随即1-7题及答案

1、题库(1)一、判断题(共10小题，每小题1分，共10分)1、随机变量的均值反映了它取值的离散程度，它的方差反映了它取值的平均值。 (x)2、如果一个随机过程是各态历经过程，那么它一定是广义平稳的。(j)3、窄带随机过程的正交分量和同相分量在同一时刻是相互独立的。(x)4、白噪声通过一个线性系统，它的输出服从瑞利分布。(x)5、正态随机信号通过任何线性系统，输出都服从正态分布。(j)6、随机信号通过线性系统不会产生新的频率分量，但随机信号通过非线性系统则可能会产生新的频率分量。(j)7、随机信号的复信号表示的功率谱在正频率部分是该随机信号功率谱的两倍，在负频率部分则为零。(j)8、非线性系统普遍

2、具有“欺负”小信号的特点。(x)9、对于严格平稳随机过程，不相关和独立是等价的。(j)二、证明1证明由不相关的两个任意分布的随机变量4、b构成的随机过程x) = 4cos供/ + 5sin/是宽平稳而不一定是严平稳的。其中gf为常数，a、b的数学期望为零，方差相同。证：ex(o = eacosco0t + ebsni= 0证明：rx(t,t + t) = e(acos/f + 3sin/f)(acos/(f + r) + 5sin/(f +7)=ea2 cosco0t cos cot + t) + ab cos 知sin coq(t + r)+ ab siii coqt cos /(/ + r

3、) + 5, sin gf sin coq(t + r)=七a cosg/ cosg(/ + r) + eaebc os a)qt sm coq(t + r) + faebsm co0tcosco0(t + r)+ eb2 snisni a)q(t + r)2=ea2 cos coqt cos (f + r) + sin a)otsui a)0(t + r)(ex2 = dx + (ex)2 ) =cos/t,ex2(f)&),式中是常数，x#)是平稳过程，并且相互;=1之间是正交的，若sxgy)表示x#)的功率普密度，证明x)功率谱密度为sx3)=尤a；sxi()证：因xj)是平稳过程，并且

4、相互之间是正交的, 1=1号)=手 j。证明：&) = ex(f)x(f + r)=可+ 工)=1=i=fa 旧 xxjq + 初=a;rxi(t) r=li=lsx(=j 。泳式-”空式助-8-x f=li=l三、计算题1有三个样本函数占=2,x2(t) = 2cosf,芭(f) = 3sinf组成的随机过程x(t),每个 样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？解：x(t) = xl (r), x2 (t), x3 (t) = 2,2 cosf,3 sui t；匕=1=月=g31塌乂0) = 5 = -(2 + 285，+ 3511。)由于数学期望与时间相关，不为常数， =1

5、3因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。2已知随机过程x(/) = acos(d + 0),为在0,2乃内均匀分布的随机变量，a可能是常数、时间函数或随机变量。a满足什么条件时，x(f)是各态历经过程？解：(1)考查xt为平稳过程的条件在a为常数或与不相关的随机变量时，满足仇 x(/)=0rx (/,/ + r) = ex(t)x(t + r)= ea2 cos(zx + 0)cos co(t + r) + 0= gfaecosqd + 20 + 口7)+ ecoscot=ea2coscot=rx(r)(2)考查x(/)为各态历经过程的条件在a为常数或与不相关的随机变量时，满足一

6、 1 7ci 7cax(j) = inn i x(t)dt = inn acos胸 + r/一/x(/)x(r + r) =11111 -j-jx(r)x(r + r)dt = 11111 -i- i, a2 cos(d + 0)cosy(/ + r) + pdt / /t a2=hill 7 j cosqojt + 20+ cot) + cqscotydt 一 ra =cos5只有在a为常数时，满足x(f)x(f + r)= ax(r)。欲使x(f)是各 2态历经过程，a必为常数。3平稳高斯过程x)的自相关函数为hx) = ge-kl,求x(f)的一维和二维概率 密度。解： =8)= 111

7、11/)=山口6+1 = 0； mx = 0；= rx(0)-rx(|/?y(r)|, (a)中仅有(2)、(3)、(6)满足；(c)对于非周期平稳过程有以=勺(0)-8(8)，(b)中仅有(6)满足。因此，(6)是自相关函数。5设两个随机过程x)和丫各是平稳的，且联合平稳?曹式中。为在2r内均匀分布的随机变量，4是常数。他 们是否不相关、正交、统计独立。解：ex（t）=ey（t）=o恳） = &）=今必知*rxy(r) = ex(t)y(t + t) = ecos(foqt + ojsin(4 i + 0力=snidergr(r) = rxyo-七x(r)ey(r) =coor w 0乙x（

