函数连续性习题分析

1、第十节、闭区间上连续函数的性质第十节、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理 （三）介值定理 （四）应用 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理 （三）介值定理 （四）应用 最值概念最值概念 设设f( (x) )在区间在区间I上有定义，如果存在上有定义，如果存在x0 0I，使得，使得 对任一对任一xI，恒有恒有 00 ( )()( )()f xf xf xf x 则称则称f( (x0 0) )是函数是函数f( (x) )在区间在区间I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值）. . 注注 (1) 最大值可以等于最小值最大值可以等于最小值 (2) 函数在区间

2、函数在区间I上可能取不到最值上可能取不到最值 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的 最大值和最小值最大值和最小值. . 定理定理 几何意义几何意义 abx o y 1 2 定理的条件是重要的定理的条件是重要的 l注注 u例例 y= =x 在在( (1,2)内内 xo y 12 213 11 101 xx x xx y 在在 0,2 上上xo y 12 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理 （三）介值定理 （四）应用 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理 （三）介值定理 （四）应用 设函数设函数f( (x) )在

3、闭区间在闭区间 a,b 上连续，且上连续，且f( (a) )与与f( (b) )异号（即异号（即 f( (a) )f( (b)0) )，则在开区间，则在开区间( (a,b) )内至少有一点内至少有一点使使f( ()=)=0. . 定理定理 几何意义几何意义 如果连续曲线弧如果连续曲线弧y= =f( (x) )的两个端点的两个端点 位于位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧轴的不同侧，那么这段曲线弧 与与x轴至少有一个交点轴至少有一个交点. . xo y a b 如果如果x0 0使使f( (x0 0)=0)=0，那么，那么x0 0称为函数称为函数f( (x) )的零点的零点. . （一）有界性与最大值

4、最小值定理 （二）零点定理 （三）介值定理 （四）应用 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理 （三）介值定理 （四）应用 设函数设函数f( (x) )在闭区间在闭区间 a,b 上连续，且在这区间的端点取上连续，且在这区间的端点取 不同的函数值不同的函数值f( (a)=)=A及及f( (b)=)=B，则对于，则对于A与与B之间的任意之间的任意 一个数一个数C，在开区间，在开区间( (a,b) )内至少有一点内至少有一点使得使得 f( ()=)=C ( (a b) 定理定理 几何意义几何意义 A b xo y a )(xfy B C 连续曲线弧连续曲线弧y= =f( (x) )与水平直线

5、与水平直线y= =C至少至少 相交于一点相交于一点. . 推论推论 在闭区间在闭区间 a,b 上连续的函数上连续的函数f( (x) )的值域的值域 为闭区间为闭区间 m,M,其中其中m与与M依次为依次为f( (x) ) 在在 a,b 上的最小值与最大值上的最小值与最大值. . （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理 （三）介值定理 （四）应用 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理 （三）介值定理 （四）应用 u例例 u例例 014 23 xx 证明方程证明方程 有一个实根有一个实根. . 在区间在区间(0,1)内至少内至少 ),( 若若f (x)在在 内连续内连续,且且)(l

6、imxf x 存在存在, ,则 则 内有界内有界. .f (x)在在),( 函数的连续性习题课函数的连续性习题课 一、内容小结 二、题型练习 函数的连续性习题课函数的连续性习题课 一、内容小结 二、题型练习 连续的概念连续的概念 定义定义注意注意优点优点 y x 0 lim 0)()(lim 00 0 xfxxf x 是变量是变量x 直观、直观、 便于分析便于分析 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx )( 0 xf 左连续左连续 右连续右连续 三个要点三个要点便于应用便于应用自然、自然、 , 0 0 当当 | 0 xx时时 | )()(| 0 xfxf x可以等于可以等于

7、0 x清晰、便于论证清晰、便于论证 间断的概念与分类间断的概念与分类 u概念概念 在在处没有定义处没有定义 )(xf 0 x 在在处有定义处有定义 )(xf 0 x )(lim 0 xf xx 存在存在在在处有定义处有定义 )(xf 0 x )(lim 0 xf xx 不存在不存在但但 )()(lim 0 0 xfxf xx 但但 u分类分类 间断点间断点 和和)( 0 xf)( 0 xf 都存在都存在 第一类间断点第一类间断点 和和)( 0 xf)( 0 xf 至少一个不存在至少一个不存在 第二类间断点第二类间断点 )()( 00 xfxf可去间断点可去间断点 )()( 00 xfxf跳跃间

8、断点跳跃间断点 无穷间断点无穷间断点 振荡间断点振荡间断点 初等函数的连续性初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续 连续函数经过复合运算仍连续连续函数经过复合运算仍连续 连续函数经过四则运算仍连续连续函数经过四则运算仍连续 初等函数初等函数 在其定义区间内连续在其定义区间内连续 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 u有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理 u零点定理与介值定理零点定理与介值定理 函数的连续性习题课函数的连续性习题课 一、内容小结 二、题型练习 函数的连续性习题课函数的连续性习题课 一、内容小结 二、题型练习 二、题型练习二、题

9、型练习 （一）辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 二、题型练习二、题型练习 （一）辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 (1) (6) (2)(xf在在 0 x处连续，处连续，)( xf在在 0 x处也连续处也连续. . (3)( xf在在 0 x处连续，处连续，)( xg在在 0 x处不连续处不连续 )()(xgxf 在在 0 x处一定不连续处一定不连续. . (4)( xf在在 0 x处不连续，处不连续， )(xg在在 0 x处不连续处不连续 )()(xgxf 在在 0 x处一定不连续处一定不连续.

