导数应用八个专题汇总

1、1 .导数应用之函数单调性题组1:1 .求函数f(x) x3 3x2 9x 12的单调区间.2 .求函数f(x) x2 3x lnx的单调区间.3 .求函数f(x) x2 3x lnx的单调区间.14 .求函数f (x) 的单调区间.x ln x.ln x5 .求函数f(x)上立lnx ln(x 1)的单调区间.1 x题组2:14132 241 .讨论函数f(x) x -ax a x a (a 0)的单调区间. 432 .讨论函数f(x) x3 3ax2 9x 12的单调区间.3 .求函数f(x) 1mx3 (2 m)x2 4x 1 (m 0)的单调递增区间324.讨论函数f(x)(a 1)l

2、n x ax2 1的单调性.1 a5.讨论函数f (x) ln x ax 1的单调性.x题组3:321 .设函数 f(x) x ax x 1.(1)讨论函数f(x)的单调区间；21(2)设函数f(x)在区间(一,-)内是减函数，求a的取值范围.2.(1)已知函数f(x) ax2(2)已知函数f(x) ax2333.已知函数f (x) (x3 3x2axb)e x.若a b 3,求f(x)的单调区间;6.(2)若f(x)在(，),(2,)单调递增，在(,2),(,)单调递减，证明:解：(1)当2=，=-3时，(*)=(*+3x-3x-3)e,故当 x-3 或 0x0; 当-3x3 时,0,从而f

3、(x)在(-,-3), (0, 3)上单调递增，在(-3, 0), (3,)上单调递减6.分(2).7分分,8.11由 此可得 a6。12 分4.设函数 f(x) x3 ax2 a2x 1,g(x) ax2 2x 1,(1)若a 0,求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)与g(x)在区间(a,a 2)内均为增函数，求a的取值范围.2.导数应用之极值与最值1 .设函数f(x) x2ex a o ax3 bx2,且x2和x 1均为f(x)的极值点.求a , b的值，并讨论f (x)的单调性；2 32(2)tg(x) - x x ,试比较 f (x)与 g(x)的大小.(宜+2)+k c 3ax

4、+2b) 5解答: 解；c1) f? (k) =zzelfj|-l-k1 4.已知函数 f(x) -x3 x2 2 .ei_|-f3ax24-2bx=keb 由乂 = -2和球=1为的极值点，得曰”=口一6 口一2 口 =。即工3十3日十36 = 0(_ 1解得 33 = -1(2 )由(1)得 f ( x) =xzexjx-x: j17 11越 ( k) -g (宜)=a2&x-x 设sn是正项数列an的前n项和，ai 3,且点(an,a2i 2an 1)在函数y f(x)的图象上，求证：点 (n,sn)也在y f (x)的图象上;-x- (jx -jr )( ek*1-x).令h(k?不产

5、f 则 (x)=；产t.令h (z ) =0j 需k=1.h，)、h cn随算的变化情况如表：里(-t j 1 )1(1 1 +m )hj (x)0th ( x 50r由上表可知.当冀二i时，h (x)取得极小值.也是最小值！即当xe (-( + )时* h (x)至h(l) 也就是恒有h (xj 0.又小三。，所以 lx) -g (h)券。t敌对任意工 ”8, +8)恒有f ( k )柒名岂).2 .设函数 f(x) x2(x a).若f(1) 3,求曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数y f (x)在区间0,2上的最大值3 .设函数 f(x) ax3 3x2. 若

6、x 2是函数y f (x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x) f (x) f (x), x 0,2,在x 0处取得最大值，求a的取值范围.(2)求函数f (x)在区间(a 1,a)内的极值.5.设函数 f(x) ax3 bx23a2x1 在xx1, xx2处取得极值，且x1x22 .若a 1,求b的值，及函数f (x)的单调区间； (2)若a 0,求实数b的取值范围.解；f ( h )=3a*2b*- 3m. 12分(1)当时， (as) =3与2由题意如叫，为方程狈“2s7u的两根，所以|工广些-*35, 上113由|町一叼|二：2.得b=cl分)从而f (x )f? c x ) =3

7、x-3=3 (x+1 ) ( k- 1).当xw(-1，1)时，f* g) 0.故f旧)在(-l 1)单调递减，在i- -d , (b单调递赠.分)(口)由式及题意知k.，町为方程晓。2血-3健=。的两根, 23所以悝一工|=36口 从,而底.tr | =2 -( 1-a), 12由上式及题设知ucawl (e分)92考虑g ( a) =991,g(尊)=18。-27口一 =-27厘(&-,). ( 1 0分)故g在0,辿调递增，在号1成调速病从而e在小, i1的极大值为虱沪米 24又芯(a)在 0 1上只有一个根值，所以%)=鼻为g (a)在s, l上的最大值，且最小值机c1) -0.所以