8、，）和y（/）是相关的，不是统计独立的;又rxy。）。，x（f）和丫是非正交的。6设正弦随机信号x） = acos（m）,其中an（0,g；）。令 7（0 = x0-0）,且a和。统计独立，求：（1）x（。是否严格循环平稳？（2） x（r）是否广义循环平稳？（3）当。满足什么分布时，丫（。是广义平稳信号？ 解：（1）由厂x （占,4）= px（ti）xi9.x（tn）xn= pxg + 2）wx,x9 + 2）wx/可知,它是严格循环平稳的,循 二&（为,.七%+ 2,乙+ 2）环周期为2。（2）由石x） = 0为常数，周期可为任意值。rxq + jt）/到3（2加+） + 3（皿周期为葭可知

9、，它是广义循环平稳的， 循环周期为1。（3）由定理可知，当。u0, 1时，y（t）是广义平稳信号。题库（2）一、填空1 .假设连续随机变量的概率分布函数为f（x）则f（-8）=o,f（+oo）=12 .随机过程可以看成是一（_随时间t变化的随机变量_）的集合，也可以看成是 （三样本函数）的集合3 .如果随机过程x(t)满足(任意11维分布不随时间起点不同而变化)，则称 x(t)为严平稳随机过程，如果随机过程x(t)满足(均值为常数，自相关函数只与时间差相关)，则称x(t)为广义平稳随机过程4 .如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为(白 噪声)该过程的任意两个不

10、同时刻的状态是(不相关的)5 .宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从 (高斯(标准正态)一分布, 窄带正态噪声的包络服从(瑞丽)分布，而相位服从(均匀)分布26 .分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是_(j巾激响应法,频谱法)7 .若实平稳随机过程相关函数为rx( t )=25+4/( 1+6 t ),则其均值为一(_5或-5_), 方差为(4) 8 .匹配滤波器是一(输出信噪比最大)作为准则的最佳线性滤波器 二、判断1 .若平稳随机过程在任意两个不同时刻不相关，那么也一定是相互独立的2 .如果一个随机过程是各态历经过程，那么它一定是广义平稳的对3 .正态随机信号通过任何线性

11、系统输出都服从正态分布对4 .宽平稳的高斯过程一定是严平稳过程错5 .对于未知的非随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计一定是最大考验估计 对三、计算题1.求随机相位正弦信号x(t) = cos。什到的功率谱密度，为在兀2内均匀分布的随 机变量，。是常数。解：rx (t, t+ t ) =ex(t) x(t+ t )=e cos(coof+0) coscoo(r+ t )+0/ =1/2coscd0 t ；sx(w)= f rx( td t =1/2 f coscoo t e dr = n /2 s (w+coo)-0.oos (w-coo) jn2 .已知随机过程x (t) =e aixi

12、(t),式中a1是常数，xi是平稳过程，并且相互之间是正交的，若sxi (w)表示xi(t)的功率谱密度，证明，x功率谱密度为2sx (w) =e 3i sxi (w)解：因xi(t)是平稳过程，并且相互之间是正交的密度，rij(t)=o, (iwj)nnrx(t)= ex(t) x(t+t)=el aixi (t) e atxi (t+ t ) i-11-1n2n 2=el ai exi(t)xi(t+t)= ybi rxi ( t ) i-li800 nns/o)=j上3行=2阳方(。)oooo f = l7=13 .由x (t)和y (t)联合平稳过程定义了一个随机过程v (t) =x

13、(t) cos(oot+y (t) smo)ot求：(1) x (t)和y (t)和的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平 稳过程。(2)将(1)的结果用到v (t),求以x (t)和y (t)的功率谱密度和互谱密度表 示的的功率谱密度。(3)如果x (t)和y (t)和不相关，那么v (t)的功率谱密度是什么？解：(1) p) = ex(t)cosay + z(r)suifr = x(r) cos(y0r + 瓦f(r)sin(oqt欲使司p(r)与时间无关，不随时间函数cos4/、sin。变化，x(r)和丫的数学期望必须是 ex(f) = 0,er(r) = 0 :4(+1)=现次)咋

14、+力= (r)cosy0r + y(t) smyor x(t + r)cosd?0(r + r) + y(t + r)siiiy0(r + r)=ex(t)x(t + r)cos(y0rcoscy0(r + r) + ex(t)y(t + t)cosq/疝%。+ r)+ ey (f)x (t + r) sin a)qt cos ? (f + r) + ey(f)y (t + r) sin gf sin 4 (r + r)=rx (r) coscos 外(f + t) + &仃(r)cos a)qt sm coq(t + r)+sm a)qt cos coq(t + r) + 号(r)sin 6

