第十讲数列求和及数列的综合应用

1、第十讲 数列求和及数列的综合应用1(等差数列的前n项和)(2013上海高考)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn_.【解析】 设SnAn2Bn，则有解得故Snn2n.【答案】 n2n2(裂项求和)数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数n_.【解析】 由an，所以a1a2an(1)()()10，即110，即11，解得n1121，n120.【答案】 1203(错位相减法求和)化简Snn(n1)2(n2)2222n22n1的结果是_【解析】 Snn(n1)2(n2)2222n22n1，2Sn2n(n1)22(n2)2322n12n，两式作差Sn2n2n12n2

2、2n2n12n.【答案】 2n12n4(数列的通项公式)如果数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为3的等比数列，则an_.【解析】 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1).【答案】 5(数列的实际应用)(2013江西高考)某住宅小区计划植树很多于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_【解析】 每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.因为2664,27128，则n17，即n6.【答案】 6裂项相消法求和 (2013潍坊模拟)已知数列an

3、的各项排成如图321所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7，构成等差数列bn，Sn是bn的前n项和，且b1a11，S515.图321(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a916，求a50的值(2)设Tn，当m1,1时，对任意nN*，不等式t22mtTn恒成立，求t的取值范围【思路点拨】 (1)先求bn及公比q，再确定a50在数阵中的位置，再根据等比数列求a50.(2)先用裂项法求Tn，再利用导数求Tn的最大值，最后把问题转化为关于m的函数求解【自主解答】 (1)因为bn为等差数列，设公差为d，b11，S515，

4、所以S5510d15，d1，所以bn1(n1)1n.设从第3行起，每行的公比是q，且q0，a9b4q2,4q216，q2，123945，故a50是数阵中第10行第5个数，则a50b10q41024160.(2)因为Sn12n，所以Tn22.令f(x)(x1)，f(x)，当x1时，f(x)0，f(x)在1，)上为减函数，所以Tn为递减数列，Tn的最大值为T1.所以不等式变为t22mt30恒成立，设g(m)2tmt23，m1,1，则即解得t3或t3.即t的取值范围为(，3)(3，)1裂项相消法求和主要应用在数列通项公式为分式结构时，其关键在于裂项后系数的确定2裂项求和的几种常见类型：(1)()；(

5、2)()；(3)()；(4)若an是公差为d的等差数列，则()变式训练1 等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和【解】 (1)设数列an的公比为q.由a9a2a6，得a9a，所以q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故数列an的通项公式为an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2()，2(1)()().所以数列的前n项和为.错位相减法求和 (2013山东高考)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1

6、.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，且Tn(为常数)，令cnb2n(nN*)，求数列cn的前n项和Rn.【思路点拨】 (1)利用等差数列的通项公式，前n项和公式，建立方程组求解(2)由已知求Tn，进而求bn，cn，用错位相减法求cn的前n项和【自主解答】 (1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S44S2，a2n2an1，得解得所以an2n1，nN*.(2)由题意知Tn，所以当n2时，bnTnTn1.故cnb2n(n1)n1，nN*.所以Rn00112233(n1)n1，则Rn011223(n1)n.两式相减得Rn1234n1(n1)n(n1)nn，整理得Rn. 所以数列cn的前n项和Rn.1错位相减仅仅实现求和的途径，其本质是相减后利用等比数列求和公式求和在构造方程时，Sn的左右两边