导数综合练习题

1、导数练习题(b)1 .(本题满分12分)已知函数 f (x) ax3 bx2 (c 3a 2b) x d(i)求c, d的值；(ii)若函数f (x)在x 2处的切线方程为3x 解析式；(iii )在(ii)的条件下，函数 y “刈与丫个不同的交点，求 m的取值范围.2.(本小题满分12分)已知函数 f(x) a ln x ax 3(a r).(i)求函数f (x)的单调区间；(ii)函数f(x)的图象的在x 4处切线的斜率为3)上不是单调函数，求 m的取值范围.3,若函数g(x)x3 x2f(x)在区间(1 2323 .(本小题满分14分)已知函数f(x) x3 ax2 bx c的图象经过坐

2、标原点，且在x 1处取得极大值.(i)求实数a的取值范围；2(ii)若方程f(x) (2a 3)恰好有两个不同的根，求 f(x)的解析式；9)1 81 .(iii )对于(ii)中的函数f(x),对任意 、 r,求证：|f(2sin ) f(2sin4 .(本小题满分12分)已知常数a 0, e为自然对数的底数，函数f(x) ex x, g(x) x2aln x.(i)写出f(x)的单调递增区间，并证明 ea a；(ii)讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.5 .(本小题满分14分)已知函数 f(x) ln(x 1) k(x 1) 1 .(i)当k 1时，求函数f(x)的最大值

3、；(ii)若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围;6 .(本小题满分12分)已知x 2是函数f(x) (x2 ax 2a 3)ex的一个极值点(e 2.718).(i)求实数a的值；3(ii)求函数f (x)在x 3,3的最大值和最小值.27 .(本小题满分14分)已知函数 f(x) x2 4x (2 a)lnx,(a r,a 0)(i)当a=18时，求函数f(x)的单调区间； 2 _(ii)求函数f (x)在区间e,e 上的取小值.8 .(本小题满分12分)上不具有单调性. 已知函数 f (x) x(x 6) aln x 在 x (2,(i)求实数a的取值范围；xi、x2,2(ii)若f

4、 (x)是f (x)的导函数，设g(x) f (x) 6 3，试证明：对任意两个不相等正数 x不等式1g(x1) g(x2)1 381x1 x21恒成立.9 .(本小题满分12分)1 2已知函数 f(x) x ax (a 1) ln x, a 1.2(i)讨论函数f(x)的单调性；f (x) f (x9)(ii)证明：右 a 5,则对任息 x1，x2 (0,),x1x2,有 1.x1 x210.(本小题满分14分)1 2已知函数 f(x) - x a ln x, g(x) (a 1)x ,a 1.2(i)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围

5、；(ii)若 a (1, e (e 2.71828l ),设 f(x) f (x) g(x),求证：当 为必1,a时，不等式 | f(xi) f(x2)| 1 成立.11 .(本小题满分12分)设曲线 c ： f(x) lnx ex (e 2.71828 ), f (x)表示 f(x)导函数.(i)求函数f (x)的极值；(ii)对于曲线c上的不同两点a(x1,y) , b(x2,yz), x x2,求证：存在唯一的 小 便房)，使 直线ab的斜率等于f(x0).12 .(本小题满分14分)定义 f(x,y) (1 x)y,x,y (0,),(i)令函数f (x) f(3,log2(2x x2

6、 4),写出函数f(x)的定义域；(ii)令函数g(x) f(1,log2(x3 ax2 bx 1)的图象为曲线c,若存在实数b使得曲线 c在xo( 4 xo1)处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围；(iii )当 x, y n * 且 x y 时，求证 f (x, y) f (y, x).导数练习题(b)答案1 .(本题满分12分)已知函数f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的图象如图所示.(i)求c, d的值；(ii)若函数f (x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0,求函数f(x)的 解析式；1(iii )在(ii)的条件下，函数 y f (x)与y f (x) 5

