信号相关分析与主元分析

1、现代检测理论与技术 Rtitp)()( 2 在一个周期内，在一个周期内，R消耗的能量消耗的能量 2 2 2 2 2 0 0 0 0 d)(d)( T T T T ttiRttpE 2 2 2 0 0 d)( 1 T T ttv R E或或 平均功率可表示为平均功率可表示为 2 2 2 0 0 0 d)( 1 T T ttiR T P 2 2 2 0 0 0 d)( 11 T T ttv RT P或或 设设i(t)为流过电阻为流过电阻R的电流，的电流，v(t)为为R 上的电压上的电压 R )(ti )(tv 瞬时功率为瞬时功率为 一能量信号和功率信号 讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：讨论上

2、述两个式子，只可能出现两种情况： ( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 满足满足式的称为能量信号，满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。式称功率信号。 E00 P P0 E 定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。 令令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号，则在整个时间域内，实信号f(t)的的 一般规律 1.1.一般周期信号为功率信号。一般周期信号为功率信号。 2.2.非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。 3.3.还有一些非周期信号，也是非能量信号。还有一些非周期信号，也是非

3、能量信号。 如如u(t)是功率信号；是功率信号； 而而tu(t)为非功率非能量信号为非功率非能量信号; ; (t)是无定义的非功率非能量信号。是无定义的非功率非能量信号。 数学本质数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的 具体表现。具体表现。 2 1 )(),()(),( )(),( 2211 21 12 tftftftf tftf 2 2 2 1 21 )()( )(),( tftf tftf 1相关系数相关系数 由两个信号的内积所决定：由两个信号的内积所决定： 二相关系数与相关函数 由柯西施瓦尔茨不等式，得由柯西施瓦尔茨不等式，得 2 1 d

4、dd 2 2 2 121 ttfttfttftf 所以所以 1 12 等于零此时,1,完全一样与若 2 1221 tftf 最大此时,0,为正交函数与若 2 1221 tftf 相关系数 从信号能量误差的角度描述了信号 与 的相关特性，利用矢量空间的内积运算给出了定量说明。 12 tf1 tf2 1 xy 1 xy 10 xy 0 xy 2.信号的自相关函数信号的自相关函数 为了定量地确定信号为了定量地确定信号x(t) 与时移副本与时移副本x(t- ) 的差别或的差别或 相似程度，通常用自相关函数相似程度，通常用自相关函数。 ttftfRd)()()( ttftfd)()( 能量信号：能量信号

5、： ttftfRd)()()( * ttftfd)()( * 2 2 * d)()( 1 lim)( T T T ttftf T R 功率信号：功率信号： 2 2 d)()( 1 lim)( T T T ttftf T R 自相关函数的特点：自相关函数的特点： 1. 自相关函数是偶函数自相关函数是偶函数)()( RR 2. 当当 =0 时，时，自相关函数等于信号的能量自相关函数等于信号的能量（或功率）（或功率） )()()0( 2 Px xx EdttxR 3. Rx(0)为自相关函数的最大值为自相关函数的最大值 自相关函数与能谱的关系自相关函数与能谱的关系 deXR j x 2 )( 2 1

6、 )( deW j x )( 2 1 可见，自相关函数等于信号能谱的傅立叶变换。由可见，自相关函数等于信号能谱的傅立叶变换。由 此易得：此易得： deRW j xx )()( 连续信号的帕斯瓦尔公式连续信号的帕斯瓦尔公式信号时信号时 域与频域的总能量域与频域的总能量(功率功率)相等相等 自相关函数与功率谱的关系自相关函数与功率谱的关系 维纳维纳辛钦（辛钦（Wiener-Khintchine）关系：）关系： S( )为信号的功率谱密度，为信号的功率谱密度， 0 2 )( lim)( 0 0T X s T T 则：则： deRS j )()( deSR j )( 2 1 )( 离散信号离散信号（能

7、量信号）（能量信号）的自相关函数的自相关函数 离散信号的自相关函数：离散信号的自相关函数： j njxjxnR)()()( 性质：性质： 1、离散自相关函数是偶函数、离散自相关函数是偶函数)()(nRnR 2、在、在n=0时，自相关函数就是离散信号的能量时，自相关函数就是离散信号的能量 x j x EjxR )()0( 2 3互相关函数 f1(t)与与f2(t)是能量有限信号是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数 f1(t)与与f2(t)是功率有限信号是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数 f1(t)与与f2(t)为

