两个随机变量函数的分布

1、 我们主要讨论两个随机变量的函数的分布我们主要讨论两个随机变量的函数的分布 问题，然后将其推广到多个随机变量的情形问题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布的联合分布 已知时，如何求出它们的函数已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的联合分布的联合分布? 3.5 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 PX=xi ,Y=yj= pij ,

2、(i, j=1,2,) 且二元函数且二元函数z=g(x, y)对于不同的对于不同的(xi, yj)有不同有不同 函数值，则随机变量函数值，则随机变量Z=g(X, Y)的分布律为的分布律为 PZ=g(xi ,yj)= pij , (i, j=1,2,) 例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数. 解解: )()(rYXPrZP X+Y =r X=0, X+Y =r X=1, X+Y =r X=r, X+Y =r 且诸且诸X=i, X+Y =r ,i=0，1,2, ,r互不相容互不相容 例

3、例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数. 于是有于是有: )()(rYXPrZP r i irYPiXP 0 )()( =a0br+a1br-1+arb0 r i irYiXP 0 ),( 由独立性由独立性 此即离散此即离散 卷积公式卷积公式 r=0,1,2, 解：依题意解：依题意 r i irYPiXPrZP 0 )()(） 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为 21, 21 的泊松

4、分布的泊松分布. 由卷积公式由卷积公式 i=0,1,2, j=0,1,2, ! )( i e iXP i 1 1 ! )( j e jYP j 2 2 r i irYPiXPrZP 0 )()(（） 由卷积公式由卷积公式 r i 0 i - r 2 - i 1 - i)!-(r e i! e 21 r i r e 0 i - r 2 i 1 )( i)!-(ri! r! ! 21 ,)( ! 21 )( 21 r r e 即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布. 21 r =0,1， 例例3 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求 Z=X+Y 的分布

5、的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第二章对服从二项分布的随机变量 所作的直观解释所作的直观解释: 我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法: 同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现 的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p. 若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试 验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的 概率都为概率都为p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验 中事件中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，

6、每次试验中A出现出现 的概率为的概率为p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）为参）为参 数的二项随机变量，即数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p). 3.5.2 连续型分布的情形连续型分布的情形 1. Z=X+Y的分布的分布 例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的的 密度密度. 解解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z) D dxdyyxf),( 这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面. 化成累次积分化成累次积分,得得 zyx

7、 Z dxdyyxfzF),()( yz Z dydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令x=u-y,得得 z Z dyduyyufzF),()( z dudyyyuf),( 变量代换变量代换 交换积分次序交换积分次序 由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的的 概率密度为概率密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzf ZZ ),()()( 以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式. dxxz

8、xfzFzf ZZ ),()()( z Z dudyyyufzF),()( 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘 密度分别为密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzf YXZ )()()( 这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式 . dxxzfxfzf YXZ )()()( 下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度的概率密度 为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度

9、 求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它, 0 10, 1 )( x xf dxxzfxfzf YXZ )()()( 解解: 由卷积公式由卷积公式 10 10 xz x 也即也即 zxz x 1 10 为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它, 0 21,2 10, )( 1 1 0 z z Z zzdx zzdx zf 如图示如图示: 10 10 xz x 也即也即 zxz x 1 10 于是于是 dxxzfxfzf YXZ )()()( 例例3.12 设设X和和Y是两个独立的随机变量，它们是两个独立的随机变量，它们 都服从都服从N(0,1

10、),其概率密度分别为其概率密度分别为 ),()( 2 2 2 1 x X exf ),()( 2 2 2 1 y Y eyf 和和 求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。 解解 由卷积公式知，由卷积公式知， dxxzfxfzf YXZ )()()( dxee xzx 22 22 2 1 )( dxee z x z 2 2 24 2 1 )( 得得令令, 2 z xt dxeezf t z Z 2 2 4 2 1 )( 4 2 2 1 z e . )( 2 2 2 22 4 22 1 2 1 z z ee 用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),( 2 2 2 121 NYXZ 若若X和

11、和Y 独立独立, ),(),( 2 22 2 11 NYNX 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立个独立正态正态随机变随机变 量之和的情形量之和的情形. 即有：若即有：若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2). 常数及有限个独立正态变量的线性组常数及有限个独立正态变量的线性组 合仍然服从正态分布合仍然服从正态分布. 更一般地更一般地, 可以证明可以证明: 定理：设定理：设）相相互互独独立立，（niX i ,21 为常数，为常数，和和 iiii baNX),( 2 ， ii n i Xba

