信号与系统教案第6章

1、信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-1页 第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析 6.1 6.1 z z变换变换 6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 6.4 6.4 z z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-2页 6.1 z6.1 z变换变换 一、从拉氏变换到一、从拉氏变换到z z变换变换 对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到: ( )( )( )() () ST

2、k ftf ttf kTtkT 取样信号取样信号 两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 ( )()e kTs Sb k Fsf kT 令令 ，上式将成为复变量，上式将成为复变量z的函数，用的函数，用 表表 示；示； ，得，得 sT ze ()( )f kTf k ( )F z 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-3页 ( )( ) k k F zf k z 序列序列f(k)f(k)的双的双 边边z z变换变换 0 ( )( ) k k F zf k z 序列序列f(k)f(k)的单的单 边边z z变换变换 若若f(k

3、)为为因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z 变换相等，否则不变换相等，否则不 等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换变换。 F(z) = Zf(k) f(k)= Z-1F(z) f(k)F(z) 6.1 z6.1 z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-4页 二、收敛域二、收敛域 z变换定义为一变换定义为一无穷幂级数之和无穷幂级数之和，显然只有当该幂级，显然只有当该幂级 数收敛，即数收敛，即 ( ) k k f k z 时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称

4、为绝对可和条件绝对可和条件，它是，它是 序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分必要条件充分必要条件。 收敛域的定义收敛域的定义： 对于序列对于序列f(k)，满足，满足 ( ) k k f k z 的所有的所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换F(z)的收敛域的收敛域。 6.1 z6.1 z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-5页 例例1： 有限长序列的有限长序列的z变换变换(1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解：解：(1) 1 0 ( )( )( )1

5、 kk kk F zk zk z 可见，其单边、双边可见，其单边、双边z变换相等。与变换相等。与z 无关，无关， 所以其收敛域为所以其收敛域为整个整个z 平面平面。 (2) 收敛域为收敛域为 0 z 0 2( ) fk 由于序列是有限长的，则由于序列是有限长的，则F(z)是有限项级数和，所以是有限项级数和，所以F(z) 除了在除了在 0和和处外都收敛，有时在处外都收敛，有时在0和和处也收敛。处也收敛。 结论一：有限长序列的收敛域是结论一：有限长序列的收敛域是 ，要讨论，要讨论 0和和两点。两点。 0z 6.1 z6.1 z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西

6、安邮电大学通信与信息工程学院 第2-7页 例例2： 因果序列因果序列 解：解： 0 ( )( ) kkkk kk F zak za z z a 时，其时，其z变换存在。变换存在。 ( )( ) k z akF z za Rez jImz |a| o 0,0 ( )( ) ,0 k k k f kak ak 11 1 1 0 1() lim()lim 1 NN k NN k az az az 结论二：因果序列的收敛域是某个圆的圆外。结论二：因果序列的收敛域是某个圆的圆外。 6.1 z6.1 z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第

7、2-8页 例例3： 反因果序列反因果序列 解：解： ,0 ( )(1) 0,0 k k bk f kbk k 1111 11 1 1 () ( )()()lim 1 N km N km b zb z F zbzb z b z b-1z 1，即，即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在， (1) k z bk zb 收敛域为收敛域为|z|z| |b| |b| Rez jImz o 结论三：反因果序列的收敛域是某个圆的圆内。结论三：反因果序列的收敛域是某个圆的圆内。 6.1 z6.1 z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-

8、9页 例例4： 双边序列双边序列 解：解： ,0 ( )( )(1) ,0 k kk k bk f kakbk ak ( ) zz F z zbza 收敛域为收敛域为 a z b （显然要（显然要 求求 a 0 (k) 1z z ， z 1 ， z 1 1111 ( )( )f kF zz 2222 ( )( )fkF zz 1212 ( )( )( )( )af kbfkaF zbF z 2 + 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-12页 二、移位（移序）特性二、移位（移序）特性 单边、双边差别大！单边、双边差别大！ 对于双边对于