8、复函数为复函数 分如下几种情况讨论：分如下几种情况讨论： (1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 相关函数定义相关函数定义: ttftfRd)()()( 2112 ttftfd)()( 21 ttftfRd)()()( 2121 ttftfd)()( 21 可以证明：可以证明： )()( 2112 RR 互相关函数：互相关函数： ttftfRd)()()( * 2112 ttftfd)()( * 21 ttftfRd)()()( 2 * 121 ttftfd)()( 2 * 1 同时具有性质：同时具有性质： )()( * 2112 RR (1)f

9、1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 互相关函数：互相关函数： 2 2 2112 d)()( 1 lim)( T T T ttftf T R 2 2 1221 d)()( 1 lim)( T T T ttftf T R (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 互相关函数：互相关函数： 2 2 * 2112 d)()( 1 lim)( T T T ttftf T R 2 2 1 * 221 d)()( 1 lim)( T T T ttftf T R (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与

10、f2(t)为复函数为复函数: 互相关函数性质：互相关函数性质： 1、互相关函数不是偶函数。、互相关函数不是偶函数。 )()( xyxy RR)()( yxyx RR 2、 和和 不是同一个函数，即：不是同一个函数，即：)( xy R)( yx R )()( yxxy RR 但存在下列关系：但存在下列关系： )()( yxxy RR 两者的关系两者的关系 )(*)()( 2112 tftftR 即即 )( 1 tf)( 2 tf与与 为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。 )( 2 tf反褶与反褶与 )( 1 tf之卷积即得之卷积即得 )( 1 tf)( 2 t

11、f与与 的相关函数的相关函数 )( 12 tR 三相关与卷积的比较 )( 1 tf)( 2 tf 与与 卷积表达式：卷积表达式： d)()()(*)( 2121 tfftftf ttftftRd)()()( 2112 )( 1 tf)( 2 tf 与与 相关函数表达式：相关函数表达式： 说明 最大。0相关性最强，,时0自相关在Rt 为实偶函数，与若 21 tftf 相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步 骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。 则卷积与相关完全相同。则卷积与相关完全相同。

12、 四相关定理 若已知若已知 )()( 11 Ftf F )()( 22 Ftf F 则则 )()()( * 2112 FFR F 若若 ),()()( 21 tftftf )()( Ftf F 则自相关函数为则自相关函数为 2 )()( FR F 由此可见，两信号的互相关函数和互能由此可见，两信号的互相关函数和互能（功率）（功率）谱是一对谱是一对 傅立叶变换。傅立叶变换。 说明 1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于 其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之 积。积。 2.自相关函

13、数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。 定理具有相同的结果。 此时相关定理与卷积,此时,若是实偶函数.3 2 * 2 FF 五.相关分析的应用 检测周期信号 故障分析 数据测量 目标源识别 图图2.3.1 2.3.1 是用自相关函数来检测混淆于随机信号中的周期信号是用自相关函数来检测混淆于随机信号中的周期信号 图图2.3.1 tx tx x R 图图2.3.22.3.2（a a）为由置于坐椅上的加速传感器而测得的加速度时间曲线）为由置于坐椅上的加速传感器而测得的加速度时间曲线 图图2.3.22.3.2（b b）为）为 的自相关函数的自相关函数 图图

14、2.3.2.2.3.2.（c c）所示说明信号）所示说明信号 中的周期成分已消除，其随机成分主要来自地面中的周期成分已消除，其随机成分主要来自地面 图图2.3.2 故障分析故障分析 ，具有周期成分，系统存在故障，具有周期成分，系统存在故障 数据测量 1.用互相关函数测量两个信号之间的滞后时间用互相关函数测量两个信号之间的滞后时间 （1 1）要确定深埋地下的输油管裂缝）要确定深埋地下的输油管裂缝 位置，可以在输油管的可疑区段任意开位置，可以在输油管的可疑区段任意开 掘掘A A，B B两处两处( (见图见图2.3.3(a)2.3.3(a)，若在，若在A A处未处未 找到渗漏点，则在管道上找到渗漏点

