均值不等式常考题型

1、.均值不等式均值不等式及其应用2221 .(1)若 a,b r,则 a2 b2 2ab (2)若 a,b r ,则 ab a-(当且仅当 a b 时取“二”)22 . (1)若 a,br*,则 声 (2) 若 a,b r*,则 a b2 jab (当且仅当 a b 时取“=”)22(3)若a,b r*,则abab(当且仅当a b时取“=”)21一1一3.若x0,则x 2（当且仅当x 1时取=）;若x 0,则x 2（当且仅当xxx若x 0,则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 （当且仅当a b时取“=） xxx1时取“=”)2 （当且仅当a b时取二”）若ab 0,则a b 2即a b 2或a

2、 b b a b a b a-2 （当且仅当a b时取“=”）.2.24.若 a,b r,则(_a_b)2 a_b_ (当且仅当 a b时取=”) 22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求最值例1 :求下列函数的值域，、一 c 11(1) y=3x2+双(2) y=x+ x解：(1) y=3x 2 + 21x2 2-j3x 2 2xi(2)当 x0

3、时，y=x + 1 a2y=v6，值域为m,+)x1 =2；当 x0 时，y=x+1 = （ x- 1 ） 2d3a 3b 2，3a= 6a_ba_ba_b当33时等号成立，由a b 2及33得a b 1即当a b 1时，33的最小值是6.11变式：若log4 x log 4 y 2 ,求一 的最小值.并求x,y的值x y一 1八 - 19,2：已知x 0, y0,且一一1,求xx y错解：q x 0, y 0 ,且1 9 1 , x x y错因：解法中两次连用均值不等式，在 x技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。y的最小值。y x y 2 i

4、 2xy 12 故 x y min 12 x y, xyy 2/xy等号成立条件是x y ,在1 _9 2 等号成立x y xy19 条件是一-即y 9x，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，歹咄 x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：qx 0,y 029 1， x y1 9y 9xx y xy 10 6 10 16x yx yy 9x1 9当且仅当 之 时，上式等号成立，又 一 一1,可得x 4,y xyx y变式：(1)若x,y r且2x y 1,求12的最小值x y(2)已知a,b,x,y r且a b 1,求x y的最小

5、值x y12时,x 丫 min16 。技巧七、已知x, y为正实数，且=1,求xv1 + y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a 2+b 2ab22y21x 十 2 +2技巧八：已知a, b为正实数，2b+ab+a=30,求函数1，一，y=;u的最小值.ab,再用单调因已知条分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的途径进行。一是通过消元，转化为一元函数问题二是直接用基本 不等式，对本题来说， 考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式法一：a=0 , b

6、+1302bab= b+ 1-2 b2+30b b=b+ 1由 a0得，0vbv15令 t= b+1,1vtv16, ab =2t 2+ 34t3116162（t+7）+ 34 /t + -p 162vtt =8ab2/2-ab点评:本题考查不等式u2+2小ab 18u-30 一 y 1830- ab2v2abjab (a,b r )的应用、不等式的解法及运算能力； 如何由已知不等式ab a 2b 30(a,b r)出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等a b式 jab (a,b r ),这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得 ab的范围.2变式：1.已知a

7、0, b0, ab (a + b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y=10,求函数 w = v3x +烟 的最值.a -i- b a + b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，一2一 2,本题很简单圾 +回 0, w2=3x+ 2y+2v3x 烟 =10+2每 v2y 10+(v3x )2 - (v2y )2 =10+(3x+ 2y) = 20 ww 亚=275变式：求函数y 8abc例6：已知a、b、c r , ,111且 a b c 1。求证：一 1 一 1 一 18abc分析：不等式右

8、边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个2”连乘，又,可由此变形入手。解：q a、b、c r2_bcoa-1同理一 b2 一 acb12 ab1 oc c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得2 . bc 2 ac 2、ab8。当且仅当1 , 一 一时取等号。3应用三：均值不等式与恒成立问题1,求使不等式x y m恒成立的实数 m的取值范围。.19例：已知x 0, y 0且一-x ykx9x 9y.10y 9x . 1. 1kykkx ky19解：令 x y k, x 0, y 0, - - 1 , x y1031 2 3 0 k 16 , m ,16kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：1 a b、例：右 a b 1,p 、*lgalgb,