复习讲义：椭_圆

1、椭圆椭圆 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 椭圆椭圆 焦距焦距 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 焦点焦点 准线准线 离心率离心率 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 21PF F S 21F PF S 对称与变换的思想在椭圆中的应用对称与变换的思想在椭圆中的应用 公元前三世纪产生了具有完整体系的欧几里得的公元前三世纪产生了具有完整体系的欧几里得的 几何原本几何原本。半个世纪以后，古希腊的另一位数学。半个世纪以后，古希腊的另一位数学 家阿波罗尼斯又著家阿波罗尼斯又著圆锥曲线论圆锥曲线论（8 8卷）卷）以其几乎以其几乎 将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而名垂史册。将圆锥曲线的全

2、部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中，在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中， 没有一本达到象没有一本达到象圆锥曲线论圆锥曲线论那样对圆锥曲线研究那样对圆锥曲线研究 得如此详尽的程度。得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。自从解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。自从 有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟了新的纪元。有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟了新的纪元。 与与几何原本几何原本齐名的齐名的圆锥曲线论圆锥曲线论 圆锥曲线圆锥曲线 直线与圆锥曲直线与圆锥曲 线的位置关系线的位置关系 曲线与方程曲线与方程 求曲线的方程求曲线的方程 画方程的曲

3、线画方程的曲线 求两曲线的交点求两曲线的交点 双曲线双曲线 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法 抛物线抛物线 椭圆椭圆 定义及标准方程定义及标准方程 几何性质几何性质 相交相交 相切相切 相离相离 范围、对称性、顶点、焦点、长轴范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴实轴)、短轴（虚轴）、短轴（虚轴） 渐近线（双曲线）、准线、离心率、通径、焦半径渐近线（双曲线）、准线、离心率、通径、焦半径 中心对称中心对称 轴对称轴对称 弦长公式 () 0000 () ()(22) ( , )(22) ab ab xyaxby f x yfax by

4、关关于于点点，对对称称 关关于于点点，对对称称 点点，点点， 曲曲线线曲曲线线， 1212 1122 21 21 0 ()()22 0 ()1 xxyy ABC xyxy yy AxByC A xxB 点点, ,与与点点, ,关关于于 直直线线对对称称 对称问题对称问题 2 12122 1 1|1|lkxxyy k 1. 椭圆的定义：椭圆的定义： 1212 2PFPFaF F 1212 2PFPFaF F 1212 2PFPFaF F 方程为椭圆；方程为椭圆； 无轨迹无轨迹; 线段线段F1F2 . 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 1. 椭圆的方程：椭圆的方程： (2)一般方程：一般方

5、程： 22 1( ,0)AxByA BAB， cos 0,2 ) sin xa yb (3)椭圆的标准参数方程椭圆的标准参数方程 (1)椭圆的标准方程：椭圆的标准方程： 焦点在焦点在 x 轴上轴上焦点在焦点在 y 轴上轴上 定义定义 方程方程 图象图象 焦点焦点 关系关系 2 2 22 1(0) y x ab ab 2 2 22 1(0) y x ab ba 12 (,0),( ,0)FcF c 12 (0, ),(0,)FcFc x y oF1F2 3. 两种两种类型类型椭圆的标准方程的比较椭圆的标准方程的比较 |MF1| + |MF2| = 2a ( a c ) a2 = b2 + c2(

6、ab0, ac0) 标准方程标准方程 范围范围 对称性对称性 顶点坐标顶点坐标 焦点坐标焦点坐标 半轴长半轴长 离心率离心率 |x| a, |y| b 关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；轴成轴对称； 关于原点成中心对称关于原点成中心对称 (a, 0), (- -a, 0), (0, b), (0, - -b) (c,0)，(- -c,0) 半长轴长为半长轴长为a, 半短轴长为半短轴长为b. |x| b, |y| a (b, 0), (- -b, 0), (0, a), (0, - -a) (0, c)，(0, - -c,) 2 2 22 1(0) y x ab ab 2 2 22 1(0) y

7、x ab ba c e a 2 1 b e a 关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；轴成轴对称； 关于原点成中心对称关于原点成中心对称 半长轴长为半长轴长为a, 半短轴长为半短轴长为b. c e a 12 2 (1)tan. 2 PF F Sb 12 max (). PF F Sbc 设设P是椭圆是椭圆 上的点，上的点，F1，F2 是椭圆的焦点，是椭圆的焦点，F1PF2=,则则 2 2 22 10 y x ab ab 5. 几个重要结论：几个重要结论： (2) 当当P为短轴端点时，为短轴端点时， (3)当当P为短轴端点时，为短轴端点时，F1PF2为最大为最大. (4)椭圆上的点椭圆上的点A1距距F

8、1最近，最近，A2距距F1最远最远. | |.acPFac 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 (6)焦半径焦半径公式公式00 (,)xy 10 |PFaex | | 20 |PFaex | | 5. 几个重要结论：几个重要结论： (5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短. 2 2 | b CD a C D 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 6. 点与椭圆的位置关系：点与椭圆的位置关系： 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 22 1 1 42 a 2 2a x F1 F2 o y ( ,1)M a 2 ,2 7. 直线与椭圆的位置关系问