9、双边Z Z变换，移位后的序列没有丢失原序列的变换，移位后的序列没有丢失原序列的 信息；而对于单边信息；而对于单边Z Z变换，移位后的序列较原序列长度变换，移位后的序列较原序列长度 有所增减。有所增减。 双边双边z变换的移位：变换的移位： 且对整数且对整数m0，则，则 ( )( )f kF zz ()( ) m f kmzF zz 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-13页 单边单边z变换的移位：变换的移位： ( )( )f kF zz 且对整数且对整数m0，则，则 1 (1)( )( 1)f

10、 kz F zf 21 (2)( )( 2)( 1)f kz F zffz 1 0 ()( )() m mk k f kmzF zf km z 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-14页 特例：特例：若若 为因果序列，则为因果序列，则 1 0 ()( )( ) m mm k k f kmz F zf k z (1)( )(0)f kzF zfz 22 (2)( )(0)(1)f kz F zfzfz ( )f k ()( ) m f kmzF z 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信

11、号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-15页 例例1：求周期为求周期为N的有始周期性单位序列的有始周期性单位序列 0 () m kmN 的的z变换。变换。 0 () m kmN 解：解： ， z 1 例例2： 求求 的单边的单边z变换变换F(z)。 解：解： ( )( )f kkk (1)(1) (1)(1) ( )( )( )f kkkkkf kk ( )(0)( ) 1 z zF zzfF z z 2 ( ) (1) z F z z 0 mN m z 1 11 N NN z zz 1)(k mN zmNk )( 6.2 z6.2 z

12、变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-16页 三、序列乘三、序列乘a ak k(z(z域尺度变换域尺度变换) ) 例例1： 例例2： jj 0.50.5 ee zz zz ( )( ),f kF zz 若若：且有常数且有常数a0 a0 ，则：，则： ( )( ), k z a f kFaza a 若若a a换为换为a a 1 1, ,则： 则： ( )(), k af kF azz aa cos() ( )kk ( ) k z ak za 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西

13、安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-17页 四、卷积定理四、卷积定理 对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列 其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。 例：例： 求求 的的z变换。变换。 解：解： 1 2 11(1) zz zz zzz 111 1 ( )( ),f kF zz 222 2 ( )( ),fkF zz 1212 ( )*( )( )( )f kfkF zF z ( )( )f kkk )1()()1()()( kkkkkkkf 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析

14、信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-18页 五、序列乘五、序列乘k k（z z域微分）域微分） 若若 则则 , z 0， 则则 1 ( )( ) m m z f kF zd km , z 0，则，则 ( )( ) z f kF d k 例例：求序列求序列 的的z变换。变换。 1 ( ) 1 k k 解：解： ( )( ),f kF zz ( ) 1 z k z 2 111 ( )() 1(1)1 zz kzdzd k 1 ln()ln() 1 z z zz z 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通

15、信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-20页 七、七、k k域反转域反转( (仅适用双边仅适用双边z z变换变换） 例：例： 求求a k ( k 1)的的z变换变换。 解：解： 1 1 1 (1) k z z ak zaza 1 1 1 (1) k ak za ，|z| |a| ，|z| 1/ |a| 乘乘a得得 1 (1) k a ak za ，|z| 1/ |a| ( )( ),f kF zz 1 11 ()(),fkF zz 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-21页

16、八、部分和八、部分和 ( )( ) 1 k i z f iF z z , max( ,1) z max(|a|,1) ( )( ),f kF zz 0 k i i a 0 ( ) kk ii ii aai 1 zz zza 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-22页 九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理初值定理：适用于右边序列（或称有始序列）：适用于右边序列（或称有始序列） 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 则序列的初值则

17、序列的初值 ()lim( ) M z f Mz F z 对因果序列对因果序列f(k) (0)lim( ) z fF z ( )( ),f kF zz 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-23页 终值定理终值定理：适用于右边序列：适用于右边序列 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k) F(z) ， z 且且01 则序列的终值则序列的终值 11 1 ( )lim( )lim( )lim(1)( ) kzz z ff kF zzF z z 含

