTI 系统系统来来 描述。描述。 作业作业 仔细看书仔细看书p1 至至 p56. 9, 10, 14，,

14、20, 21, 31, 36 信号的例子信号的例子 1. 电路中的电压和电流信号电路中的电压和电流信号: )(tvS)(tvC )(ti R C RC 电路电路 vs(t) 及及 vc(t): 电源电压和电容两端的电压。电源电压和电容两端的电压。 i(t): 电路电流。电路电流。 信号的例子信号的例子 2. 语音信号语音信号 信号的例子信号的例子 3. 股票市场指数索引股票市场指数索引 返回返回 信号的描述信号的描述 信号的描述方法主要有以下三种信号的描述方法主要有以下三种: 1. 数学函数描述：数学函数描述： )100sin()(ttx )2 . 0cos(nnx 2. 图像描述：图像描述：

15、 信号的描述信号的描述 3. 对离散信号而言的序列描述：对离散信号而言的序列描述： xn = , 0, 0.1, 0.23, -1.2, 1, 2, 返回返回 小结小结 通常来讲，信号包含信息量。通常来讲，信号包含信息量。 可以用数学函数，图象以及序列来描可以用数学函数，图象以及序列来描 述信号。述信号。 连续时间信号的自变量是连续的，但连续时间信号的自变量是连续的，但 函数值可以离散。函数值可以离散。 小结小结 离散时间信号的自变量是离散的。离散时间信号的自变量是离散的。 对某些离散时间信号而言，其自变量本来对某些离散时间信号而言，其自变量本来 就是离散的，但对有些离散时间信号而言，就是离散

16、的，但对有些离散时间信号而言， 可以由连续时间信号进行采样得到。可以由连续时间信号进行采样得到。 返回返回 时时 移移 时移时移 原信号为：原信号为：x(t) 时移信号为：时移信号为： )( 0 ttx t 0 0 t )( 0 ttx t 0 0 t x(t)经过时移后的图象经过时移后的图象 )(tx t 0 )( 0 ttxt0 为位移量，为位移量， t0 0 返回返回 反褶反褶 反褶反褶 原信号为：原信号为：x(t) 反褶后信号为：反褶后信号为：)( tx 返回返回 尺度变换尺度变换 尺度变换尺度变换 原信号为：原信号为：x(t) 经过尺度变换后的信号为经过尺度变换后的信号为： )()(

17、 1 atxtx 其中，其中，a 为任意实系数。为任意实系数。 当当 |a|1, x(t) 被压缩为被压缩为x1(t) ； 当当|a|1 , x(t) 被拓展为被拓展为x1(t) , 图象描述如下：图象描述如下： 尺度变换尺度变换 x(t)x(2t)x(0.5t) 返回返回 X(t)经过尺度变换后的图象变化经过尺度变换后的图象变化 自变量变换举例自变量变换举例 例例 1.1, 1.2, 1.3 ：给定信号：给定信号x(t), 求求x(-3t+1)。 解答解答: 步骤步骤: x(t) 时移时移 x(t+1) x(t+1) 反褶反褶 x(-t+1) x(-t+1) 尺度变换尺度变换 x(-3t+1

18、) )(tx t 012 )(a ) 13( tx t 03/13/1 自变量变换举例自变量变换举例 u 给定一个连续时间信号给定一个连续时间信号x(t), 求求x(at+b) 的步骤如下：的步骤如下： 求求 x(t+b) -时移时移 求求 x(-t+b) -反褶反褶 若若 a0, x(t) 值递增。值递增。 当当 a0, x(t) 值递减。值递减。 当当 a=0, x(t) 值保持不变。值保持不变。 返回返回 周期复指数信号 周期复指数信号周期复指数信号 假定假定 a 为纯虚数为纯虚数, at Cetx)(令令a=j0 , C=1 tj e 0 )( 0 Ttj e tjTj ee 00 则

