定比分点地向量公式及的应用

1、定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学(321307)吴汝龙定比分点的向童公式：在平面上任取一点0,设OP=at O = b,若丽二几戸可， 则丽=一：+丄一乙。1 + 2 1 + 2 1 - 1 -特别地，当免=1时，即P为线段斥只的中点，则有OP = -a + -b.- 2 2用定比分点的向量公式，可使有些问題的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比兄的值：例仁 已知A (2,1), B (3,-1)及直线/： y = 4x-5,直线AB与/相交于P点，求P点分而的比兄。解：设P(x,y),则由AP = APB，得1小、 兄“J + 32 1-丸、(x,y) = (2,1) + _(

2、3,-1) = ,),又TP点在直线/上,1-24(1 + 32)=.=J1 + 2 1 + 2 兄=O3例2：如图所示，在MBC中,D为边BC上的点、，且BD = kDCE为AD上的一点,且DE = IEA,延长BE交AC于F,求F分有向线段刃所成的比;I。A解：乔=兄丽，.丽=丄荒+上_丽,1 + 21 + 2又DE = IEA, :,BE=BD+ BA,1+1 1+1而BD = kDC =BC,1 + K丑而待荒+ 臥B、E、F共线，设BE = tBF ,而/丽 =J-BC+-BA1 +兄 1 +兄,1 + 2(1 + /)(1 + R),解得q=/(1 + R)。At _ Ik.i+I

3、_T+7二、求立线上点的坐标例3：已知点A(-l-l), 3(2,5),点C为直线AB上一点，JLAC = -5BC ,求C点的坐标。分析：先求出C点、分屈的2的值，再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。解：疋 =一5荒，2 = 竺 =5,CB利用定比分点的坐标公式有OC = 1oA + 25b = 1(-1-1) + -(2,5) =6 6 6 63C点的坐标为(-,4)2 2同理由AD = 3AB得入=聖 =一2, DB 2根据定比分点的向量公式有龙 =-OA + -OB,1 + 石1 + 2:31 A (x2,y2) = jx(2,3) + 气x(-1,5) = -2x (2,3) +

4、 3x(-1,5) = (-7,9)点C的坐标为(l,y) , D点的坐标为(-7,9) o三、证明三点共线例 5：已知点 A(a,b + c) , B(b,c + a) , C(c,a + b),求证：A、B、C 三点共线。证明：设Cc,y)在殛上，C分廳的比为兄，则11+1( + G(b,c + a)a + Ab Aa + b +Ac+ c(1 + 兄1 + 2a + Ab1 + 2Aa + b +Ac+ c1+1解得 0,由定比分点公式有OP = OA + OB = (3,3) + (-1,5) =,1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 + 21 + 2 1 + 2而P点在函数y =

5、kx+1图象上，3 + 52, 3-2 .=k+ 1,1 +A1 + 2解得2 =羊二2,R + 4壮一？7乞20,即k-或4,R + 43而当P点与B重合时，k=r也适合。2k 0 ,2a-3- “p 4 .3: 0 ,解得 a -t3a + 4324 3a o3 2五、解决平面几何问题：AP例8:如图所示，在平行四边形ABCD中，P点在线段AB上，且=加，Q在线段AD 上，且些 = ，BQ与CP相交于R,求空的值。QDRC分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。解：设BA = a, BC = bt PR = ARC ,免=丄丽+丄丽=丄：+旦(：+初=二 丄匚

6、又B、R、Q三点共线，存在实数f使BQ=tBR,(1 + 2X1 + 加)n1 + 77巴,即竺=!(1 + in)(l + n) RC (1 + ?w)(l + n)例9 :设直角三角形 AOB斜边的三等分点为D、E o求证2OD2 +OE2 +DE2=-AB2O分析：以0为原点、，丽为x轴正向建立直角坐标系，设OA = (afi), 03 = (0,b),用a, b表示相关线段的长 度，从而证明命题。证明：以直角顶点0为原点，直角边OA、0B所在直线 为x轴，y轴建立直角坐标系，如图设点 A(a,0)，点 B(0,b), D(x, y) 1则D分AB的比为A = -,2西=丄页+丄丽=1

7、+ 21 + A由定比分点的向量公式得j- (a,0) + 2 (0, b) = (b)1 + - 1 + - 5 52 22点D坐标为(-a,-b)1 2 同理点E坐标为(a,b),3 3由两点间距离公式，得|叭=OE2=a2 4b2+99OE2=a2 b2一 + 99777:.OD2+OE2+DE |2=尹 + 尹詣e + 巧 而 a2 + b2 =| AB |2,2:.OD2 +OE2 +DE2=AB2.例10：如图，已知MBC,求证：MBC的三条中线AD、BE、CF相交于一点G,且也=些=竺=2。AD BE CF 3分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为向量，可以在平面内任取一点0为向量的始点，将丽、0B . 龙设出。OB = b, OC = c,又设 q 为 AD 上证明：如图，在平面内任取一点0, iOA = aA一点，且 AG=2GZ),贝4OG=OA + OD1 1+2 1+2= LoA + loD = La + -OD3333.1* fTD为BC中点，OD=(b + c), 1 - 2 1 - - OG. = 一 d + -x-(b + c) = -(a + b + c),133 23同样，若设Ba=2GE, CGl =