18、单位圆含单位圆 例：例：已知因果序列的象函数已知因果序列的象函数 ，求序列，求序列 的初值和终值。的初值和终值。 2 2 ( ) 0.25 z F z z 注意：终值定理要求注意：终值定理要求z=1必须在收敛域内（必须在收敛域内（ 01） 6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-24页 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 求逆求逆z变换的方法有：变换的方法有：幂级数展开法幂级数展开法; 部分分式展开法部分分式展开法; 反演积分（留数法）。反演积分（留数法）。 一般而言，双边序列一般而言，双边序列

19、f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和反和反 因果序列因果序列f2(k)两部分，即两部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k) (k 1) + f(k) (k) 相应地，其相应地，其z变换也分为两部分变换也分为两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 ，f(k)为为因果序列因果序列。用长除法将。用长除法将F(z)展展 开为开为z-1的幂级数的幂级数： z2/ /(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k)=1，1，3，5， k=0 （2） z 1，f(k)为为反因果序列

20、反因果序列。用长除法将。用长除法将F(z) （按升幂排列）展开为（按升幂排列）展开为z的幂级数的幂级数: 53 11 ( ),0 168 42 f k L L k=2 Lzzzzzzz 543222 16 5 8 3 4 1 2 1 2 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-27页 （3） 1 z 2，f(k)为为双边序列双边序列。将。将F(z)展开为部分分展开为部分分 式，有式，有 即将它们分别展开为即将它们分别展开为z-1及及z的幂级数，有的幂级数，有 难以写成闭合形式。难以写成闭合形式。 12

21、 12 33 ( )( )( ) 12 zz F zF zF z zz 123 1 1111 ( ) 3333 F zzzz L L 32 2 111 ( ) 1263 F zzzzL L 111 11 11 ( ), 1263 33 33 f k L LL L k=0 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-28页 二、部分分式展开法二、部分分式展开法 1 110 1 110 .( ) ( ) ( ). mm mm nn n b zbzb zbB z F z A zzaza za mn时先从时先从F

22、(z)中分出常数项，再将余下的真分式中分出常数项，再将余下的真分式 展开为展开为 部分分式。其方法与第五章中部分分式。其方法与第五章中F(s)展开方法相同。展开方法相同。 ( )F z z 根据极点的类型，根据极点的类型， 的展开有几种情况：的展开有几种情况： ( )F z z 1）单极点；）单极点；2）共轭单极点；）共轭单极点；3）重极点）重极点 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-29页 （1 1）F(z)F(z)均为单极点，且不为均为单极点，且不为0 0 01 1 ( ) . n n KKK

23、F z zzzzzz 0 1 ( ) n i i i K z F zK zz 根据给定的收敛域，将上式划分为根据给定的收敛域，将上式划分为F F1 1(z)(z)( z z ) )和和 F F2 2(z)(z)( z z 2 (2) z 1 (3) 1 z 2，因果序列因果序列 12 ( ) ( 1)(2) ( ) 33 kk f kk (2) z 1，反因果序列反因果序列 12 ( )( 1)(2) (1) 33 kk f kk (3)1 z 2，双边序列双边序列 12 ( )( 1)( )(2)(1) 33 kk f kkk 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析

24、 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-31页 例例2：已知象函数已知象函数 32 91 (4) 22 ( ) 1 ()(1)(2)(3) 2 z zzz F z zzzz ,1 z 1，后两，后两 项满足项满足 z , f(k)=2 K1kcos( k+ ) (k) 若若 z 1)， ()r z za 若若 z ,对应原序列为对应原序列为 1 (1).(2) ( ) (1)! k r k kkr ak r 1 11 1( ) 1 ! i r iz ai dF z Kza idzz 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信

25、与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-34页 当当r=3时，为时，为 可这样推导记忆：可这样推导记忆： Zak (k)= z za 两边对两边对a求导得求导得 Zkak-1 (k)= 2 () z za 再对再对a求导得求导得 Zk(k-1)ak-2 (k)= 3 2 () z za 故故 Z0.5k(k-1)ak-2 (k)= 3 () z za 2 1 (1)( ) 2 k k kak 当当r=2时，为时，为 kak-1 (k) 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-35页 例例3

