复数与多项式---讲义

1、复数与多项式 讲义一、基础知识1 .复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产 生形如a+bi (a,b c r)的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用c来表示。2 .复数的几种形式。对任意复数z=a+bi (a,bcr), a称实部记作re(z),b称虚部记作im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将 (a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么 z与坐标平面唯一一个 点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来 表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y

2、轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数 z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式， 称为向量形式；另外设z对应复平面内的点 z,见图15-1，连接。乙设/xoz=。，|oz|=r，则a=rcos 0 ,b=rsin 0，所以z=r(cos 0 +isin 0),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cos 0 +isin 0),则。称为z的辐角。若 0 0 2兀，则。称为z的辐角主值，记作。=arg(z). r称为z的模，也记作|z| ,由勾股定理知 忆尸j a2 b2 . 如果用ei0表示cos 0 +isin 0 ,则z=re i

3、0,称为复数的指数形式。i.复数的四种表示形式代数形式：z a bi (a,b r)几何形式：复平面上的点z (a,b)或由原点出发的向量 oz .三角形式：z r(cos i sin ), r 0,0 r.指数形式：z rei复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为 现实.di) (ac) (b d)i;ii .复数的运算法则 力口、减法：(a bi) (cad)i;乘法：(a bi )(c di) (ac bd) (bcn (cos 1除法：sc bii sin 1)ac bdr2(cos 2bc adi sin2)rr2cos( 12) i

4、sin( 12)；r1 (cos1 isin 1)r2(cos 2i sin 2)乘方(棣莫弗定理):r(cos开方：复数r(cos单位根：若wn=1,则称表示为1, z1 , z12若 k=nq+r,q 61z1mz2nd2i(cdi0).r1 r，cos( 122) i sin(2).ni sin )r n(cos ni sin n )(n n)；i sin )的n次方根是n：7(cos空 nw为1的一个n次单位根，简称单位根,zin 1.单位根的基本性质有(这里记r n-1 ,有znq+r =zr ;( 2i sin-)(kn2z1 = cos n0,1, ,n 1).2isin，则全部

5、单位根可 nzkkz1 , k=1,2,，n-1任意整数m):(1)对任意整数k,znm10,当 n |m,特另1j 1+z1+z2+ n,当 n | m,+乙-1=0; (3) xn-1+xn-2+ +x+1=(x-z 1)(x-z 2)(x-z n-i)=(x-z i)(x- z：)(x- z1n 1).复数z是实数的充要条件是 z= z ；z是纯虚数的充要条件是：z+z =0 (且zw0).代数基本定理：在复数范围内，一实系数方程虚根成对定理：实系数z=a-bi也是一个根。n次方程至少有一个根。n次方程的虚根成对出现，即若 z=a+bi(b才0)是方程的一个根，则若a,b,c cr,aw

6、o,则关于x的方程ax2+bx+c=0,当a =b2-4acif(i)i+if(-i)i+if(i)i+if(-i)i=4 所以 f(i),f(-i),-f(i),-f(-i) 所以 f(i)=f(-i)=-f(i)=-f(-i),其中等号成立。四个向量方向相同，且模相等。,解得 a=b=0.2.复数相等。例3设入c r,若二次方程（1-i）x2+（入+i）x+1+入i=0有两个虚根，求入满足的充要条件。解若方程有实根，则方程组2x2x10，j ，、r4-r有实根，由方程组得（入+1）x+入+1=0.若入=-1 ,则方程0x2-x+1=0中a (a-b)(c-d)+(b-c)(a-d).则(a

7、-b)(c-d)+(b-c)(a-d)=(a-c)(b-d) ，因为 |a-b| ?|c-d|+|b-c|所以 |a-b| ?|c-d|+|b-c| ? |a-d| |a-c|?|b-d|,一 成立当且仅当arg （国a） arg （目一c）,即d a c dd a b c arg（-a） arg（dc）=u 5 即 a6.复数与轨迹。例8 a abc的顶点a表示的复数为3i ,b, c, d共圆时成立。不等式得证。底边bc在实轴上，t动，且|bc|=2 ,求a abc的外心轨迹。解设外心m对应的复数为z=x+yi（x,y线的交点，而 ab的垂直平分线方程为e r), b： |z-b|=|z-

8、3i|对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|c点对应的复数分别是 b,b+2.因为外心m是三边垂直平分,bc的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2,所以点mb 解得 x26（ y ）.3所以a abc的外心轨迹是轨物线。7.复数与三角。例 9 已知 cos a +cos 3 +cos 丫 =sin a +sin 3 +sin 丫 =0,求证： cos2 a +cos2 3 +cos2 丫 =0。证明 令 zi=cos a +isin a ,z 2=cos 3 +isin 3 ,z 3=cos 丫 +isin 丫 ,贝uzl+z2+z3=0。所以 z1z2z3ziz2z3

