导数定义及公式

1、导数:1 .若 f(x)=c,则f (x)=2 .若 f(x)= xn (n6q?),则 f (x)=3 .若 f(x)= sin x,则f (x)=4 .若 f(x)= cosx,贝uf (x)=5 .若 f(x)= ax,则f (x)=6 .若 f(x)= ex,则f (x)=7 .若 f(x)= loga x,则f (x)=8 .若 f(x)= inx,则f (x)=9 .【f(x) g(x)=10 .【f(x).g(x)=- r f(x) i11. 【而】=12. cf(x)j =13. y= f(u),u = g(x),则 y=f (g (x);yx =sin2x=(e-x )#导数

2、：一般地，函数y=f (x)在x=x0处的瞬时变化率是三=f(xo+?x)-f(x 0),称函数 y=f (x)在 x=x。处的导数，记作:?xf0 ax ?x-o ?xr t i目n lim ay lim f(xo+?x )-f(x o)f (x)或y|x 二 x。即 f (x。)=。?xf0 ax ?xfo ?x#函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点p (x0, f (x)处的切线斜率，也就是说曲线 y=f (x)在点 p (x。，f (x。)处的切线斜率是f (x。)。相应地，过p点的切线 方程为：y-f(xo) =f (xo)(x-x0 )#导函数

3、：如果函数 y=f 就说函数f (x)在开区间(a, b)内可导，则f (x) 函数，把这一新函数叫做f(x)在开区间(a, b)内每一点都可导, a, b)内可导。若函数f (x)在开区间 在(a, b)内每一点的导数构成一个新 (x)在开区间(a, b)内的导函数(简称导数)记作f (x)或y或yx。即f(x) =y= lim 巨=limgfx) ?xf0 ax ?xfo ?x一、函数的单调性一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a, b)内,如果f (x) 0 ,那么函数y=f (x)在这个区间内单调递增；如果 f (x) 0 ,则f (x)严格增函数；如果f (x) 0是f

4、(x)在此区间上为增函数的充分而不 必要条件。求函数单调区间的步骤：1 .确定y=f (x)的定义域；2 .求导数f (x),求出f (x) = 0的根；3 .函数的无定义点和f (x) =0的根将f (x)的定义域分成若干区 间，列表考查这若干区间内f(x)的符号，进而确定f (x)的单 调区间。注意：a .如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个 这些单调区间不能用“u”连接，只能用逗号或“和”字隔开。b.求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数的定义域二、函数的极值：1 .定义，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的 所有点，都有f（x） f（x0）,则称f（

5、x0）是函数f （x）的一个 极大值；如果对x0附近的所有点，都有f（x） f （x0）,则称 f（x。）是函数f（x）的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值 点，极大值和极小值统称极值。2 .判断f（x。）是极大值或极小值的方法：第一步，确定函数的定义域，求导数f （x）; - - ，、一. 一、 第二步，求方程f （x） = 0的根；第三步，检查f （x）在f （x）=0的根左右两侧的值的符号；1 .如果“左正右负”，那么f（x）在这个根处取到极大值；2 .如果“左负右正”，那么f（x）在这个根处取到极小值；3 .如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则 f（x）在这 个根处无极值。在此

6、步聚中，最好利用方程f （x）=0的根，顺次将函数的定 义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。函数在极值点的导数为0 ,但导数为0的点不一定是极值点， 如函数f（x）=?,点x= 0就不是极值点，但？（0） = 0;x函数的极大值不一定大于极小值；在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也 可能不存在极值点三函数的最值：设函数y=f (x)是定义在区间a, b上的函数，y=f (x)在 区间(a, b)内有导数，求y=f (x)在a, b上的最大值与最小值， 其步骤为：先求函数y=f (x)在(a, b)内的极值；再将函数y=f (x)的 各极值与端点的函数值f (a)、f

7、(b )比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值。如果在区间a, b上，函数y=f (x)的图象是一条连续不 断的曲线，则函数在a, b上一定能够取得最大值和最小值， 并且函数的最值必在极值点或端点处取得。提示：1 .若函数y=f (x)在区间a, b上单调递增，则f (a)为最小值，f (b) 为最大值；若若函数y=f (x)在区间a, b上单调递减，则f (a)为最大值，f (b)为最小值。2 .图象连续不断的函数在开区间(a, b)上不一定有最大(小)值，如果 图象连续不断的函数在开区间(a, b)上只有一个极值，则该极值就是最值。3 .函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函

8、数的极值不同的是，在求 可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论，其是极大值还是极小值， 只需将导数为0的点的函数和端点函数值时行比较。在解决实际生活中优化问题注意事项：1必须考虑是否符合实际意义2只 有一个点使f (x) =0的情形，如果在点有最大(小)值，不与端点比较也能 知道是最大(小)值。3不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来， 而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。四.定积分及应用定积分定义：若函数y=f (x)在区间a, b上连续用分点a=x0 x1 ? ? xi-1 xi xn=b,将区间a , b等分成 n 个小区 间，在每个小区间xi-i , xj上任取一点i

9、 (i=1 , 2, 3, ? n),b-a作和式4i f (七)？x=丝i f (。，当n-s时，上述和式无 限接近某个常数，这个常数叫 函数y=f (x)在区间a, b上定 积分，记作?f (x) dx。即 小(x) dx = nltm ”=i f (aan其中f (x)叫做被积函数，a做积分下限，b做积分上限。定积分/f (x) dx不是一个表达式，是一个常数。 a定积分几何意义：从几何上看，若函数y=f (x)在区间a, b上连续且恒有f (x) no,那么定积分?f (x) dx表示直线ax=a,x=b (a?b) , y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面 积；定积分性质：

10、/ kf (x) dx=k/f (x) dx(k为常数) aa/f(x) 士g( x) dx= jf (x) dx 士/g(x) dx aaa/ f (x) dx = - / f (x) dx ab以上是线性性质，下面是对区间可加性(x) dx =/f(x) dx +f(x) dx (a ? ?微积分基本定理-牛顿-莱布尼兹公式一般地，如果f (x)在区间a, b上的连续函数，并且f (x) =f (x)，那么 /f (x) dx = f (b) f ( a)。a定积分的简单应用：一、求平面图形面积的应用1 .定积分与平面图形面积的关系通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也 可为0 .(1 ) 当对应的曲边梯形位于x轴上方，定积分值取正值，且 等于曲边梯形的面积；(2) 当对应的曲边梯形位于x轴下方，定积分值取负值，且 等于曲边梯形面积的相反数；(3 ) 当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的 曲边梯形的面积时，定积分的值为0,且等于位于x轴 上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的 面积。2 .利用定积分