8、-事孚l)13. 26 .设函数f (x) -ax bx (2 b)x 1在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，且0 x1 1 x2 2 . 3证明：a 0,并求a 2b的取值范围.1.3 o7 .已知x 1是函数f (x) -axx (a 1)x 5的一个极值点32(1)求函数f(x)的解析式； (2)若y f(x)的图像与直线y 2x m有三个不同的交点，求实数m的取值范围(1)求f (x)的解析式及其单调区间;(2)若直线y b与曲线y f(x)有三个交点，求b的取值范围9 .设函数 f (x) x4 ax3 2x2 b(x r).(1)若函数f (x)仅在x 0处有极值，求a的取值范

9、围；(2)若对于任意的a 2,2，不等式f(x) 1在 11上恒成立，求b的取值范围.解；(1)求导函数可得f (k) =k,(1分)显然x二。不是方程qxr3私苫十q二。的根.为使f (第)仅在k二口处有极值，必须4米13封口成立，3分)s q即有二9m-秋10解得-/口苗.所以傅取值范围是苣，?.(扮)(2)由条件在e-3 2l 可知ugz-gdd 从而4/十加340恒成立.金分)当x时, (x) 0.因此函数f (x)在-，1上的最大值是r( 1)与f c-13前者中的较大者.tn*-)为使对任意的au -2, 2l 不等式f(由w1在-1，1上恒成立,当且仅当x-即b-2a在江e -l

10、 2上恒成立.b3=1(则在区间1-3，3j上*父 (x) f ci)为增函数： 在区间gw-l 481 尹 ) -，时 1 x,0, f (x)为增函数： 在区间13，3j上，+ (x) 口时，f (x)在区间i。，3)上的单调递增，在区间(，4)上单调递减i 那么(*)在区间口，m上的值域是min cf (0) , 41，f(3) b 而 f (口)=- (2a + 3) 630 f ( 3)飞十 6, 那么f (x)在区间口，m上的值域是-(2a+3)产,a+fl.2 25 r又双,)=1+亍封在区间m 4上是增函教，且它在区间0，4上的值域是m+e， (a2+j e425_11由于(h

11、) - () =a-a+y= ( &-3th442所以只须仅须(十学)-且十5) 54解得口 31 时，l0?当口时，k-3(i?当kq时， (x)在(-0, -c)和(1, +)内是减函教,在lf, 1：内是增函数.左十k-北0一1二3m=川)=%m=k-g=r=_22_10,解得(ii)当k小m=n 1)=-0. 若对任意的x 0,+ )，有f(x) kx2成立，求实数k的最小值；1111(2)证明：对大于1的任意正整数n ,都有 -ln( 2n 1).3 5 2n 1 23.设函数 f (x) kx2, g(x) in x,(1)讨论关于x的方程f(x) g(x)在区间e 1,e内的实数

12、根的个数;(2)求证：对任意的正整数n,都有与呼ln3堂l14243444ln n12e4.设函数 f (x) x a ln(1 x2),12(1)若函数f (x)在区间(1,2)上递增，求实数a的取值范围；3 3(2)证明：当 x 0时，ln(1 x2) x;1111(3)证明：对大于1的任意正整数n,都有(1 1)(1 -4)(1 -4)l (1 -t)123n2e.2x ,1215.设函数 f(x) -2,其中 f(1) 1, f(1) 2.在数列xn中， -，且 “1 ax b232(1)求数列a的通项xn .1(2)求证：对任意的正整数n，都有x1x2x3l xn.2ef(xn).6

13、.设函数 f(x) ex ax 1, 若f (x) 0对x r均成立，求正实数a的取值集合;(2)求证：对任意的正整数n,都有(1)n(j2)n(3)nl (-)n.n n nne 17 .设函数 f(x) ex x 1,(1)求证：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求证：对任意的正整数n,都有(1)n(a)n(a)nl (2n)ne.2n 2n2n2ne 18 .(1)设函数f (x) rx xr 1 r (x 0),其中0 r 1.求函数f (x)的最小值；(2)用的结果证明命题：设a0,a20,匕心为正实数，若b131,则a；42 aq a2b2;(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.9 .(1)求函数f (x) ln x