15、，则在管道上A A点固结一只传点固结一只传 感器，若在感器，若在B B处也未找到渗漏点，则再在处也未找到渗漏点，则再在 B B点固结一只传感器。假定渗漏处为点固结一只传感器。假定渗漏处为k k， 则则k k处可视为声源，由油液渗漏处不断发处可视为声源，由油液渗漏处不断发 出声波。出声波。A A，B B处传感器接收到的声波信处传感器接收到的声波信 号的区别，仅在于滞后时间的不同。号的区别，仅在于滞后时间的不同。 图图2.3.32.3.3探测输油管裂缝位置探测输油管裂缝位置 将两信号进行放大后，由信号处理机可得它们的互相关函数图如图将两信号进行放大后，由信号处理机可得它们的互相关函数图如图5-4(

16、b)5-4(b) 所示，从图上可见，所示，从图上可见，m m为为y1(t)y1(t)与与y2(t)y2(t)两信号的时差，假定渗漏点发出两信号的时差，假定渗漏点发出 的声波传播速度为的声波传播速度为v(v(常数常数),),两传感器中点两传感器中点o o与渗漏处与渗漏处K K得距离为得距离为s s，则有，则有 (1) (1) (2) (2) (3) (3) 将将(1)(1)，(2)(2)代入代入(3)(3)，得，得 从而得到确定从而得到确定k k点位置点位置 的计算公式为的计算公式为 (4)(4) 若若m m为正值时，由为正值时，由(4)(4)式得到的式得到的s s也为正值，说明渗漏处也为正值，

17、说明渗漏处k k离离B B较远而离较远而离A A较较 近，距离近，距离s s应从应从o o点向左测量起。点向左测量起。 s ll tl tl 2 21 22 11 ,)(2 12m vvs tt m vs 2 1 (2)(2)用以评价或测定控制系统，用以评价或测定控制系统，( (操纵机构、转向系统、闸门操纵机构、转向系统、闸门 ，开关等，开关等) )的灵敏度。图的灵敏度。图2.3.42.3.4所示为某一控制系统所示为某一控制系统S S，x(t)x(t)为系为系 统输入信号，统输入信号，y(t)y(t)为系统的输出信号。为系统的输出信号。为滞后时间，用为滞后时间，用来评来评 价系统的灵敏度，则可

18、正确地反映系统控制性能的优劣程度。价系统的灵敏度，则可正确地反映系统控制性能的优劣程度。 图图2.3.42.3.4 (3)(3)用于地震探矿，确定矿层深度。图用于地震探矿，确定矿层深度。图2.3.5(a)2.3.5(a)为地层剖面，地震探矿为地层剖面，地震探矿 时由地面施加震源信号时由地面施加震源信号x(t)x(t)经矿层经矿层1 1，2 2，3 3反射后，又被设置在地面的传反射后，又被设置在地面的传 感器接收。由感器接收。由x(t)x(t)与与y(t)y(t)的互相关函数图中之三个峰值的互相关函数图中之三个峰值( (图图2.3.5(b)2.3.5(b)的的 滞后时间滞后时间1,1,2 ,2

19、,3 3即可推知矿层埋藏的深度。即可推知矿层埋藏的深度。 图图2.3.52.3.5 2.2.相关测速相关测速 这里讨论的速度，是指运动物体相对于参考坐标的相对速度。为了测这里讨论的速度，是指运动物体相对于参考坐标的相对速度。为了测 定速度，必须设法利用运动物体去产生两个在时间上错开的相似波形测定定速度，必须设法利用运动物体去产生两个在时间上错开的相似波形测定 这个错开的时间就可以计算出速度来。这个错开的时间就可以计算出速度来。 图图2.3.62.3.6 (1)(1)轧钢机钢带速度的测定轧钢机钢带速度的测定 图图2.3.6(a)2.3.6(a)是测定轧钢机是测定轧钢机 钢带速度的示意图，在钢带运

20、钢带速度的示意图，在钢带运 动方向的同一直线上，相距动方向的同一直线上，相距l l的的 两个点上安装两个光源和两个两个点上安装两个光源和两个 光电管。因而产生两个信号光电管。因而产生两个信号 x1(t)x1(t)和和x2(t).x2(t).图图2.3.6(b)2.3.6(b)是测是测 得的实际波形图。得的实际波形图。 (2)(2)船舶航速的测定船舶航速的测定 图图2.3.7(a)2.3.7(a)是测定船舶是测定船舶 航速的示意图，在船舶测速航速的示意图，在船舶测速 中，两波形是用海底回声产中，两波形是用海底回声产 生的，如图所示。在船的前生的，如图所示。在船的前 进方向的两点，安装两组超进方向