26、：已知象函数已知象函数 32 3 ( ) (1) zz F z z ， z 1, 求其原函数。求其原函数。 解：解： 2 131112 332 ( ) (1)(1)(1)1 KKKF zzz zzzzz 3 111 ( ) (1)2 z F z Kz z 3 121 d( ) (1)3 d z F z Kz zz 2 3 1312 1 d( ) (1)1 2 d z F z Kz zz 32 23 ( ) (1)(1)1 zzz F z zzz f(k)=k(k-1)+3k+1 (k) 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学

27、通信与信息工程学院 第2-36页 6.4 z6.4 z域分析域分析 l 差分方程的变换解差分方程的变换解 l 系统的系统的z域框图域框图 l 利用利用z变换求卷积和变换求卷积和 l s域与域与z域的关系域的关系 l 离散系统的频率响应离散系统的频率响应 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-37页 与连续系统相对应，与连续系统相对应，Z变换是分析线性离散系统的变换是分析线性离散系统的 又一有力的数学工具。又一有力的数学工具。 Z变换将描述系统的时域差分方程变换为变换将描述系统的时域差分方程变换为Z域的域的 代数方程，便于运算和求解；同

28、时单边代数方程，便于运算和求解；同时单边Z变换将系统变换将系统 的初始状态自然地包含于象函数方程中，既可分别的初始状态自然地包含于象函数方程中，既可分别 求得系统的零输入响应、零状态响应，也可一举求得求得系统的零输入响应、零状态响应，也可一举求得 系统的全响应。系统的全响应。 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-38页 一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解 00 ()() nm n imj ij ay kibf kj 设设f(k)在在k=0时接入，系统初始状态为时接入，系统初始状态为y(-1),

29、y(-2),y(-n)。 取单边取单边z变换得变换得 1 000 ( )()( ) nim ikj n imj ikj az Y zy ki zbz F z 1 0000 ( )()()( ) nnim ikj n in imj iikj azY zay ki zbzF z 1 0000 ( )()() ( ) nnim ikj n in imj iikj azY zay ki zbzF z 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-39页 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) zizs

30、M zB z Y zF zYzYz A zA z ( )( ) ( ) ( )( ) zs YzB z H z F zA z 系统函数系统函数 h(k)H(z) 例例1：若某系统的差分方程为若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2) 已知已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统的。求系统的yzi(k)、 yzs(k)、y(k)。 解解: 方程取单边方程取单边z变换变换 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-40页 Y(z)-z-

31、1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 1222 121222 ( ) (12) ( 1)2 ( 2)1242 ( ) 1212221 Y z zyyzzzzz F z zzzzzzzzz ( )2(2)( 1) ( ) kk zi ykk 1 13 ( )2( 1) ( ) 22 kk zs ykk 2 42 ( ) (2)(1)21 zi zzzz Yz zzzz 213 ( ) 22121 zs zzz Yz zzz 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与

32、信息工程学院 第2-41页 例例2： 某系统，已知当输入某系统，已知当输入f(k)=( 1/2)k (k)时，其零时，其零 状态响应状态响应 3 1191 ( ) ( )4()() ( ) 2 2322 kkk zs ykk 求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。和描述系统的差分方程。 解解: 2 2 ( )232 ( ) 1111 ( ) 6623 zs Yzzzzz H z F z zzzz h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k (k) 11 ( )(1)(2)( )2 (1) 66 y ky ky kf kf k 再求再求 g(k)? 6.4 z6.

33、4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-42页 二、系统的二、系统的z z域框图域框图 f (k) D f (k -1) F(z) z 1 )( 1 zF z 另外两个基本单元：数乘器和加法器，另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和域和z域框图域框图 相同。相同。 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-43页 例例3： 某系统的某系统的k域框图如图，已知输入域框图如图，已知输入f(k)= (k)。 (1) 求系统的单位序列

34、响应求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应和零状态响应yzs(k)。 (2) 若若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应，求零输入响应yzi(k)。 DD f (k)y(k) 1 3 3 2 解解:(1)画画z域框图域框图 z-1z-1 F(z)Yzs(z) 设中间变量设中间变量X(z) X(z)z-1X(z) z-2X(z) X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)12 1 ( )( ) 132 X zF z zz Yzs(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z) 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学

