垂直与弦的直径

1、 垂径定理垂径定理 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. . O AB C D M CDAB,如图如图 CD是直径是直径, AM=BM, AC =BC, AD=BD. 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：线来说，如果具备： 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。三个结论。 经过圆心经过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 推论推论

2、：平分弦：平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。 O AB C D M 垂径定理及推论垂径定理及推论 O AB C D M 条件 结论命题 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的 另一条弧另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所

3、对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平 分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦 ,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. 一、判断是非：一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，

4、必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。 A B CDO (1) AB C D O (2) AB C D O (3) (4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 AB C O (4) A B C D O (5) AB C D O (6) E （7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦 填空： 1、如图：已知A

5、B是 O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是 O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O 到AB的距离是_cm，AB=_cm. 。 O A E DC B 。 O A B 第1题图第2题图 ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD） 2 4 H 选择： 如图：在 O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其 中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的 个数为 （ ） A、3 B、2 C、1 D、0 。 O CD B A A 1. 1. 平分已

6、知弧平分已知弧 AB .AB . 你会四等分弧你会四等分弧ABAB吗吗? ? A B 问题2 (1)(1)如图如图, ,已知已知O O的半径为的半径为 6 6 cmcm, ,弦弦 ABAB与半径与半径 OAOA的夹角为的夹角为 30 30 , ,求弦求弦 AB AB 的长的长. . O A O C A B M (2)(2)如图如图, ,已知已知O O的半径为的半径为 6 6 cm cm, ,弦弦 ABAB与半径与半径 OCOC互相平分互相平分, , 交点为交点为 M M , , 求求 弦弦 AB AB 的长的长. . 6 30 E B 例例1 1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧、如图，一条公

7、路的转弯处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是是 弧弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为 F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. . n解解: :连接连接OC.OC. O C D E F .)90(,mROFRm则设弯路的半径为 ,CDOE ).(300600 2 1 2 1 mCDCF 得根据勾股定理, 即, 222 OFCFOC .90300 2 22 RR .545,R得解这个方程 .545m这段弯路的半径约为 （3 3）. .如

8、图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为1010米，米， 桥拱的跨度桥拱的跨度AB=16AB=16米，则拱高为米，则拱高为 米。米。 AB C D 4 O 练习：半径为的圆中，有两条平行弦练习：半径为的圆中，有两条平行弦 AB 和和CD，并且，并且AB =,CD=，求，求AB 和和CD间的距离间的距离. . E F . E F D A B C O (2) AB D C (1) O 做这类问题是，思考问题一定要做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况全面，考虑到多种情况. 挑战自我挑战自我 1. 如图，如图， O O 与矩形与矩形 ABCD 交于交于 E ,

9、F ,G ,H ， AH=4, HG=6,BE=2.求求EF的长的长. A BC D 0 E F GH M N 4 6 2 船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ? 例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水拱顶高出水 面面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的米的 货船要经过这里货船要经过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 船能过拱桥吗船能过拱桥吗 解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的

10、圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm, 经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根 据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. . 由题设得由题设得 ABAB AB AB . 5 . 1 2 1 , 4 . 2, 2 . 7MNHNCDAB ABAD 2 1 , 6 . 32 . 7 2 1 DCOCOD. 4 . 2 R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 , 222 ODADOA .)4 . 2(6 . 3 222 RR

11、即 解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 , 22 HNONOH. 6 . 35 . 19 . 3 22 OH即 . 21 . 25 . 16 . 3DH 此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥. 1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8 , ,那么那么o o的半径是的半径是 2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那 么么C C到到ABAB的距离等于的距离等于 3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4

12、, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1, , 那么那么O O的半径为的半径为 4.4.如图如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC, OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M, N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= , AC= ,OA=AC= ,OA= B A M C ON 5 1或或9 5 6 4 13 Cm 练习：练习：5.在在 中，、中，、AC为为互相垂直且相等互相垂直且相等的两条弦，的两条弦， 于，于，于于 求证：四边形是正方形求证：四边形是正方形 1.1.在直径为在直径为650mm6

13、50mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. . 若油面宽若油面宽AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BA O E D 600 C D 在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BA O 600 650 D C BA O E D 600 C D E 小结小结: : 解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，或，或

14、 作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。理创造条件。 . CD AB O M N E. A CD B O . AB O 2、在直径为、在直径为650650毫毫 米的圆柱形油槽内装米的圆柱形油槽内装 入一些油后，截面如入一些油后，截面如 图所示图所示. .若油面宽若油面宽AB 600毫米毫米，求油的求油的 最大深度最大深度. 1、已知：、已知： O的半径为的半径为6厘米厘米，弦弦 AB与半径与半径OA的夹角为的夹角为30.求：弦求：弦AB的长的长. 试一试试一试 驶向胜利 的彼岸 挑战自我挑战自我填一填填一填 1、判断：、判断

15、： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条 弧弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 练习练习:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交 CD于于E， CEB=30，DE=9， CE=3，求弦，求弦A

16、B的长的长. O A B C D E F 1 1已知已知O O的半径为的半径为1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12， CD=16CD=16，则，则ABAB和和CDCD的距离为的距离为 2 2如图，已知如图，已知ABAB、ACAC为弦，为弦，OMABOMAB于点于点M M， ONACONAC于点于点N N ，BC=4BC=4，求，求MNMN的长的长 2 2或或1414 A A C C O O M M N N B B 提高练习提高练习: 3.在在 O中，直径中，直径CEAB于于D，OD=4， 弦弦AC= ，求，求 O的半径的半径. 10 D C E O A B A B C D E

17、 O 1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦最短弦 长为长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是 2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那 么么C C到到ABAB的距离等于的距离等于 3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1, , 那么那么O O的半径为的半径为 4.4.如图如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC, OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M, N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= , AC= ,OA= .AC= ,OA= . B A M C ON 5 1或或9 5 6 4 13 Cm E 3.3.如图为一圆弧形拱如图为一圆弧形拱 桥，半径桥，半径OA = 10mOA = 10m，拱