9、0.又因为 |z i|=1,i=1,2,3.所以 zi ? zi =1 ,即 zizi由 z1+z2+z3=0 得 x122x22zi z22z2z3 2z3z10. a又 z1 z2z3z2z3z1z1z2z3 一zi1 cz1z2z3q1 z2 z3) 0.z3所以2z122z2z30.所以所以cos2 a +cos2 3 +cos2 丫 +i(sin2 a cos2 a +cos2 3 +cos2 丫 =0。+sin23 +sin2 丫 )=0.例 10 求和：s=cos20+2cos40+ - +18cos18 x 200.解令 w=cos200+isin20 0,贝u w8=1,令

10、p=sin20 0+2sin40 0+- -+18sin18x 200，贝u s+ip=w+2w2+-+18w8.由x w得 w(s+ip)=w2+2w3+- - +17w/8+18w/9,由-得(1-w)(s+ip尸w+w18、21819 w(1 w )19+ +w-18w = 1 18w ,1 w所以 s+ip= 18w1 w1.39i,所以s一2228.复数与多项式。例11 已知f(z)=c0z+ c1zn1+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c0w0).求证：一定存在一个复数证明 记 c0zn+c1z根，设为 z1,z 2,zn-1+z0,|z 0| |c 0| + |c n|.+c

11、n-1z=g(z),令 =arg(c n)-arg(z 0),则方程 g(z)-c 0eie=0 为 n 次方程，其必有 n 个n,从而 g(z)-c 0ei0=(z-z i)(z-z 2)?？(z-z n)c0,令 z=0 彳#-c0ei0=(-1) nz1z2-znc0,取模得|z 1z2 zn| = 1。所以 z1,z 2, , zn 中必有一个 zi 使彳# |z i | w 1,从而 f(z i)=g(z i) + cn=c0ei 0=cn,所以 |f(z i)| = |c 0eii+ cn| = |c o| + |c n |.9.单位根的应用。例12 证明：臼。上任意一点p到正多边

12、形 aa24各个顶点的距离的平方和为定值。证明取此圆为单位圆，。为原点，射线oa为实轴正半轴,2i建立复平面，顶点a对应复数设为e n ,则顶点a2a3an对应复数分别为.设点p对应复数z,则|z|=1,且n=2n-kn|zk 1|2kn(z1k)(zk)(2k 1k-zkz)=2n- zk 12nn kzk 12n.命题得证。10.复数与几何。例13如图15-2所示, 三角形。求证：必存在另一在四边形一点q,abcdj存在一点p,使得a par apcco是以p为直角顶点的等腰直角使得a qbc a qdatk都是以q为直角顶点的等腰直角三角形。证明以p为原点建立复平面，并用 a, b, c

13、, d, p, q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何c ib意义知 d=ic,b=ia ;取q ,则 c-q=i(b-q),则a bcq为等腰直角二角形；又由 c-q=i(b-q)得 1 ida 一q i( q),即a-q=i(d-q),所以a adqfe为等腰直角三角形且以q为直角顶点。综上命题得证。ii例14平面上给定aaaa及点po,定义a=a-3,s4,构造点列po,p i,p2,，使得pk+i为绕中心ak+i顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,，若pi986=p0.证明：a aia2a3为等边三角形。证明令u=e3,由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取

14、给定平面为复平面，则pi=(1+u)ai-up0,p2=(1+u)a 2-up 1 ,p3=(1+u)a 3-up 2, x u2+x (-u)得 p3=(1+u)(a 3-ua2+u2ai)+p 0=w+p),w 为与 p0 无关的常数。同理得p6=w+p=2w+m ，p i986=662w+r=p0,所以 w=0,从而 a3-ua2+u2ai=0.由 u2=u-1 得 as-ai= (a2-a1) u,这说明 aa1a2a3为正三角形。赛题精讲例1：设m、n为非零实数，i为虚单位，z c,则方程|z ni | |z mi | n与| z ni | | z mi | m 如图i1 81,在同

15、一复平面内的图形( fi、f2是焦点)是()(a)(b)(c)(d)图 i 1815例 2：右 z c,arg(z 4) ,arg(z 4) 一，则z的值是 63例3： x的二次方程x2 z1x z2 m0中，乙、z2、m均是复数，且 z2 4z2 16 20i .设这个方程的两个根为、，且满足| 27 .求|m|的最大值和最小值.例4：例 5：设复数 z1, z2满足 | z1 | | z1 z2 | 3,| z1z2 | 3/3，则20002000 .log 2 | (zi z2 )( ziz2 )| .例6:设复平面上单位圆内接正20边形的 20个顶点所对应的复数依次为zl ,z2,z2