35、通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-44页 1 12 13 ( )( ) 132 zs z YzF z zz 12 122 1332 ( ) 1323212 zzzzz H z zzzzzz h(k) = 2 (2)k (k) 当当f(k)= (k)时，时，F(z)= z/(z-1) 22 222 3(3)232 ( ) 321(1) (2)(1)12 zs zzzzzzzz Yz zzzzzzzz yzs(k) = 2k + 32 (2)k (k) (2)由由H(z)可知，差分方程的特征根为可知，差分方程的特征根为 1=1， 2=2 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号

36、与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-45页 yzi(k) = Cx1 + Cx2 (2)k 由由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有，有 Cx1 + Cx2 (2)-1= 0 Cx1 + Cx2 (2)-2= 0.5 Cx1 =1, Cx2 = - 2 yzi(k) = 1 2 (2)k 三、利用三、利用z z变换求卷积和变换求卷积和 例：例：求求2k (k)*2-k (k) 解：解： 2( ),| 0.5 0.5 k z kz z 1 1 2 2(),| 2 0.52 k z kz zz 原式象函数为原式象函数为 44 2 33 (

37、0.5)(2)0.52 zz z zzzz 44 (0.5)( )(2)(1) 33 kk kk (k-2)* ak (k) 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-46页 四、四、s s域与域与z z域的关系域的关系 1 lnsz T 式中式中T为取样周期为取样周期 从从S S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射: : sT ze sj ()jTTj Tj zeeee , T eT 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工

38、程学院 第2-47页 s平面的左半平面平面的左半平面( z平面的单位圆内平面的单位圆内( z = 0)-z平面的单位圆外平面的单位圆外( z = 1) s平面的平面的j 轴轴( =0)-z平面中的单位圆上平面中的单位圆上( z = =1) s平面上实轴平面上实轴( =0)-z平面的正实轴平面的正实轴( =0) s平面上的原点平面上的原点( =0， =0)-z平面上平面上z=1的点的点( =1， =0） 由上式可看出：由上式可看出： 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-48页 1 0) 1 ( j e

39、z js 1 0)2( z js 10)3( z 1 0)4( Rz 常常数数 1 0)5( rz 常常数数 1 0, 0)6( z 1 R r Rez Imzj 1 0)7( 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-49页 五、离散系统的频率响应五、离散系统的频率响应 若连续系统的若连续系统的H(s)收敛域收敛域含虚轴含虚轴，则连续系统频率响应：，则连续系统频率响应： j (j)( ) s HH s j e ( ) T z H z 存在。存在。 )( j eH 由于由于z = esT ， s= +j

40、，当，当 =0时，时， 1, zez Tj 若离散系统若离散系统H(z)H(z)收敛域包含收敛域包含单位园单位园 ，则，则)1( z 令令 T = ，称为数字角频率，称为数字角频率， j ez 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-50页 jjj ( ) (e )(e ) eHH 幅频响应幅频响应,偶函数；偶函数； 只有只有H(z)收敛收敛 域含单位园才域含单位园才 存在频率响应存在频率响应 相频响应相频响应,奇函数奇函数 k k zkhzH)()( 定义定义离散系统的频率响应函数为离散系统的频率响应

41、函数为 )( j eH k kj ez j ekhzHeH j )()()( 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-51页 设设LTI离散系统的单位序列响应为离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为系统函数为 H(z)，其收敛域含单位园，则系统的，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应为：零状态响应为： 当当 时时 ( )( )* ( )( ) () zs i ykf kh kh i f ki ( ) j k f ke jj e( )(e ) ki i h i j () ( )( )e k i zs i ykh i jj e(e ) k H 6.4 z6.4 z域分析域分析 信号与系统分析信号与系统分析 西安邮电大学通信与信息工程学院西安邮电大学通信与信息工程学院 第2-52页 jj ( )e(e ) k zs ykH j( )j (e ) e k H ( ) j k f ke 若输入若输入 ( )cos()f kAk 0.50.5 j kjj kj AeeAee 则其正弦稳态响应为：则其正弦稳态响应为： ( )0.5()0.5() jj kjjj kj ss y