19、则x(t)为周期函数为周期函数 T为周期为周期 tj etx 0 )( 则：则：1 0 Tj e 周期复指数信号 基波频率定义如下：基波频率定义如下： 0 0 2 T 0 0 1 T f 或者或者 1 0 Tj e kT 0 2 基波周期：基波周期： 00 /2T k=0, 1, 2, 周期复指数信号 欧拉公式：欧拉公式： )( 2 1 )sin( 00 0 tjtj ee j t )( 2 1 )cos( 00 0 tjtj eet )sin()cos( 00 0 tjte tj )sin()cos( 00 0 tjte tj 或者或者 周期复指数信号 进一步推导：进一步推导： )( 2 )

20、sin( )()( 0 00 tjtj ee j A tA )( 2 )cos( )()( 0 00 tjtj ee A tA )( 2 00 tjjtjj eeee A Re )( 0 tj Ae )( 2 00 tjjtjj eeee j A Im )( 0 tj Ae 周期复指数信号 例如：给定周期复指数信号为：例如：给定周期复指数信号为： )6/( 2)( tj etx )6/sin(2)6/cos(2tjt 周期复指数信号 周期复指数信号在处理信号与系统的大周期复指数信号在处理信号与系统的大 部分问题中起着十分重要的作用，部分部分问题中起着十分重要的作用，部分 原因是由于对许多其它信

21、号来讲，它们原因是由于对许多其它信号来讲，它们 可用作极其有用的信号基本构造单元。可用作极其有用的信号基本构造单元。 周期复指数信号在理论和工程领域是一周期复指数信号在理论和工程领域是一 种重要的基本周期信号。种重要的基本周期信号。 返回返回 谐波关系谐波关系 谐波关系谐波关系 给定一个周期复指数信号如下：给定一个周期复指数信号如下： tj etx 0 )( 00, T 对信号对信号 如果其频率满足如果其频率满足0的整数倍的整数倍,即即k= k0, 则称信号则称信号xk(t) 是是x(t)的的 k次次谐波。谐波。 tj k k etx )( 谐波关系谐波关系 利用复指数信号谐波关系的加权和利用

22、复指数信号谐波关系的加权和,可以可以 建立其它很多周期信号建立其它很多周期信号,如下式表示如下式表示: N Nk tjk ke atx 0 )( 返回返回 一般复指数信号一般复指数信号 一般复指数信号一般复指数信号 最一般情况下的复指数信号可以借助已最一般情况下的复指数信号可以借助已 经讨论过的实指数信号和周期复指数信经讨论过的实指数信号和周期复指数信 号来给予表示和说明。如号来给予表示和说明。如: at Cetx)( 如果如果 C 和和a 为复数为复数, 则则 x(t)为复指数信号。为复指数信号。 一般复指数信号一般复指数信号 通常用极坐标表示通常用极坐标表示C ，用直角坐标表示，用直角坐标

23、表示a。 如如： j eCC 0 jra 极坐标极坐标 直角坐标直角坐标 则则 at Cetx)( tjrj eeC 0 tjrt eeC 0 )sin()cos( 00 tjteC rt )cos( 0 teC rt )sin( 0 teC rt x(t)的实部的实部 x(t)的虚部的虚部 r0 一般复指数信号一般复指数信号 幅度增长和衰减的正弦信号如下图所示：幅度增长和衰减的正弦信号如下图所示： rt eC增长因子为：增长因子为： 返回返回 1.3.1 连续时间复指数信号连续时间复指数信号 例例1.5 给定一个信号：给定一个信号： tjtj eetx 32 )( 把其表示为单一的复指数信号

24、和单一的把其表示为单一的复指数信号和单一的 正弦信号乘积为：正弦信号乘积为： tj ettx 5 . 2 )5 . 0cos(2)( 返回返回 1.3.1 连续时间复指数信号连续时间复指数信号 解答解答: tjtj eetx 32 )( tjtjtj eee 5 . 05 . 05 . 2 x(t) 可表示为：可表示为： 利用欧拉公式，得到：利用欧拉公式，得到： 则则x(t)的幅值为：的幅值为： tjtjtj eeetx 5 . 05 . 05 . 2 )( )5 . 0cos(2)(ttx tj et 5 . 2 )5 . 0cos(2 返回返回 1.3.2 离散复指数信号和正弦信号离散复指