7、x m的图象有二3 个不同的交点，求 m的取值范围.解：函数f(x)的导函数为 f(x) 3ax2 2bx c 3a 2b (2分)(i)由图可知 函数f(x)的图象过点(0, 3),且f(1) 0(4分)(8 分)x2 4x 3 5x m有三个不等实根,/日 d 3d 33a 2b c 3a 2b 0 c 0(ii)依题意 f(2)3 且 f(2) 512a 4b 3a 2b 38a 4b 6a 4b 3 5解得 a 1,b6 所以 f (x) x3 6x2 9x 3(iii) f (x) 3x2 12x 9.可转化为：x3 6x2 9x 3即：g xx3 7x2 8x m与x轴有三个交点；

8、- 2g x 3x 14x 8 3x 2 x 4 ,x2,323344,g x+0-0+g x增极大值减极小值增2 68g m, g 416 m . (10 分)3 27268当且仅当g -m 0且g 416 m 0时，有三个交点，327(12 分)故而， 16 m 为所求.272.(本小题满分12分)已知函数 f(x) a in x ax 3(a r).(i)求函数f (x)的单调区间;(ii)函数f (x)的图象的在x 4处切线的斜率为 3,若函数g(x) 1x3 x2f(x)在区间(1, 2323)上不是单调函数，求 m的取值范围.解：(i) f(x)a(1 x)(x 0)(2 分)x当

9、a 051 f (x)的单调增区间为 0,1，减区间为1,当a 0时，f (x)的单调增区间为1,，减区间为0,1 ;(ii)由下表:x(,1)1(1, m) 32a 3 32a 3(,) 3f (x)+0-0-f(x)递增极大值a 2递减极小值a 6227 (2a 3)递增6c (23)2依题意得：-276(2a 3) ,解得：a 93.当a=1时,f(x)不是单调函数(5分)3a 3(ii)f(4) 得a 2, f(x) 21nx 2x 3421 3m 22g(x) -x3 ( 2)x2 2x, g(x) x2 (m 4)x 2 (6 分)32g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g(

10、0)2g(1) 0,g(3) o.(本小题满分14分)已知函数f (x) x3(8分)m 3,1919 (10 分)m ( 一, 3)m 一,33(12 分)2ax bx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取得极大值.(i)求实数a的取值范围;(ii)若方程 f(x)0a3)2上一l恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式;9(iii )对于(ii)中的函数f(x),对任意 、 r,求证：|f(2sin )解： f (0) 0 c 0, f (x) 3x2 2ax b, f (1) 0 b 2a 32f (x) 3x2 2ax (2a 3) (x 1)(3x 2a 3),2a 3 一，由f (x

11、) 0x 1或x,因为当x 1时取得极大值，32a 3所以 1 a 3,所以a的取值范围是:(,3)；3f(2sin )| 81 .(4分)(10分)2所以函数f(x)的解析式是：f(x) x3 9x2 15x(iii)对任意的实数，都有在区间-2, 2有:f ( 2)2 2sin 2, 2 2sin 2,8 36 3074, f (1) 7, f (2) 8 36 30f(x)的最大值是f (1) 7, f (x)的最小值是f ( 2)8 36 3074函数f(x)在区间2,2上的最大值与最小值的差等于81,所以 | f(2sin ) f (2sin )| 81 .(14 分)4.(本小题满

12、分12分)已知常数a 0 , e为自然对数的底数，函数 f (x) ex x, g(x) x2 aln x.(i)写出f(x)的单调递增区间，并证明ea a；(ii)讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.解：(i)f (x)ex 10,得f(x)的单调递增区间是(0,), (2分)a0,f (a)f (0) 1 ,ea a 1 a,即 eaa . (4 分) / 2a 2 aa 2(x 二一)(x2a(ii) g(x) 2x - 22，由 g (x) 0,得 x - ,列表xx2函数g(x)取极小值g(j 2 a-(1 lna),无极大值. 22x(0,苧)2 2a-2(孚)g

