学习知识要点-空间直角坐标系

1、第5讲空间直角坐标系知识梳理1右手直角坐标系 右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； 已知点的坐标 P（x,y,z）作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（x 0时）或负方向（x 0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y 0 时）或负方向（y 0时）移动|y|个单位，最后沿x轴正方向（z 0时）或负方向（z 0 时）移动|z|个单位，即可作出点 已知点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与 x轴、y轴、z轴垂直于 代B,C，点 代B,C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b, c，则（a, b, c）就是点P的坐标2、 在x轴上的点分别可以表示

2、为（a,0,0）, （O,b,O）,（O,O,c），在坐标平面xOy， xOz， yOz内的点分别可以表示为 （a,b,0）, （a,0,c）, （0,b,c）;3、点P（a,b,c）关于x轴的对称点的坐标为（a, b, c）点P（a,b,c）关于y轴的对称点的坐标为 （a,b, c）；点P（a,b,c）关于z轴的对称点的坐标为（a, b,c）；点P（a,b,c）关于坐标平面xOy的对称点为（a,b, c）；点P（a,b,c）关于坐标平面xOz的对称点为（a, b,c）；点P（a,b,c）关于坐标平面 yOz的对称点为（a,b,c）；点P（a,b, c）关于原点的对称点（a, b, c）。4.

3、已知空间两点 卩（洛，,乙）0匕2, y2, Z2），则线段PQ的中点坐标为(Xi X2 yi 土乙 Z2)5.空间两点间的距离公式已知空间两点P(xn儿zJQ(X2, y2,Z2),则两点的距离为 |PQ|(Xi X2)2 (yi y2)2 (zi Z2)2 ,1222特殊地，点A(x, y, z)到原点O的距离为| AO | ; x y z ；oooo5.以C(xo, yo,zo)为球心,r为半径的球面方程为(x x)(y y)(z z)r特殊地，以原点为球心，r为半径的球面方程为 x2 y2 z2 r2重难点突破重点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两

4、点间的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系重难点：在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1 .借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1 ：点P(a,b,c)到y轴的距离为 解析借助长方体来思考，以点 O,P为长方体对角线的两个顶点，点P(a,b,c)到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为.a2 c22 .将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2:对于任意实数x, y, z,求x2y2z2, (x1)2(y2)2(z1)2的最小值解析在空间直角坐标系中，x2y2 z2. (x 1)2 (y 2

5、)2 (z 1)2 表示空间点(x, y,z)到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的线段长，所以、.x y z (x 1) (y 2) (z 1)的最小值为 、.6。3 禾U用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1) 判断两条相交直线是否垂直(2) 判断空间三点是否共线(3) 得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析考点1:空间直角坐标系题型1:认识空间直角坐标系例1 ( 1 )在空间直角坐标系中,A y轴上的点C .垂直于y轴的平面(2 )在空间直角坐标系中，方程y a表示()B .过y轴的平面D .平行于y轴的

6、直线y x表示A .在坐标平面xOy中，1, 3象限的平分线B.平行于z轴的一条直线C .经过z轴的一个平面D .平行于z轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系，可以类比平面直角坐标系，如在平面直角坐标系坐标系中 方程x 1表示所有横坐标为1的点的集合解析(1) y a表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合，所以 y a表示经 过点(0,a,0)且垂直于y轴的平面(2 )方程y x表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内，1 , 3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系，可以帮助我们认识空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如:经过点

7、(a,0,0)且垂直于x轴的平面上的点都可表示为(a, y,z)题型2：空间中点坐标公式与点的对称问题例2 点P(a, b, c)关于z轴的对称点为 R，点R关于平面xOy的对称点为P?，则P2的坐标为【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点P和P关于z轴对称，所以点P和P的竖坐标相同，且在平面xOy的射影关于原点对称，故点R的坐标为(a, b, c),又因点Pi和P2关于平面xOy对称，所以点P2坐标为(a, b, c)【名师指引】解决空间点的对称问题，一要借助空间想象，二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象，在例2中可以直接得出点 P2为

8、点P(a,b,c)关于原点的对称点，故坐标为(a, b, c)【新题导练】1 已知正四棱柱 ABCDABiGDi的顶点坐标分别为 A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0),A(0,0,5)，则Ci的坐标为 。解析正四棱柱ABCD A, BiCi Di过点A的三条棱恰好是坐标轴，Ci的坐标为(2, 2, 5)2 平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为A( i,i,3), B(3,2, 3),对角线的交点为M (i,0,4)，则顶点C的坐标为 ,顶点D的坐标为 解析由已知得线段 AC的中点为M线段BD的中点也是 M，由中点坐标公式易得C(3, i,5) , D( i, 2,ii)3