25、数信号和正弦信号 实指数信号实指数信号 如果如果C 和和 为实数为实数, 则则xn 为实指数信号。为实指数信号。 当当|1， xn 递增。递增。 n Cnx | |1, 0|1, 0 1.3.2 离散复指数信号和正弦信号离散复指数信号和正弦信号 当当 | 1, xn衰减衰减： n Cnx | | 0|1, 1 和和|0 和和m均为整数。均为整数。 基波频率为基波频率为0基波频率为基波频率为0/m 基波周期：基波周期： 0=0: 无定义无定义 00: 2/0 基波周期：基波周期： 0=0: 无定义无定义 00: 2m/0 返回返回 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 1.4.1

26、 离散时间单位脉冲和单位阶跃序列离散时间单位脉冲和单位阶跃序列 离散时间单位脉冲和单位阶跃序列离散时间单位脉冲和单位阶跃序列定义如下：定义如下： 0, 0 0, 1 n n n 0 n n 1 0, 0 0, 1 n n nu 0 nu n 1 返回返回 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 两者之间的关系两者之间的关系 1.离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃 的一次差分，表示如下：的一次差分，表示如下： 1nunun nu 1 nu n n n 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 2. 离散时间单位阶跃是单位脉冲的求和函数，

27、离散时间单位阶跃是单位脉冲的求和函数， 如下：如下： 0 k knnu k 0n kn 求和区间求和区间 k 0n kn 求和区间求和区间 当当 n0 当当 n0 0nu 1nu 求和区间求和区间 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 或者：或者： n m mnu 当当 n0 求和区间求和区间 当当 n00nu1nu 0 m m n 0 m m n 返回返回 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 0nxnnx 更一般的情况更一般的情况 000 nnnxnnnx 离散时间单位脉冲函数的采样性质离散时间单位脉冲函数的采样性质 返回返回 1.4 单位冲激和单位阶跃函数

28、单位冲激和单位阶跃函数 1.4.2 连续时间单位冲激和单位阶跃函数连续时间单位冲激和单位阶跃函数 连续时间单位阶跃函数定义如下：连续时间单位阶跃函数定义如下： 0, 0 0, 1 )( t t tu )(tu t 0 1 注意注意: 单位阶跃信号在单位阶跃信号在t=0 点是不连续的，点是不连续的， 所以所以u(t)在在t=0的值没有定义的值没有定义。 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 单位冲激函数单位冲激函数(t) 定义如下：定义如下： 1)( d 00)(tt t 0 )(t 注意注意: 单位冲激函数单位冲激函数(t) 的函数值在的函数值在t=0为为 非零的非零的, 在所

29、有不为零的时间点在所有不为零的时间点t函数值函数值 都为零都为零. 而且而且(t) 对时间对时间t的面积为的面积为1。 返回返回 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 1.单位冲激函数单位冲激函数(t) 是单位阶跃函数是单位阶跃函数u(t)的一次的一次 微分：微分： dt tdu t )( )( )(tu t 0 1 t 0 )(t dt tdu )( 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 2. 单位阶跃函数是单位冲激函数的积分：单位阶跃函数是单位冲激函数的积分： t dtu )()( 0 )()( dt 0 )( dt t0 )( t0 )(t t0 )(t

30、返回返回 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 采样性质采样性质 )0()()(xdx )()0()()(txttx 以及以及 )()()( 00 txdtx )()()()( 000 tttxtttx 返回返回 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 信号通常被分段表示。信号通常被分段表示。 例如例如, 假设给定假设给定x(t)如下所示：如下所示： 应用单位阶跃信号对时域信号的简化表示应用单位阶跃信号对时域信号的简化表示 33 322 211 ),( ),( ),( )( tttx ttttx ttttx tx 其中其中x1(t), x2(t), x3(t)是关