13、(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增(6分)2a e(i) eag(1) 1 0g(ea) ea22aa(ea)(ea)1,即02时，函数y2a2(8分)g(x)在区间(1,ea)不存在零点,t. a若二(12a若一(12,t. a若一(12综上所述,2 ,a in )2,a、 ln )2 ,a in )20,即aa 2e时，函数2e时，函数y2e时，函数yy g(x)在区间(1,ea)不存在零点g(x)在区间(1,ea)存在一个零点g(x)在区间(1,ea)存在两个零点;a2ey g(x)在(1,ea)上，我们有结论:2e时，函数f(x)无零点； 时，函数f(x)有一个零点；当a 2e

14、时，函数f(x)有两个零点.(12 分)5 .(本小题满分14分)已知函数 f (x) ln(x 1) k(x 1) 1 .(i)当k 1时，求函数f(x)的最大值;(ii)若函数f (x)没有零点，求实数k的取值范围;解：(i)当 k 1 时，f (x)f(x)定义域为(1, + .当 x (1,2)日t, f (x)2 xx 1),令 f (x)0 ,当 x (2,0,得 x 2, )时，f (x) 0 f(x)在(1,2)内是增函数，在(2,)上是减函数 当 x(ii)当，函数2时，f(x)取最大值f(2) 0k 0时，函数y ln(xf(x)有零点，不合要求;1)图象与函数y k(x1

15、)1图象有公共点,当k1 k kx(2分)(4分)(8分)(6分),k 1令 f (x) 0,得x ，: xk,1 f(x)在(1,1 )内是增函数,k一 ，1f(x)的最大值是 f(1 -)ink ,k函数f(x)没有零点，ink 0, k 1,因此，若函数f(x)没有零点，则实数 k的取值范围k (1,(lk)时，f (x) 0, x (1(x2 ax 2a 3)ex的一个极值点3 一一 ,3的取大值和取小值.22a 3)ex可得6 .(本小题满分12分)已知x 2是函数f(x)(i)求实数a的值；(ii)求函数f (x)在x解：由 f(x) (x2 ax，1 .一 在1 -,)上是减函数

16、, k1 一一-,)时，f(x) 0, k)(10 分)(e 2.718).f (x) (2x a)ex (x2 ax 2a 3)ex x2 (2 a)x a 3ex. x 2是函数f (x)的一个极值点，f (2) 0(4分)(a 5)e2 0 ,解得 a 5(6分)(ii)由 f (x) (x 2)(x 1)ex0,得 f(x)在(由f (x) 0,得f(x)在在(1,2)递减,1)递增，在(2,)递增, f(2)2 一_3e是f (x)在x - ,3的最小值;237 3q3 af(-) -e2 , f(3) e3 f(3)f(-) e32423 一3 f(x)在 x ,3的最大值是 f(

17、3) e3.27-e4(8 分)1 ：3-e2(4e . e 7) 0, f(3) f (-)42(12 分)7.(本小题满分14分)已知函数 f(x) x2 4x (2 a)lnx,(a r,a 0)(i)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；(ii)求函数f (x)在区间e,e2上的最小值.解：(i) f (x) x2 4x 16 in x , f(x) 2x 4 16 2(x 2)(x 4) xx由 f(x)0 得(x2)( x4)0,解得x4或 x2注意到x 0,所以函数f(x)的单调递增区间是(4, +8) 由 f(x)0得(x2)(x4)0 ,解得-2vxv4,注意到x 0,所以

18、函数f(x)的单调递减区间是(0,4.综上所述，函数 f(x)的单调增区间是(4, +8),单调减区间是(0,46分a) 0 ,2 .(n)在 x e,e 时，f (x)2 a所以f(x) 2x 4 x设 g(x) 2x2 4x 2 a 当 a 0时，有 4=16+4 x2(2 此时g(x) 0,所以f(x)2x4x (2 a)in x2x2 4x 2 a8a 0 ,f (x)在e,e2上单调递增,2所以 f(x)min f(e) e 4e 2 a当 a 0 时，4=16 4 2(2 a) 8a 0,22 a令 f(x) 0,即 2x2 4x 2 a 0,解得 x 1 -或 x 1 2令 f(

