安培环路定理

1、安培环路定理折叠 编辑本段 简介 它的数学表达式是按照安培环 路定理 ，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。安 培环路定理应用如果闭合路径 l 包围着两个流向相反的电流 I1 和 I2（ 如左图所示 ），这在下式中， 按图中选定的闭合路径 l 的绕行方向， B 矢量沿此闭合路径的环流为如果闭合路径 l 包围的电流等值反向 （ 如右图所示 ），或者环路中并没有包围 电流，则 :安培环路定理的证明 （严格证明 ,大图见参考资料的 链接 ） 折叠 编辑本段 证明方法 以长直载流导线产 生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。安培环路定理 应用在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的 环路

2、，可以证明对磁场中这三个环路， 安培环路定理均成立。 折叠 对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内， 以载流导线为圆心作一条半径为r的圆形环路I，则在这圆I，周上任一点的磁感强度 H 的大小为其方向与圆周相切 .取环 路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量 dI ，则 H 与 dI 间 的夹角 ， H 沿这一环路 I 的环流为式中积分 是环路的周长。 于是上式可写成为从上式看到， H 沿此圆形环路的环流 只 与闭合环路所包围的电流 I 有关，而与环路的大小、形状无 关。 折叠 任意环路包围电流 在垂直于长直载流导线 的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路取环路的绕行方向为逆时

3、针方向。 在环路上任取一段线元 dl ， 载流直导线在线元 dl 处的磁感强度 B 大小为 H 与 dl 的夹角 为 ，则 H 对 dl 的线积分为直导线中心向线元的张角为 ， 则有 ，所以有可见， H 对 dl 的线积分与到直导线的距离无 关。那么 B 对整个环路的环流值为上述计算再次说明 H 的环 流值 与环路的大小、形状无关。 折叠 任意环路不包围 电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外 侧作一条如下图所示的任安培环路定理应用意环路I，取环路的绕行方向为逆时针方向。以载流直导线为圆心向环路作 两条夹角为 的射线，在环路上截取两个线元 和 。 和 距 直导线圆心的距离分别为

4、和 ，直导线在两个线元处的磁感 强度分别为 和 。从上图可以看出 ，而 。利用安培环路定 理的证明之二的结论可知折叠 结论 所以有从载流直导线中心 O 出发， 可以作许多条射线， 将环路分割成许多成 对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的 结果， 故 即环路不包围电流时， B 的环流值为零。 安培环路 定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理 相比较， 稳恒磁场中 B 的环流 ，说明稳恒磁场的性质和静电场不同， 静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。 折叠 编辑本 段 计算应用 利用安培环路定理求磁场的前提条件 :如果 在某个载流导体的稳恒磁场中，安培环路定理应用可以找到 一条

5、闭合环路I，该环路上的磁感强度 B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，这样利用安培环路定 理求磁感强度 B 的问题，就转化为求环路长度，以及求环路 所包围的电流代数和的问题，即利用安培环路定理求磁场的 适用范围 :在磁场中能否找到上述的环路， 取决于该磁场分布 的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。 因此，只有下述几种电流的磁场，才能够利用安培环路定理 求解。 1. 电流的分布具有无限长轴对称性 2.电流的分布具有 无限大面对称性 3.各种圆环形均匀密绕螺绕环利用安培环 路定理求磁场的基本步骤 1. 首先用磁场叠加原理对载流体 的磁场作对称性分析 ;2. 根据磁场

6、的对称性和特征， 选择适当 形状的环路 ;3. 利用公式 (1)求磁感强度。折叠 编辑本段磁场种类 长直载流螺线管内的磁场简介用磁场叠加原理 作对称性分析 :可将长直密绕载流螺线管看作由无穷多个共 轴安培环路定理应用的载流圆环构成，其周围磁场是各匝圆 电流所激发磁场的叠加结果。在长直载流螺线管的中部任选 一点 P ，在 P 点两侧对称性地选择两匝圆电流，由圆电流的 磁场分布可知，二者磁场叠加的结果，磁感强度 B 的方向与 螺线管的轴线方向平行。由于长直螺线管可以看成无限长， 因此在 P 点两侧可以找到无穷多匝对称的圆电流， 它们在 P 点的磁场迭加结果与上图相似。由于 P 点是任选的，因此可

7、以推知长直载流螺线管内各点磁场的方向均沿轴线方向。磁 场分布如下图所示。从上图可以看出，在管内的中央部分，磁场是均匀的，其方向与轴线平行，并可按右手螺旋法则判 定其指向 ;而在管的中央部分外侧， 磁场很微弱， 可忽略不计， 即 H=0. 利用安培环路定理可以解得 螺线管内的磁感强度为 具体解的过程根据长直载流螺线管中段的磁场分布特征，可 以选择如下图所示的矩形环路及绕行方向。则环路 ab 段的 dl 方向与磁场 B 的方向一致，即 ;环路 bc 段和 da 段的 dl 方向与磁场B的方向垂直，即 B dl =0;环路d段上的。于 是，沿此闭合路径I，磁感强度B的环流为：因为ab段的磁 场是均匀

8、的， 可以从积分号中提出， 则上式成为 :设螺线管上 每单位长度有n匝线圈，通过每匝的电流是 I，则闭合路径 所围绕的总电流为 nl，根据右手螺旋法则，其方向是正的。 按安培环路定理， 有：注意对于绕得不紧的载流螺线管，其磁场的分布就不是如此。对于绕得不紧的均匀载流螺线管，由 下图可以看到，在靠近导线处的磁场和一条长直载流导线附 近的磁场很相似，磁感线近似为围绕导线的一些同心圆。管 内、外的磁场是不均匀的，仅在螺线管的轴线附近，磁感强 度 B 的方向近乎与轴线平行。 均匀密绕螺绕环的磁场简介对 于如图所示的均匀密绕螺绕环，由于整个电流的分布具有中 心轴对称性，因而磁场的分布也应具有轴对称性，因

9、此，利 用安培环路定理可以解得均匀密绕螺绕环内部的磁场分布 为具体解的过程将通有电流 I 的矩形螺绕环沿直径切开，其 剖面图如下所示。在环内作一个半径为 r 的环路，绕行方向 如图所示。环路上各点的磁感强度大小相等，方向由右手螺 旋法可知 :与环路绕行方向一致。 磁感强度 B 沿此环路的环流 为环路内包围电流的代数和为 。根据安培环路定理，有 :对 均匀密绕螺绕环，环上的线圈绕得很密，则磁场几乎全部集 中于管内，在环的外部空间，磁感强度处处为零，即 B =0 。 如果将长直载流螺线管对接起来，就形成了圆形截面的均匀 密绕细螺绕环，由安培环路定理同样可以解得其内部的磁场 和长直载流螺线管内部的磁场相同，仍为 。无限大均匀载 流平面的磁场简介电流的分布具有无限大面对称性的载流 导体，包括无限大均匀载流平面和无限长的大均匀载流平板。 对无限大的载流平面产生的磁场，同样可以进行对称性分析， 如上右图所示，可以将无限大载流平面的磁场看成是由无穷 多个平行的长直载流导线的磁场叠加而成。每一对对称的直 导线在 P 点的磁场叠加的结果是 :垂直于磁场的分量都相互 抵消，只剩下平行于磁场的分量，故载流平面产生的磁场， 其方向与平面平行，与平面电流成右手螺旋方向。利用安培 环路定理解得磁场的分布。如果无限大载流平面上的电流密 度是j,那么它在周围空间产生的磁场是一个均匀磁场，其 表达式是具体