21、的两点，安装两组超 声发射机和接收传感器，以声发射机和接收传感器，以 接收传感器纪录到的波形如接收传感器纪录到的波形如 图图2.3.7(b).2.3.7(b). 图图2.3.72.3.7 目标源识别 (1)(1)车辆振动传递途径的测定车辆振动传递途径的测定 图图2.3.82.3.8所示测试框图用以所示测试框图用以 检查汽车司机座的振动是由发动检查汽车司机座的振动是由发动 机引起的，还是有车轮引起的。机引起的，还是有车轮引起的。 测试方法：在发动机、司机测试方法：在发动机、司机 座、后轮轴上布置加速度计，经座、后轮轴上布置加速度计，经 分析，发现发动机与司机座之间分析，发现发动机与司机座之间 的

22、相关性较差，而司机座与后轮的相关性较差，而司机座与后轮 之间的互相关函数出现明显的相之间的互相关函数出现明显的相 关。因此，可以认为，司机座的关。因此，可以认为，司机座的 振动主要是由后轮传递的。振动主要是由后轮传递的。 图图2.3.82.3.8检查汽车司机座的振动检查汽车司机座的振动 (2)(2)利用互相关函数可以分析、寻找几台运行的机器中对地面振动影响利用互相关函数可以分析、寻找几台运行的机器中对地面振动影响 最大的机器。图最大的机器。图2.3.9(b),(c)2.3.9(b),(c)分别表示分别表示x1(t),x2(t)x1(t),x2(t)和和y(t)y(t)的互相关函的互相关函 数图

23、。比较两图，可见机器数图。比较两图，可见机器1 1对地面测点振动所提供的比重为：对地面测点振动所提供的比重为： 机器机器2 2对地面测点振动所提供的比重为：对地面测点振动所提供的比重为： %63 7.02.1 2.1 (max)(max) (max) | | 21 1 RR R yy y xx x %37 7.02.1 7.0 (max)(max) (max) | | 21 2 RR R yy y xx x 图图2.3.92.3.9 (3)(3)利用互相关函数研究音乐厅的效果。图利用互相关函数研究音乐厅的效果。图2.3.102.3.10所示。测试设所示。测试设 备对接收到信号的互相关分析表明：

24、备对接收到信号的互相关分析表明：Rxy(Rxy() )图形中，第一峰值是原图形中，第一峰值是原 始信号始信号x(t)x(t)和直接传送信号和直接传送信号y1(t)y1(t)的相关结果；第二个峰值是原始信的相关结果；第二个峰值是原始信 号号x(t)x(t)和由墙壁反射的信号和由墙壁反射的信号y2(t)y2(t)的相关结果。由两个峰值的振幅比的相关结果。由两个峰值的振幅比 ，可以确定墙壁的吸收系数。，可以确定墙壁的吸收系数。 图图2.3.102.3.10 设 X = ( X1 , X2 , , Xp ) 为 p 维随机向量, 均值向量E(X) = 0 , 协方差 阵 ppppppp pp pp X

25、aXaXaXaZ XaXaXaXaZ XaXaXaXaZ 2211 222211222 122111111 设 X = ( X1 , X2 , , Xp ) 为 p 维随机向量. 称 Zi = ai X为X 的第i主成分( i =1 , p ), 如果:(1) ai ai = 1 ( i =1 , p ); (2)当i 1时, ai aj = 0 ( j =1 , i -1 ); (3) )(max)( )1, 1(0, 1 XVarZVar ij i j 设 p 维随机向量X 的均值向量E(X) = 0 , 协方差阵 设 X = ( X1 , X2 , , Xp ) 是 p 维随机向量, 且

26、的特征值为 1 2 p , a1 , a2 , , ap 为相应的单位正交特征向量, 则 的第i主成分为 Zi = ai X ( i =1 , p ). 记 = (i j ) , = diag(1, 2 , , p ) 其中1 2 p 为的特征值， 1 , 2 , , p 是相应的单位正交特征向量, 记正交矩阵 A = (1 , 2 , , p ). 主成分Z = ( Z1 , Z2 , , Zp ) , 其中Zi = ai( i =1 , p ) . 主成分 Zk 与原始变量Xi 的相关系数为 并把主成分 Zk与原始变量Xi的相关系数称为(或). ), 1,(/),(pikaXZ iikik