19、x) 0,即 2x2 4x 2 a 0,解得 1若1三里为2,即aw(e2 1)2时，222、4 一 2 一f(x)在区间e,e 单倜递减，所以f (x)min f(e ) e 4e 4,2at.2a22a.2_2_2e ,即 2(e 1) a 2(e2 .、1)时间,f (x)在区间e,12a2上单调递减，在区间12a o,e上单调递增, 72 a a- 2a所以 f(x)min f(1 ) 2a 3 (2 a)ln(1 ).222f 2a22 .若1 we,即0 a2(e21)2时，f (x)mina44e2 4 2a；当 2(e 1)2a 2(e21)2时，f (x)mina场 3 (2

20、a)ln(122_14分当 aw2(e 1)时，f(x)mine 4e 2 a8.(本小题满分12分)上不具有单调性. 已知函数 f (x) x(x 6) aln x 在 x (2,(i)求实数a的取值范围；2(ii)若f (x)是f(x)的导函数，设g(x) f (x) 6 二，试证明：对任意两个不相等正数xi、x2,x不等式 |g(x1) g(x2)| |8|x1 x2| 恒成立.2 八a 2x 6x a八斛：(i) f (x) 2x 6 - , (2 分)x x f(x)在x (2,)上不具有 单调性，在 x (2,)上f (x)有正也有负也有 0, (4分)即二次函数y 2x2 6x

21、a在x (2,)上有零点232 y 2x 6x a是对称轴是x -,开口向上的抛物线，. y 2 26 2 a 02的实数a的取值范围(，4) (6分)a 2(ii)由(i) g(x) 2x - -2, x x.2a2方法 1: g(x) f (x) 6 2x (x 0),xx x3a4c442x 4x4a 4,一g(x)2 23 , (8 分)x x x x x设 h(x) 2 3 ，h(x) 43 x xx33h(x)在(0,)是减函数，在(，2212 4(2x 3)44x x)增函数，当x38, ,、 38 、从而 g (x) , (g(x) x)27270,函数时，h(x)取最小值空2

22、27一 38g(x) 一x是增函数，为、x2是两个不相等正数，不妨设 xx2,则27383838 ,、 g(x2) g(xj 27(x2 x1)，: x2xi0,g(x2) 27x2 g(x1) 7x1 .g(x1) g(x2)38x1 x227.g(xi) g(x2)x1x2方法 2： m (x1,g(x1)、38 r27 ,即 i g(x1) g(x2)|n(x2,g(x2)是曲线 y38|x1 x2 |27g(x)上任意两相异点,(12 分)g(xi) gm)2(x1x2)x1 x22(x1 x2)22x1 x2x1x2= ，tx1x22 2x1 x2x1x24(.x1x2 )3u(t)

23、 22(t)。，得 t ,由 u(t)。得 03 2、 一 一, ，2u(t)在(0,一)上是减函数，在(-33u(t)在t 2处取极小值338即 |g(x1)g(x2)| 药 |x9.(本小题满分12分)3827qxix22 x1x2x1x2(jx公)3x1x2(8分)324t 4tt|,u(t)4t(3t 2),)上是增函数,g(x1)g(x2)38x1x22738_u(t) 一，.所以27(12 分)12已知函数f(x) x 2ax (a1)ln x, a1.(i)讨论函数f(x)的单调性;(ii)证明：若a 5,则对任意x1,x2(0,),x1x2,有 331.(1) f(x)的定义域

24、为(0,)f(x)x12x ax a 1xx2(x 1)(x 1 a)x(i)若 a1 1,即 a2,则f1(x)(xf(x)在(0,)单调增加.(ii)若 a 当x (1,1 1,而 a1,故1(0,a 1)及 x (1, )单调增加.a 2,则当 x (a 1,1)时，f(x) 0.)时，f(x)0,故f(x)在(a 1,1)单调减少，在(0, a-1),(iii)若a 1 1,即a2,同理可得f (x)在(1,a 1)单调减少，在(0,1), (a 1,)单调增加.1 o(ii)考虑函数 g(x) f(x) x x ax (a 1)ln x x.2由 g(x) x (a 1) -1 2