9、题：直线与椭圆的位置关系问题： 122 1 1|.lyy k 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 可通过根与系数的关系来解决中点弦问题；这其可通过根与系数的关系来解决中点弦问题；这其 中的解题方法就是常说的中的解题方法就是常说的“设而不求，整体代入设而不求，整体代入”； 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 例例1.（07 陕西）陕西） 此此时时 331 3. 224 S 222 21 |(1)()ABkxx 2 (1)k 331 2. 222 S 解解:设椭圆上两点设椭圆上两点A(x1, y1), B(x2 , y2), A、B关于关于y4xm对称，对称， AB的中点为的中点为C(

10、x0，y0). 【例【例2】试确定】试确定m的取值范围的取值范围, 使得椭圆使得椭圆 上有不同两点上有不同两点A, B关于直线关于直线y4xm对称对称. 22 11 22 11 1 43 1 43 xy xy ， 又又 ， 2 2 1 43 y x 12121212 ()()()() 0 43 xxxxyyyy - -得得， 1212 1212 3() 4() yyxx xxyy 即即， 解解:设椭圆上两点设椭圆上两点A(x1, y1), B(x2 , y2), AB的中点为的中点为C(x0，y0). 设直线设直线AB方程为方程为 1 , 4 yxn 22 3412, 1 , 4 xy yxn

11、 联联立立 22 13816480.xnxn 得得 22 ( 8 )4 13(1648)0,nn 2131313 ,. 422 nn 即即 【例【例2】试确定】试确定m的取值范围的取值范围, 使得椭圆使得椭圆 上有不同两点上有不同两点A, B关于直线关于直线y4xm对称对称. 2 2 1 43 y x 412 (,) 1313 nn C即即. . 12 8 , 13 n xx 1212 241 ()2. 413 n yyxxxn 124 4, 1313 nn m 4 . 13 n m 13132 132 134 ,. 2221313 n n 45 2 sin 2 2 sin 2 c a 01e

12、 又又 2 1 2 e 2mna则则， 222 4mnc ， 222 ()() 2 mnmn mn 22 2().ac 22 2ca 2 2 1 2 c a 构造方程、不等式构造方程、不等式 2mna 则则 222 4cmn 22 4()amn 22 2 2 () mn e mn 22 2 2 () mn e mn 2 2 1 () 21 2 () mn mn 2 . 2 e 基本不等式基本不等式 2 . 2 e 10 |,PFaex | | 20 |.PFaex | | 222 00 ()()4,aexaexc 2222 0 224,ae xc 22 2 02 2 . ca x e 0 ,a

13、xa 22 2 2 2 0. ca a e 焦半径公式焦半径公式 2 . 2 e 1212 0PFPFFPF P 0000 (,) (,)0 xc yxc y 224 2 02 2 . a ca x c 0 ,axa 224 2 2 2 0 a ca a c 222 00 xyc 22 00 22 1 xy ab 又又 向量、方程组、不等式向量、方程组、不等式 2 . 2 e 1212 0PFPFFPF P ( cos, sin ) ( cos, sin )0,ac bac b 22 2 2 sin ac c 22222 cossin0acb 2222 sinacc 1 22 2ac 向量、三

14、角函数向量、三角函数 2112 | sinsinsin90 PFPFF F 21 | 2 sinsin PFPF c 1 sinsin c a 1 sincos 1 2 sin() 4 3 (0,)(,) 2424 2 sin()(,1 42 2 sin()(1,2 4 2 ,1). 2 c a 正弦定理、三角函数正弦定理、三角函数 222 22 11 (1)()1. 11 aya aa 2 ,/, OMAB bb kkOMAB aca 45 2 sin 2 2 sin 2 c a 01e 又又 2 1 2 e 2 ,1) 2 x F1 F2 o y P 22 22 5, 4936, xy x

15、y 29 5 x 3 5 3 5 (,) 55 45 2 ,1) 2 3 3 B D F x y O ( ,)2(, )cbxc y 2BFFD 3 ,. 22 b xc y 22 22 3 ()() 22 1, b c ab 2 2 31 ,. 33 c e a 2 2 1. 11 sincos y x 11 0. cossin 3 . 24 又又002,2, 椭圆方程化为椭圆方程化为 椭圆焦点在椭圆焦点在 y 轴上轴上, , 31 (,) 24 【4】已知椭圆】已知椭圆x2sin- -y2cos=1 (02)的焦的焦 点在点在y轴上，则轴上，则的取值范围是的取值范围是 . 【5】(09江苏

16、江苏)如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系 xOy中中, A1, A2, B1, B2为椭圆为椭圆 (ab0)的四的四 个顶点个顶点, F为其右焦点为其右焦点,直线直线A1B2与直线与直线B1F相交于相交于 点点T, 线段线段OT与椭圆的交点与椭圆的交点M恰为线段恰为线段OT的中点的中点, 则该椭圆的离心率为则该椭圆的离心率为_. 2 2 22 1 y x ab 2 75 () 2 (,), b ac ac T acac 直线直线A1B2的方程为的方程为 1, y x ab 直线直线B1F的方程为的方程为 1, y x cb 两者联立解得两者联立解得 则则. . () (,) 2() b ac ac M acac 2 2 22 () 1 ()4() ac c acac 所以所以c2+10ac- -3a2=0, 则则e2+10e- -3=0， 2 75.e 2 2 22 1 y x ab 2 2 22 10 3 0 2 3 (20 10 ) y x Cab ab Fk kCAB AFFBk 已知椭圆 ：的离心率 为，过右焦点 且斜率为的直线与 相交于 、 两点,若 ，则 全国卷 112212 ()()33.A xyB xyAFFByy 设，,解，. ，: 3 23 2 eatct，故设， 222