27、ik ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 1 22212 11111 1 pppkpp pk pk pk XZXZXZX XZXZXZX XZXZXZX ZZZ ), 1(1),( 1 2 1 2 pi a XZ p k i i kik p k ik ),(),(pkXZ k p i iki i 1 1 2 主成分Zk 的贡献率; 主成分Z1 , , Zm的累计贡献率. p i ik 1 / p i i m k k 11 / 主成分 Z1 , , Zm 对原始变量Xi 的 定义为Xi 与Z1 , , Zm 的相关系数的平方 m k i ikik m i a 1 2)(

28、/ i i kik ik a XZ 2 2 ),( 在实际问题中,不同的问题往往有不同的 , 而通过来求主成分总是优先考虑方差大 的变量, 有时会造成很不合理的结果, 为了消除 由于量纲的不同可能带来的一些不合理的影响, 常采用将的方法. 若记 E(Xi) = i , Var(Xi) = i2 ，即令 这时标准化后的随机向量 X= (X1, X2 , , Xp ) 的协方差阵 就是原随机向量X的相关阵 . ), 1( )( )( pi X XVar XEX X i ii i ii i 标准化后的随机向量 X= (X1, X2 , , Xp ) 的协方差阵 就是原随机向量X的相关阵 .从相关 阵

29、出发求主成分, 记主成分向量为 Z= (Z1, Z2 , , Zp ) 则Z有与总体主成分相应的性质. X 的相关阵的特征值为 1 2 p , 1 , 2 , , p 为相应的单位正交特征向量, 则X 的第i主 成分为 Zi ai Xi ( i =1 , p ). 1 2 p X= (X1, X2 , , Xp ) Z= (Z1, Z2 , , Zp ) Zi ai Xi 主成分Zk与Xi的相关系数为 其中ak = (a1k , a2k , , apk ) 是 对应于k的 . ),2, 1,(),(pikaXZ kikik ), 1(1)(),( 1 2 1 2 piaXZ p k kik p

30、 k ik ), 1()(),( 1 2 1 2 pkaXZ k p i kik p i ik 主成分Zk 的贡献率; 主成分Z1 , , Zm的累计贡 献率. p i ik 1 / m k p i ik 11 / 主成分 Z1 , , Zm 对原始变 量Xi 的定义为 Xi 与Z1 , , Zm 的相关系数的平方 m k kii m i a 1 2)( )(m i 22 ),( kiiik aXZ 变量标准化后的因子负荷量变量标准化后的因子负荷量 p k p i kipk p i ki pppkpkpp ppkk ppkk p k kipk p aaaX aaaX aaaX ZZZ 11 2

31、 1 1 2 11 222112 111111 1 2 1 1 1 1 设总体X = (X1 , X2 , X3 )N3, 的 均值 向量 = (0, 0, 0 )，协方差阵为 (1) 求总体X的三个主成分； (2) 求X的等概率密度椭球的主轴方向； (3) 求每个主成分的贡献率; (4)求前两个主成分对变量X1 , X2 , X3的贡献率. 2200 20220 0202 . . . 六、简单算例六、简单算例 求总体X的三个主成分； 的特征值为 .)(.)( .)( )(.)( . . . . . )( . . . 202220222 20222 2202022 220 020 20 220

32、 202 2 2200 20220 0202 0 22 222 I .,.202222022 321 求的第一大特征值对应的单位特征向量 2121212221 1 22 022020 02020220 020202 0 202200 2020220 020202 0 1213111 2 31 2 21 2 11 11213121 3121 312111 2111 31 21 11 11 /,/ , . . . . . . ,)( 即即，所所以以 又又 即即 aaa aaa aaaa aa aaa aa a a a I 求的第二大特征值对应的单位特征向量 21021021 1 0 020 020

33、20 020 0 0200 20020 0200 0 2223212 2 32 2 22 2 12 123222 22 3212 22 32 22 12 22 /,/ , . . . . . . ,)( 即即，所所以以 又又 即即 aaa aaa aaa a aa a a a a I 求的第三大特征值对应的单位特征向量 2121212221 1 22 022020 02020220 020202 0 202200 2020220 020202 0 3233313 2 33 2 23 2 13 13233323 3323 332313 2313 33 23 13 33 /,/ , . . . . . . ,)( 即即，所所以以 又又 即即 aaa a