16、0，则复数19951995z1,z2,z2995所对应的不同的点的个数是(a. 4b. 5c. 10d. 20针对性训练题1、在复平面上,(a) 0曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为(b) 1(c) 2(d) 32、已知关于x的实系数方程22x 2x 2 0和x 2mx 10的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m的取值范围是3、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，z1马的实部为零,argz1= 6 ,则z2=33.4.设(c)x1,x2x1x25、c；i2、3i2是实系数c5二次方程axbxcn(c)1 .设x是模为a. 5(b)23(d) 23.i

17、2. 3.i22xic 0的根，若xi是虚数，x2是实数，则x1 1995(一)x2 的值为b -9982 n cos1的复数,2.若复数z满足关系|zc 998-4m 1cn(其中(b)n 14，川表示不超过x的最大整数)的值为n n - n,2 sin )4ln n.2 cos4则函数b. 12|2f(x)1-2xc. 23的最小值为d.| z 4i |2 12,则z对应的复平面的点z的轨迹是(a.圆b.椭圆c.双曲线d.直线3.已知复数z满足关系式|z 2|第,则复数z的辐角主值的范围是（）一5 一a.叼b .1,2 55c 0廿2 d . 0 2 33334 .设复平面上单位圆内接正2

18、0边形的20个顶点所对应的复数依次为乙:2,z20,则复数请5:2995, ,z2095所对应的不同的点的个数是（）a. 4b. 5c. 10d. 205 .设 n=2001,则;（1 3c2 32c： 33c：浮七；000） .6 .若虚数z满足z38,那么z3z2 2z 2的值是.7 .若关于x的方程x2 2ax a2 4a 0至少有一个模为3的根，则实数a的值是.1. 3i 一8 .给正方体的8个顶点染上k个红点，8 k个蓝点（1 k 8）.凡两端为红色的棱记上数字 j,凡21 3i两端为蓝色的棱记上数字1 * 3i ,凡两端异色的棱记上数字1,这12个数字之积的所有可取值2为.2一 2

19、2、已知关于x的实系数万程x 2x 2 0和x 2mx 10的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是。2. m|-1m1 或 m=-3/2解：易知方程x2 2x 2 0的两根为1 i,x2 1 i.22当4m 4 0,即 1 m 1时，方程x 2mx 1 0有两个共轲的虚根 *3m，且*3冬的实部为 m 1,这时xi,x2,x3,x4在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆。当4m2 4 0,即m 1或m 0时，方程x2 2mx 1 0有两个不等的实根 x3,x4，则x1,x2对应的点在以x3,x4对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为222（xx3）（xx4）y 0,即

20、x y （x3x4）xx3x40 ,将 x3x42m, x3x41 及 x1，x2 对应点的坐标(1, 1)代入方程，即得m故m的取值范围是m|-1m1或m=-3/29.设复数 zi (2 a) (1 b)i, z2 (3 2a) (2 3b)i, z3 (3 a) (3 2b)i,其中 a,b r,当z1z2z3取得最小值时，3a 4b .解易求得 z1 z2z3 8 6i ,于是z1z2z3 z1z2z3 =10,z1z2 z3取得最小值，当且仅当3_2a 三且 8,解得a7,b5,所以3a4b 12.1 b 2 3b 3 2b 6342、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个

21、数为(a|) 0(b) 1(c) 2(d) 3z z z a bi1、设a、b均为正数，且存在复数z满足z 1,则ab的最大值等于11为半径的圆上，z1 z2的实部为零,81、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心,.3 3. i(b)223、.3.i(d) 22argz1= 6 ,则 z2=a 3i(a)223,3,i(c)222x4.设x1,x2是实系数一元二次方程 ax2 bx c 0的根，若x1是虚数，x2是实数，则/ x1 1995()x2的值为01 d 由已知 i、 d.2 则ax2b -998c 998d 1rei3r，得5或所彳尸或户，代入s中得s*1与 x2共轲，

22、设 x1rei ,x2 re i( ),259851、已知、是方程ax2+bx+c=0( a、b、c为实数)的两根，且 是虚数，是实数，则k 1的值是(a) 1(b) 2(1) 0(d) 曲1、已知a为自然数，存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式， 它有两个小于1 的不同正根.那么，a的最小值是.2、5;1、c；_ 5_ 9cn cnn 14m 1m cn(其中 4 ，区表示不超过x的最大整数)的值为2n cos (a)41 n 1 n n-22 cos(c) 24(b)on . n .2 sin 41 n 1 n . n-2. 2 sin -247、已知复数z1,z2满足iz1i = 2, iz2i = 3,若它们所对应向量的夹