25、,x a1 (a 1) 1 (%a 1 1)2. x x x由于a a5,故g(x) 0,即g(x)在(0,)单调增加，从而当xx20时有g(x1) g(x2) 0,即 f(x1) f(x2) x1 x2 0,f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)故 1,30 x1x2 时，有 1x1x2x1x2x2x110.(本小题满分14分)1 2已知函数 f(x) - x a in x, g(x) (a 1)x ,a 1.2(i)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a的取值范围；(ii)若 a (1, e (e 2.71828l ),设

26、f(x) f (x) g(x),求证：当 为尼1,a时，不等式 |f(x1)f(x2)| 1 成立.(2分)(4分)解：(i) f (x) x a, g (x) a 1 , x函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同,，当 x 1,3时，f (x) g (x) g-1(xa) 0 恒成立， x2.即(a 1)(x a) 0恒成立，1a12在x 1,3时恒成立，或2在x 1,3时恒成立,xax9 x 1 , a、_1 2(ii) f(x) -x aln x, 2 f(x)定义域是(0,1或a 9 a(a 1)x, f (x) x - (a x),a (1, e,即 a

27、 1(6分)1)(x a)(x 1)xf(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减函数，在(a,)是增函数1，当x 1时，f(x)取极大值m f(1) a -,21 2当 x a时，f(x)取极小值 m f(a) aln a -a a2 ， x,x2 1,a, . |f(x1) f(x2)| | m m| m m、一1 21设g(a) m m -a aln a 一，则 g (a) a in a 1 , 22-1-g(a)1. a (1, e, . g(a)0ag (a) a in a 1 在 a (1, e是增函数，g (a) g (1) 08分)(10 分) g(a)g(a)1 2而一e

28、21 21 ,，一-a a in a 一在a(1,e也是增函数22g(e),即 g(a)-(e 1)2221 21 (e 1)2 d-e e - 1,222(3 1)1 1 ,g(a)2(12 分)，当 x,x2 1,a时，不等式 | f(xi) f(x2)| 1 成立. (14 分)11.(本小题满分12分)设曲线 c ： f(x) lnx ex (e 2.71828 ), f (x)表示 f(x)导函数.(i)求函数f (x)的极值；(ii)对于曲线c上的不同两点 八(不，必),bgr), x x2,求证：存在唯一的 区必)，使 直线ab的斜率等于f(x0).11 ex1斛：(i) f (

29、x) 一 e 0,得 x -x xe当x变化时，f (x)与f(x)变化情况如下表: 1(ii)(万法 1) .f (x0)kab, 一 ex即 x/n0 (x2 x1) 0,设 g(x) x x1x2/g(x) xln (x2 x)，g(x)xxin x2 1nxie(x2 x1)x2x1, x2:-,lin x2 xxox,x2,、in(x2x,)x11n 1 0, g(x,)是x1的增函数, 为为 x2,g(x,)g(x2) x2 1n0 (x2 x2) 0；x2x2/g(x2) x2 in (x2 x,)，g(x2)为in x2 1 0, g(x2)是x2的增函数, x,x1 x2,g

30、(x2)g(x,)x in x1 x,(x1 x,)0 ,x1(0) e1e1(一，) ef (x)十0一f(x)单调递增极大值单调递减1-1当x -时，f(x)取得极大值f(-)2,没有极小值;ee(4分)，函数 g(x) xln 迄(x2 x,)在(x, x2)内有零点 x0, (10 分)x,又瓶 1, 1nx 0 ,函数g(x) xln -x2 (x2 x1)在 仇区)是增函数，x,xix，函数g(x) 上一x1 in”在 区区)内有唯一零点x0,命题成立 (12分)xx1(方法 2) . f (x)kab,- e lnx2 1nxi e(x2 x1),x0x2 x,即 inx2x0inx1xx20,x0(x,x2),且 x0唯一设 g(x) xln x2 xln x1 x1 x2,则 g(x1) x11nx2 x 1nxi x1 x2,再设 h(x) xln x2 xln x x x2, 0 x x2, h (x) in x2 in x 01- h(x) xln x2 xln x x x2在0 x x2是增函数. g(x) hm) h(x2) 0,同理