10、. )(xf在在 ba,上不连续，则上不连续，则)( xf在在 ba,上无界上无界(5) 一切初等函数在其定义域内连续一切初等函数在其定义域内连续. . u例例1 1判断下列说法的正确性判断下列说法的正确性 )(xf在在 0 x处连续，处连续，在在 0 x处也连续处也连续. .| )(|xf 二、题型练习二、题型练习 （一）辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 二、题型练习二、题型练习 （一）辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 找间断点找间断点 初等函数初等函数 分段函数分段函数 无定义的点无定义的点 分

11、段点（嫌疑）分段点（嫌疑） 判类型判类型 求极限求极限 求连续区间求连续区间 有定义的开区间有定义的开区间 讨论分段点的连续性讨论分段点的连续性 合并合并 间断点间断点 间断点间断点 无定义的点无定义的点 思路思路 u例例2 xx xx xf 1 1 1 1 11 )( 确定下列函数的间断点确定下列函数的间断点, ,判断类型判断类型, ,并求连续区间并求连续区间 讨论全面讨论全面 xx xx xf )( sin)( )( 1 1 2 讨论左右极限讨论左右极限 1 ( ) ln f x x x=0=0也是间断点也是间断点 (1) (2) (3) 0 1 1 sin)1ln( 0 sin )( 2

12、 3 x x x x x xx xf 11 1 2 cos )( xx xx xf u补补1 1 01 0 sin )( x x x x xf 确定下列函数的间断点确定下列函数的间断点, ,判断类型判断类型, ,并求连续区间并求连续区间 x xf 1 arctan)( x x xf 2tan )( 12 12 )( 1 1 x x xf (4) (5) (1)(2) (3)(4) 二、题型练习二、题型练习 （一）辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 二、题型练习二、题型练习 （一）辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （

13、五）证明题 u例例3 3 确定常数确定常数a, ,b使函数使函数 0 1 1 ln 1 01 0 cos1 sin )( x bxx x x x ax xf 在在x=0=0处连续处连续. . u补补2 2 确定常数确定常数a, ,b使函数使函数 10 0 01 11 )21ln( )( 2 xbx xa x xx x xf 在在x=0=0处连续处连续. . u例例4 4 设设 1 1 x x a x xf)( 0 0 2x x x b xg)( 确定确定a, ,b使使)()(xgxf 在在),( 内连续内连续. . u例例5 5 设设 2 1)(,lim)(xxg nn nn xf xx xx

14、 n 讨论复合函数讨论复合函数)(xgf在在 内的连续性内的连续性. . 及及)(xfg),( u例例6 6讨论讨论 nn nn n xx xx xf 2 lim)(的连续性的连续性. . u例例7 7 u补补3 3讨论讨论 xxx x xf nn n n 112 12 1 lim)(的连续性的连续性. . 设设, 1 lim)( 2 212 n n n x bxaxx xf确定常数确定常数a, ,b使使)(xf 在在内连续内连续. .),( 二、题型练习二、题型练习 （一）辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 二、题型练习二、题型练习 （一）辨析题

15、 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 u例例8 8 u例例9 9 设设 bx aea xf 1 )(a, ,b为常数为常数 确定常数确定常数a, ,b的正负并求的正负并求 lim ( ). x f x , 0)(lim xf x 在在内连续内连续, ,),( 且且 有无穷间断点有无穷间断点 设设 )( )( 1 xx ae xf x 0 x 及可去间断点及可去间断点 试求常数试求常数a的值的值. . , 1 x 二、题型练习二、题型练习 （一）辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 二、题型练习二、题型练习 （一）

16、辨析题 （二）间断点的判定 （三）分段函数的连续性 （四）确定常数 （五）证明题 ( (五五) ) 证明题证明题 1连续的概念 2闭区间上连续函数的性质 ( (五五) ) 证明题证明题 1连续的概念 2闭区间上连续函数的性质 u例例1010 u例例1111 u补补4 4 设设 x exf )( 在在 0 x 处连续处连续, , 证明证明 )(xf在在 内连续内连续. . ),( )()()(R, 212121 xfxfxxfxx 设设)(xf在在 0 x 处连续处连续, , 证明证明 )(xf在在 内连续内连续. . ),( 在在)(xf )()()(R, 212121 xfxfxxfxx 设

17、设 0 x 处连续处连续, , 证明证明 )(xf在在 内连续内连续. . ),( ( (五五) ) 证明题证明题 1连续的概念 2闭区间上连续函数的性质 ( (五五) ) 证明题证明题 1连续的概念 2闭区间上连续函数的性质 2 2闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质 （1）有界性与最值性 （2）零点定理 （3）介值定理 2 2闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质 （1）有界性与最值性 （2）零点定理 （3）介值定理 u例例1212 u补补5 5 证明证明 BxfAxf bxax )(lim,)(lim 设设)(xf在在内连续内连续, , )(xf在在),(ba内有界内有界. . )

18、,(ba 设设)(xf在在内连续内连续, ,),( aBxfAxf x ax )(lim,)(lim 证明证明)(xf在在),( a内有界内有界. . 2 2闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质 （1）有界性与最值性 （2）零点定理 （3）介值定理 2 2闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质 （1）有界性与最值性 （2）零点定理 （3）介值定理 （2 2）零点定理）零点定理 u例例1313 证明证明01 xxsin在在 22 , 内至少有一个实根内至少有一个实根. . u例例1414 证明奇次多项式证明奇次多项式 )()(0 012 2 1 12 0 aaxaxaxp n nn 至少有一个实根至少有一个实根. . 方程根的存在性方程根的存在性 （2 2）零点定理）零点定理 构造辅助函数构造辅助函数 u例例1515 u例例1616 u补补6 6 设设)(xf在在2 , 0a 证明证明 上连续上连续, ,)()(aff20 ( )