31、于是关于t的任意连续时的任意连续时 间函数间函数 )( 1 tx )( 2 tx )( 3 tx t 2 t 3 t 1 t )(tx 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 )()()()( 211 ttuttutxtx 因此，信号可以由函数因此，信号可以由函数u(t) 和和u(t)的时的时 移函数综合表示。移函数综合表示。 )( 1 tx )( 2 tx )( 3 tx t 2 t 3 t 1 t )(tx )()()( 322 ttuttutx )()( 33 ttutx 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 例例1.7 研究如图所示的非连续时间信号研究如图

32、所示的非连续时间信号x(t)。 t )(tx 解：信号可以由单位阶跃函解：信号可以由单位阶跃函 数及其时移函数综合表示数及其时移函数综合表示 如下：如下： ) 4()4() 2()2() 1( 2)(tutututututx ) 4(2) 2(3) 1(2tututu ) 4() 4() 2() 2(2) 1(2tututututu 1.4 单位冲激和单位阶跃函数单位冲激和单位阶跃函数 根据其表示，并结合单位阶跃信号和单位根据其表示，并结合单位阶跃信号和单位 冲激信号之间的关系，可以求出其微分并冲激信号之间的关系，可以求出其微分并 绘制图形如下：绘制图形如下： ) 4(2) 2(3) 1(2

33、)( ttt dt tdx ) 4(2) 2(3) 1(2)(tutututx t )(tx t dt tdx )( 返回返回 连续时间和离散时间系统连续时间和离散时间系统 连续时间系统：连续时间系统： 系统系统 输入输入 x(t) 输出输出 y(t) 离散时间系统：离散时间系统： 系统系统 输入输入 xn 输出输出 yn 返回返回 1.5.1 简单系统举例简单系统举例 1.5.1 简单系统举例简单系统举例 例例1.8 分析如图所示的分析如图所示的RC 电路，确定电路，确定 vc(t) 和和 vs(t)两者之间的两者之间的关系关系。 )(tvS )(tvC )(ti R C 解答解答: )(

34、1 )( 1)( tv RC tv RCdt tdv sC C 1.5.1 简单系统举例简单系统举例 例例1.10分析某一银行户头按月结余的一个简分析某一银行户头按月结余的一个简 单模型。单模型。 令令 yn 为第为第n个月末的结余，假设个月末的结余，假设 yn 按按 月以下列方程变化。月以下列方程变化。 101. 1nxnyny 其中，其中，xn-第第n个月当中的净存款。个月当中的净存款。 1.5.1 简单系统举例简单系统举例 系统的描述系统的描述 根据以上例子表明，系统可由数学表达式根据以上例子表明，系统可由数学表达式 描述描述系统的数学模型。系统的数学模型。 1 对连续时间系统来讲，数学

35、模型为对连续时间系统来讲，数学模型为微分微分 方程方程。 2 对离散时间系统而言，数学模型为对离散时间系统而言，数学模型为差分差分 方程方程。 返回返回 1.5.2 系统的互联系统的互联 1.5.2 系统的互联系统的互联 很多实际系统由几个子系统互联组成。很多实际系统由几个子系统互联组成。 主要有四种互联方式：主要有四种互联方式： 并联并联 串联串联 并联并联-串联联结串联联结 反馈联结反馈联结 1.5.2 系统的互联系统的互联 串联（级联）串联（级联） )()()( 21 tytyty 并联并联 系统系统1系统系统2 )(tx)(ty)( 1 ty 系统系统1 系统系统2 )(tx )( 1

