111集合的含义与表示

1、集合论的创立集合论的创立 康托尔康托尔 德国数学家 现代数学的基本语言 简简 洁洁 准 确 1.集合的含义：集合的含义： 把研究对象统称为元素，把一些把研究对象统称为元素，把一些 元素组成的总体叫做集合（简称集）元素组成的总体叫做集合（简称集）. 通常用大写字母通常用大写字母A，B，C表示集合，表示集合， 用小写字母用小写字母a, b，c 表示集合中表示集合中 的元素的元素 元素元素(element)-我们把研究的对象统我们把研究的对象统 称为元素称为元素 集合集合(set)-把一些元素组成的总体叫做把一些元素组成的总体叫做 集合集合, 简称集简称集. 观察下列的对象：观察下列的对象： (1)

2、 120以内所有的质数以内所有的质数 (2)我国从我国从19912003年年13年内所发射的年内所发射的 所有人造卫星；所有人造卫星； (3)金星汽车厂金星汽车厂2003年所生产的汽车；年所生产的汽车； (4) 2004年年1月月1日之前与我国建立外交关日之前与我国建立外交关 系的所有国家。系的所有国家。 (5)所有的正方形。所有的正方形。 新课导入新课导入 (6)到直线到直线L的距离等于定长的距离等于定长d的所有点。的所有点。 (7)我校今年我校今年9月入学的高一的学生全体。月入学的高一的学生全体。 请概括请概括7个个 例子的特例子的特 征征 例例1 1 下面各组对象能否构成集合？ （1）所

3、有的好人； （2）小于2003的数； （3）和2003非常接近的数； （4）方程x210的实数解； （5）满足x28的全体实数。 例题例题 例如，用例如，用A表示表示“120以内所有的质数以内所有的质数”组组 成的集合，则有成的集合，则有3，等等。，等等。 (2)正整数集正整数集(不含不含0)N*(N+) (3)整数集整数集Z (4)有理数集有理数集Q (5)实数集实数集R (1)自然数集自然数集(含含0)N 即非负整数集即非负整数集 4 4、常用数集、常用数集 根据集合中元素个数的多少，我们将集合根据集合中元素个数的多少，我们将集合 分为以下两大类：分为以下两大类： 1.1.有限集：有限集：

4、 含有有限个元素的集合称为有限集含有有限个元素的集合称为有限集, , 特特 别，不含任何元素的集合称为空集别，不含任何元素的集合称为空集, ,记为记为 2.2.无限集：无限集： 若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集 5、数集的分类、数集的分类 如果两个集合的元素完全相同，则它们相等如果两个集合的元素完全相同，则它们相等 6、集合的表示方法、集合的表示方法 1、列举法、列举法 就是将集合中的元素一一列举出来就是将集合中的元素一一列举出来 并放在大括号内表示集合的方法并放在大括号内表示集合的方法 注意：注意：1、元素间要用逗号隔开；、元素间要用逗号隔开；

5、 2、不管次序放在大括号内。、不管次序放在大括号内。 例如：例如：book中的字母的集合表示为：中的字母的集合表示为： ，o ，o，() 例例2 、用列举法表示下列集合：、用列举法表示下列集合： （1)1)小于小于1010的所有自然数组成的集合；的所有自然数组成的集合； （2)2)方程方程x x2 2x x的所有实数根组成的集合；的所有实数根组成的集合； （3)3)由由1 12020以内的所有素数组成的集合；以内的所有素数组成的集合； （4 4）以方程）以方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0和方程和方程x x2 2-x-2=0-x-2=0的解的解 作为元素构成集合。作为元素构成集合。

6、描述法：用描述法：用集合所含元素的共同特集合所含元素的共同特 征征表示集合的方法称为表示集合的方法称为描述法描述法 例例3 、用描述法表示下列集合、用描述法表示下列集合 1，3，5，7，9 -2，-4，-6，-8，-10 x|x=2n-1,nN且且n5 x|x=-2n,nN且且n5 解：解： 例例4 若若-3a-3,2a+1,a2+1,求实数求实数a的值的值. 例例5 已知已知M=2,a,b,N=2a,2,b2,且且M=N 求求a,b的值。的值。 例例6 求集合求集合3，x,x2-2x中，元素中，元素x应满足的条件。应满足的条件。 能力提高题能力提高题 补充练习 1.方程组 的解集用列举法表示

7、 为_；用描述法表示为 . 2. 用列举法表示为 . 2 5 xy xy ( , )|6,x yxyxN yN 随堂练习 回顾交流：回顾交流： 本节课我们学习了那些内容？本节课我们学习了那些内容？ 集合元素的性质：集合元素的性质： 集合的含义：集合的含义： 1、教材P.11.A组第1，2题 选做： 2、若1，a和a,a2表示同一个集 合， 则a的取值为多少？ 思考：方程组 的解集如何表示？ x+y=2 x-y=1 大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和 数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871 、1872年发表三篇关于三角级

8、数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列 （即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴 趣和要求。 1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。 1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数 似乎不能。他在1874年的论文关于一切实代数数的一个性质中证明了他的 估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数 是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分 类的准则。 格奥尔格格奥尔格康托尔康托尔

9、康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡 （今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄 国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年 17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于 E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾 去格丁根学习一学期。 1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲 师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。 康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势

10、”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。 康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在 18791884年发表的题为关于无穷线性点集论文6篇，其中5篇的内容大部分 为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。 他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少 的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证 明。 在1891年发表的集合论的一个根本问题里，他证明了一集合的幂集的基数 较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将 连

11、续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始 终未能给出。 在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877 说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。 19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无

12、穷尽的，无穷只是潜在的， 是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各 种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和 哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文 里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到 戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已 成为数学的基础理论。 他的著作有：G.康托尔全集1卷及康托尔-戴德金通信集等。 康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1 月6日病逝于哈雷。 康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年 入柏林大学