12、Y 1 则则 ).,( 2 1 2 1 i n i i n i ii bbaNY 例如，设例如，设X、Y独立，都服从正态分布，独立，都服从正态分布， ),(),( 22 2150 NYNX 服从正态分布，且服从正态分布，且 则则 3X-4Y+1也也 .,)( 2222 245311403143 NYX ).,(2895143NYX 即即 或或 ).,( 2 175143NYX 从前面例从前面例4可以看出，可以看出， 在求随机向量在求随机向量(X,Y) 的函数的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其的分布时，关键是设法将其 转化为转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而在一定范围内取值

13、的形式，从而 利用已知的分布求出利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布. 若每一个问题都这样求，是很麻烦的若每一个问题都这样求，是很麻烦的. 下下 面我们介绍一个用来求随机向量面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的函数 的分布的定理的分布的定理 . 对二维情形对二维情形,表述如下：表述如下： 2.假定变换和它的逆都是连续的假定变换和它的逆都是连续的; 3. 假定偏导数假定偏导数 i i y h 1. 设设y1=g1(x1,x2), y2=g2 (x1,x2)是是 到自身的到自身的 一对一的映射一对一的映射, 即存在定义在该变换的值域上即存在定义在该变换的值域上 的逆变换的逆变换

14、: x1=h1(y1, y2), x2=h2(y1, y2) 2 （ i=1,2, j=1,2 ） 存在且连续存在且连续; 定理定理 设设(X1,X2)是具有密度函数是具有密度函数 f (x1,x2)的连的连 续型二维随机变量续型二维随机变量, （略）（略） 4假定逆变换的雅可比行列式假定逆变换的雅可比行列式 则则Y1,Y2具有联合密度具有联合密度 w(y1,y2)=|J | f(h1(y1,y2), h2(y1,y2) （*） 0),( 2 2 1 2 2 1 1 1 21 y h y h y h y h yyJ 即即 J (y1,y2)对于在变换的值域中的对于在变换的值域中的(y1,y2)

15、是不是不 为为0的的. 例例6 设设(X1,X2)具有密度函数具有密度函数 f (x1,x2). 令令 Y1= X1+X2，Y2= X1- -X2 试用试用f 表示表示Y1和和Y2的联合密度函数的联合密度函数. 故由故由(*)式式,所求密度函数为所求密度函数为 解解: 令令y1= x1+x2, y2= x1- -x2，则逆变换为，则逆变换为 , 2 21 1 yy x , 2 21 2 yy x 02/1 2/12/1 2/12/1 ),( 21 yyJ ) 2 , 2 ( 2 1 ),( 2121 21 yyyy fyyw 有时，我们所求的只是一个函数有时，我们所求的只是一个函数 Z= g(

16、X,Y)的分布的分布 . 一个办法是：一个办法是： 对任意对任意 z, 找出找出Z z在在(x,y)平面上对平面上对 应的区域应的区域g(X,Y) z，记为，记为D. 求出求出Z的分布函数的分布函数. 然后由然后由 ,),()( D dxdyyxfzZP 2.Z=X/Y的分布的分布 x y x=yz G1 G2 )()()(z Y X PzZPzFZ zyx dxdyyxf / ),( ,/0yzxzyxy 时时，当当，区区域域 1 G ,/0yzxzyxy 时时，当当，区区域域 2 G 12 ),(),()( GG Z dxdyyxfdxdyyxfzF 0 0 ),(),( yz yz dx

17、yxfdydxyxfdy 0 0 ),(),( z z uyx duyuyfydyduyuyfydy 0 0 ),(),( z z uyx duyuyfydyduyuyfydy z z dyyuyyfdudyyuyyfdu 0 0 ),(),( dudyyuyyfdyyuyyf z ),(),( 0 0 dudyyuyfydyyuyfy z ),(),( 0 0 dudyyuyfy z ),( .),()( dyyzyfyzf Z 所以所以 当当X与与Y独立时，有独立时，有 .)()()( dyyfzyfyzf YXZ 例例3.14 设设X和和Y相互独立，且服从同一分布，其概率相互独立，且服从

18、同一分布，其概率 密度为密度为 1000, 0 1000, 1000 )( 2 x x xxf 求求Z=X/Y的概率密度。的概率密度。 解解.)()()( dyyfzyfyzf YXZ 因为因为 1000 0 1000 1000 y z y yz ,1000 1000 1000 1 y y yz z时时，当当 ,1000 1000 1000 10 yz y yz z时，时，当当 ,1000 1000 1000 1 y y yz z时时，当当 所以所以 dyyfzyfyzf YXZ )()()( 1000 2222 /1000 222 1, 2 110001000 10 , 2 11000100