36、 ty )( 2 ty 1.5.2 系统的互联系统的互联 串联串联- -并联联结并联联结 系统系统1 系统系统3 )(tx )(ty 系统系统2 )( 1 ty )( 2 ty )( 3 ty 系统系统4 1.5.2 系统的互联系统的互联 反馈联结反馈联结 系统系统1 系统系统2 )(tx)(ty)(te )( 2 ty )()()( 2 tytxte 返回返回 1.6.1 记忆系统和无记忆系统记忆系统和无记忆系统 1.6.1记忆系统和无记忆系统记忆系统和无记忆系统 定义定义: 如果对自变量的每一个值，一个系统的输如果对自变量的每一个值，一个系统的输 出仅仅决定于该时刻的输入，则这个系统出仅仅

37、决定于该时刻的输入，则这个系统 就称为无记忆系统。就称为无记忆系统。 假设一个系统用数学关系式描述如下：假设一个系统用数学关系式描述如下： 2 2 2nxnxny 这是一个无记忆系统这是一个无记忆系统 一个连续时间系统被描述为一个连续时间系统被描述为 1.6.1 记忆系统和无记忆系统记忆系统和无记忆系统 则系统为则系统为记忆系统记忆系统。 )()(txty 是是无记忆系统无记忆系统 n k kxny2 1nxnxnx 假设系统可以用数学表达式描述为：假设系统可以用数学表达式描述为： 1.6.1 记忆系统和无记忆系统记忆系统和无记忆系统 电容器电容器就是就是记忆系统记忆系统的一个典型例子的一个典

38、型例子 因为：取输入为电流，输出为电压，则有：因为：取输入为电流，输出为电压，则有： )(ti )(tv C t di C tv)( 1 )( )(ti )(tvC 返回返回 1.6.2 可逆性与可逆系统可逆性与可逆系统 1.6.2可逆性与可逆系统可逆性与可逆系统 定义定义: 一个系统如果在一个系统如果在不同的输入不同的输入下，导致下，导致不同不同 的输出的输出，则称该系统为，则称该系统为可逆可逆的。的。 系统系统 xnyn 逆逆 系统系统 xn 恒等系统恒等系统 1.6.2 可逆性与可逆系统可逆性与可逆系统 可逆连续时间系统的一个例子如下：可逆连续时间系统的一个例子如下： w(t)=y(t)

39、/2 w(t)=x(t) y(t)=2x(t) x(t)y(t) )(2)(txty 则该可逆系统的则该可逆系统的逆系统逆系统描述为：描述为： )( 2 1 )(tytw 1.6.2 可逆性与可逆系统可逆性与可逆系统 给定一个系统描述如下：给定一个系统描述如下： n k kxny 其逆系统为：其逆系统为： 1nynynw w(t)=yn-yn-1 wn=xn yn=xn x(t)yn 原系统和其逆系统级联后，就可得到一个原系统和其逆系统级联后，就可得到一个 横等系统：横等系统： 返回返回 1.6.3 因果性因果性 1.6.3 因果性因果性 如果一个系统在任何时刻的输出只决定如果一个系统在任何时

40、刻的输出只决定 于现在的输入以及过去的输入，则该系于现在的输入以及过去的输入，则该系 统为统为因果系统因果系统。 因此，假设因此，假设初始状态值为零初始状态值为零，因果系统因果系统 在输入信号作用系统之前是无法得到输在输入信号作用系统之前是无法得到输 出值的，也即出值的，也即系统的输出无法预知未来系统的输出无法预知未来 的输入值。的输入值。 1.6.3 因果性因果性 RC 电路是电路是因果因果的，因为电容器上的电压仅的，因为电容器上的电压仅 对现在和过去的源电压值作出反应。对现在和过去的源电压值作出反应。 )(tvS)(tvC )(ti R C ) 1()(txty 但是，如果定义系但是，如果