9、 已知M(4,3, i)，记M到x轴的距离为a , M到y轴的距离为b , M到z轴的距离为C ,则()C. cab解析借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度。a .10,b. 17,c5，选 C考点2 :空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题 例3 如图：已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点 P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由。【解题思路】转化为距离问题，即证明PA2 AB2 PB2解析设 P(0,0,c) B(0,b,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点 P，假设在Oy轴上存在一点B

10、，使得PAZi LP2 2 2 2(0 1)(0 1) (c 0) (1 0)2(1 b)2 2(0 0) (0 0)2(0 b)2(c 0)则 PA2 AB2 PB22 2即 3 (b 1) b，解得：b 2所以存在这样的点 B，当点B为(0,2,0)时，PA AB恒成立【名师指弓I】在空间直角坐标系中，禾U用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解 决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4 已知A(x,5 x,2x 1),B(1,x 2,2 x)，当代B两点间距离取得最小值时，x的值为()A. 19881914B.C.D.77解析|AB| . (x1)2(32x)2(3x_3

11、)2、14x2 12x 19 . 14(x 8)2 5V778当x 时，I AB I取得最小值2 2 25 已知球面(x 1) (y 2) (z 3)9，与点A( 3,2,5)，则球面上的点与点 A距离的最大值与最小值分别是 。解析球心C(1, 2,3), AC 6，球面上的点与点 A距离的最大值与最小值分别是9和36已知三点 A( 1,1,2),B(1,2, 1),C(a,0,3)，是否存在实数 a，使A、B、C共线？若存 在，求出a的值；若不存在，说明理由。解析AB(一厂1)2一(厂2)2一(2一1)2.14 ,AC(1 a)2(1 0)2(23)2, (a1)22,BC (1a)2(20

12、)2( 13)2, (a1)220,因为BC AB，所以，若 A,B,C三点共线，有 BC AC AB或AC BC AB ,2若BCACAB，整理得：5a18a190,此方程无解；若ACBCAB，整理得：5a18a190,此方程也无解。所以不存在实数a，使A、B、C共线。抢分频道基础巩固训练1 .将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将 x轴与y轴，x轴与z轴所成的角 画成()A. 900 B. 1350 C. 450 D . 75解析：选B2点P(3,4,5)在yoz平面上的投影点 R的坐标是A (3,0,0)B (0,4,5)C (3,0,5)D (3,4,0)解析：两点的纵坐标、

13、竖坐标不变，选B3三棱锥 0 ABC 中，0(0,0,0), A(2,0,0), B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱锥的体积为()D.6解析OA,OB,OC两两垂直，VO ABC4 . (2007山东济宁模拟)设点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，贝U |AB|等于()A . 10B .10C .、38D. 38解析A点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点为B(2, 3, 5),AB . (2一2)23一3)25一5)2105 . ( 2007年湛江模拟)点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P , P关于平面xOz的对称点为巳，则| P巳|=解析R( 1,2, 3),

14、P，(1, 2,3) ,|RP2| 、566 .正方体不在同一表面上的两顶点P (-1 , 2 , -1 ), Q (3 , -2 , 3),则正方体的体积是解析 P,Q不共面，PQ为正方体的一条对角线，PQ 4、3，正方体的棱长为 4,体积为64综合提高训练7 .空间直角坐标系中，到坐标平面xOy , xOz, yOz的距离分别为2, 2, 3的点有A.1个 B.2个 C.4个 D.8个-2 , -2 )、(-3 , 2, 2 )、解析：8 个。分别为(3 , 2 , 2)、(3 , 2, -2 )、( 3 , -2 , 2 )、( 3 ,-2 , -2 )(-3 , 2, -2 )、(-3

15、 , -2 , 2 )、(-3 ,8 .( 2007 山东昌乐模拟角形ABC的个顶点的坐标为A(1, 2,11),B(4,2,3),C(6, 1,4)，则ABC的形状为()A 正三角形B.锐角三角形C.直角三角形D .钝角三角形9 . (2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系 O xyz中有一点A(1,1,2)，点B是平解析C|AB|(14)2(22)2(11 3)289|AC|.(46)2 ( 21)2(11 4)275|BC|(46)2 (21)2(3 4)2、14AC2BC2AB2面xOy内的直线x y 1上的动点，贝U A, B两点的最短距离是(A.6V34B.2.172解析因为点B在xoy平面内的直线x y1上，故可设点 B为(x, x1,0),所以 AB 、(x 1)2( x 2)2(02)2一 2x2 2x 92(x扩所以当1时，AB取得最小值亠4，此时点2 21 1B 为(?0)。xyz，点P在Z10 .如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系 O正方体的对角线 AB上，点Q在正方体的棱 CD上。(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时,探究PQ的最小值;(2)当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时,探究PQ的最小值;解析由