19、0 0, 0 z z dy yzy y zdy yzy y z z 3、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，它是两个相互独立的随机变量，它 们的分布函数分别为们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),我们来我们来 求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数. 又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y) 的分布函数为的分布函数为: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz) =P(Xz)P(Yz) =P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于

20、不大于z等价于等价于X和和Y都都 不大于不大于z，故有，故有 分析：分析： P(Mz)=P(Xz,Yz) 类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是 下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz) FN(z)=P(Nz) =1- -P(Nz) =1- - P(Xz)P(Yz) 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和 N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数. )(xF i X (i =0,

21、1，, n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相 同分布函数同分布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: FM(z)=F(z) n )(1 1)( 1 zFzF XN )(1 zF n X )()( 1 zFzF XM )(zF n X FN(z)=1-1-F(z) n 若若X1,Xn是连续型随机变量，在求得是连续型随机变量，在求得 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布的分布 函数后，不难求得函数后，

22、不难求得M和和N的密度函数的密度函数. 当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数 F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n 解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n) =P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n) n k kn pqpq 1 11 1 1 11 n k kn pqpq q q qp n n 1 1 12 q q qp n n 1 1 1 12 )2( 11 nnn qqpq 记记1-p=q 例例8 设随机变量设随机变量X1,X2相互独立相互独立,并且有相同的几并且有相同的几 何分布何

23、分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 . n=1,2, 解二解二: P(Y=n)=P(Yn)- -P(Yn-1) 2 1 1 n k k pq =P(max(X1,X2) n )- -P(max(X1,X2) n-1) =P(X1 n, X2n)- -P( X1 n-1, X2 n-1) 2 1 1 1 n k k pq 22 1 1 q q p n 2 )1 ( n q 2 1 2 1 1 q q p n 21 )1 ( n q )2( 11 nnn qqpqn=1,2, 例例 XE(1),YU(0,2),

24、U=max X, Y, V=min X,Y, 求求U、V的密度函数。的密度函数。 解解 , 0, 0 0, )( x xe xf x X 其其他他, 0 20 , 2/1 )( y yfY )()()(zFzFzF YXU , 0, 0 0,1 )( x xe xF x X 其其他他, 0 20 , 2/ 2, 1 )(yy y yF Y 0, 0 20),1( 2 2,1 z ze z ze z z )()()(zFzFzF YXU 0, 0 20),1( 2 1 2 1 2, )( z zze ze zf z z U , 0, 0 0,1 )( x xe xF x X 其其他他, 0 20

25、 , 2/ 2, 1 )(yy y yF Y , 0, 1 0, )(1 z ze zF z X 其其他他, 1 20 , 2/1 2, 0 )(1zz z zF Y 其其他他, 1 20),2/1 ( 2, 0 )(1)(1 zze z zFzF z YX )(1)(1 1)(zFzFzF YXV 其其他他, 1 20),2/1 ( 2, 0 )(1)(1 zze z zFzF z YX 其其他他, 0 20),2/1 (1 2, 1 zze z z 其其他他, 0 20),3( 2 1 )( zze zf z V 例例3.15 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概

26、率密度为 其其他他, 0 10 , 20, ),( 2 yxAxy yxf (1) 确定常数确定常数A； （2）判定）判定X、Y是否相互独立；是否相互独立； （3）计算概率）计算概率);1( YXP （4）求）求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。 ）计计算算概概率率是是否否独独立立；（，）判判断断；（确确定定常常数数32) 1(YXA 的的概概率率密密度度。求求YXZYXP )4(;1 解解 dxdyyxf),(1 2 0 1 0 2dxdy Axy 2 0 1 0 2dy yxdxA , 3 2 3 1 2AA ; 2 3 A （1） （2） 其其他他, 0 20 , 22 3 )( 1 0 2 x x dyxy xf X 其其他他, 0 10 ,3 2 3 )( 2 2 0 2 yydxxy yfY 相相互互独独立立。，所所以以显显然然有有YXyfxfyxf YX ),()(),( （3） 1 ),(1 yx dxdyyxfyxP dxxydy y 2 1 0 1 0 2 3 y=x+1 y=x-1 1 12 1 0 1 0 2 2 3 y xdxdyy. 40 31 （4）dyyfyzfzf YXZ )()()( 10 20 y yz 应应有有 10