41、定义系 统为：统为： 1nxnxny和和则系统不是因果的则系统不是因果的 为什么为什么? 返回返回 1.6.4 稳定性稳定性 1.6.4 稳定性稳定性 稳定性是系统的又一重要特性。直观上看稳定性是系统的又一重要特性。直观上看， 一个稳定的系统在小的输入下的响应是不一个稳定的系统在小的输入下的响应是不 会会发散发散的。的。 )(ty )(tx )(ty )(tx 稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定系统 1.6.4 稳定性稳定性 假设，给定一个系统：假设，给定一个系统： ) 1(nunkuny n k 有有 10y32y 2 1 y43y 可见，可见，yn无界增长无界增长。所以系统是。所以系统是不稳

42、定不稳定 的的。 ny n 1.6.4 稳定性稳定性 BIBO 定义定义 一个稳定系统，若其输入是有界的，则系一个稳定系统，若其输入是有界的，则系 统的输出也必须是有界的。统的输出也必须是有界的。 怎么判断一个系统的稳定与否？怎么判断一个系统的稳定与否？ 返回返回 1.6.5 时不变性时不变性 1.6.5 时不变性时不变性 从概念上讲，若系统的从概念上讲，若系统的特性行为特性行为不随时间而变，不随时间而变， 则系统是则系统是时不变的时不变的。 例如：例如： RC电路如果其电路如果其R和和C值不随时间改变，则为时值不随时间改变，则为时 不变的不变的。 )(tx)(ty )(ti R C )(tx

43、 )(ty 1.6.5 时不变性时不变性 如果如果R 和和C 随时间变化或波动的话，则电随时间变化或波动的话，则电 路是时变的。路是时变的。 )(tvS)(tvC )(ti R C RC值随时间增大值随时间增大 RC值随时间减小值随时间减小返回返回 1.6.6 线性线性 1.6.6 线性线性 线性系统具有一个很重要的性质就是线性系统具有一个很重要的性质就是叠加叠加 性性，即：，即： 如果某一个输入是由几个信号的如果某一个输入是由几个信号的加权和加权和组组 成的话，那么输出也就是系统对这组信号成的话，那么输出也就是系统对这组信号 中每一个的响应的加权和。中每一个的响应的加权和。 1.6.6 线性

44、线性 对一个线性系统，必须同时满足叠加性对一个线性系统，必须同时满足叠加性 和比例性或（齐次性）。和比例性或（齐次性）。 叠加性叠加性 系统 )( 1 tx)( 1 ty 系统 )( 2 tx)( 2 ty )()()( 21 txtxtx )()()( 21 tytyty 系统 )(tx )(ty 1.6.6 线性线性 齐次性齐次性 系统 )( 1 tx)( 1 ty 系统 )( 1 tax )( 1 tay 两种性质的结合两种性质的结合: 系统 )( 1 tx)( 1 ty 系统 )( 2 tx)( 2 ty )()()( 21 tbxtaxtx )()()( 21 tbytayty 系统

45、 )(tx )(ty 返回返回 因果性的举例因果性的举例 例例1.12 假设一系统定义为：假设一系统定义为： nxny 确定系统的因果性确定系统的因果性, 当当 系统输入为系统输入为: nunx 0 nunx n 1 0 nuny n 1 1 显然系统为非因果的。显然系统为非因果的。 因果性的举例因果性的举例 假设系统定义为假设系统定义为： ) 1cos()()(ttxty x(t)为输入信号为输入信号。 同样，假设同样，假设x(t)为单位阶跃信号为单位阶跃信号。 从右图可以得知系统是因果的，从右图可以得知系统是因果的， 因为因为x(t) 值非零值非零, y(t)值也是非值也是非 零的零的。 时不变性的举例时不变性的举例 例例1.14 假设连续时间系统定义为：假设连续时间系统定义为： )(sin)(txty 令令 x1(t) 为系统的任意输入，并令相应的为系统的任意输入，并令相应的 输出为：输出为： )(sin)( 11 txty 如果将如果将x1(t) 关于关于t0 的时移作为第二个输入，的时移作为第二个输入， 则相应的输出为：则相应的输出为： )(sin)( 0101 ttxtty时不变时不变 时不变性的举例时不变性的举例 例例1.15 假设离散时间系统定义为：假设离散时间系