15、yorsmd(r + r)在&c) = &q),&t(玲=-时，上式可写作与时间起点无关的表达式：&-(r) = 2?r(r) cos yor + 2?at(r)sin(v01因此，当用x(f) = o,与yq) = 0, &(7)=号,&) = 时，pq)是平稳 过程。(2)对与=2?v(r)coscoqt + &丁(r)sinqr两边同时作傅氏变换：xi rx (r) cos 4 r + &t (r)sm a)qreci rs* (出)=j & (r)e-，&dr = =5 sr (0q ) + sf (ty + g )+3 sat(y-y0) + sat(y+ 3) =s( 3 - 4)

16、+sx 3+4)题库(3)一、填空1 .广义各态历经过称的信号 一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号 不一定是广义各态历经的随机信号2 .具有高斯分布的噪声称为 高斯噪声 具有均匀分布的噪声叫均匀噪声，而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为 白噪声3 .白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4 .平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的 数学期望5 .平稳正态随机过程的任意概率密度只由 均值和 协方差阵确定二、判断1 .随机信号的均值计算是线性计算，而方差则不是线性计算2 .非线性变换不可增加新的频率分量，则线性变换会增加新的频率分量3

17、 .对于零均值的正态随机过程来说，随机信号的解析信号只存在正的三、计算题，1.己知正态平稳随机过程x (t)功率谱密度为gx (w) = (14w2 +14) /(w 4.卜5w +4) (1)求x (t)的均值与方差(2)求x (t)的自相关函数(3)求x (t)的一维概率度求相关时间_凰22提不：e 2 q / ( q +w )解:g%(0)=14+ 14 _ 14a/ + 5co2 +4 # + 4鸟g-尔in = lim/?v(r) = 0 r-= 0ax = %(0)= j均值和方差分别为:mx =0概率密度:n(0,3.5)2 .假设功率谱密度为l/2n的高斯白噪声通过如图所示的r

18、c电路，（1）求输出 y的功率谱密度（2）求输出y的自相关函数ry（t）（3）求输出y的一维 概率密度ct y(t)解：根据电路图可求得rc电路的冲激响应和系统函数分别为h(t) =易知系统是线性时不变的。根据题意：功率谱密度为常数的高斯白噪声是平稳白噪声；即输入是平稳随机过程的，而本系统是物理可实现系统，即当t0ex2(r)2x(0x(f + r) + x2(r + r)0对于平稳过程，有ex2(t) = ex2(t-t)=rx(o) =2/?x(0)2/?x(r)0 =/?x(0)|/?x(r)|2 .试证明x (t=) n(t) cos30t为非平稳随机过程0() = exq + t)x

19、q)=en(t + t) cos coo (z + t)n(t) cos cooz)=rn (t) cos co0(2r + t)+ cos co0t)五、计算，1 .设一个平稳随机序列x (11)的自相关函数为。6 (m),线性系统的单位冲激响应是h (n) =t , no，mvl求输出y (n)的自相关函数及功率谱密度2 .已知一零均值的平稳随机过程输入到图示的低通滤波器(无图)，设该随机过 程的自相关函数为(1) rx(tl,t2)= 8 (tl-t2) =2 (t)(2) rx (t) =2x -e-pt分别求该函数的自相关函数rx ( t )分别求自相关函数 解:由题意可知其冲击响应

20、(0 =八”(，)，其中a = l/rc。则系统的频率响mh （co） = -4 + /（1）有：|(0)广=不cr+ cdgk（0）=（ r、（co）e5dc（1）、 j=| 8（0）e h,rdt = 1j -oo所以飞(工)=j 口（c0）| gx（cd）uedco a -咋| =e 11 9gx(ct)=| rv(co)e jwtcitj -8= %比2时一，c/所以此(t)/?1 (t ) = g 丫( 3 )e-,c，k it2兀_6 广附_且-i-(p/ot)2l a。y=10,说明下列函23 .对于两个均值联合平稳随机过程x (t), y (t)已知。x=5, 数是否可能为他们

21、的自相关函数并说明原因(1) ry (t) =cos (6t) e,tl (2) rx ( t ) =5sm(3 t )/3 t (3) ry ( t ) =6+4e-3t2(4)rx( t ) =5 sm(5 t )(5) r ( t ) =5u (t) e-3t (6) rx (t) =5e-1t12,11对于两个零均值联合平稳随机过程xs和丫，已知送=5尤=10,说明下列函数是否可能为他们的白相关函数,并说明原因。（1） ry 3 = -cos(6r)b q) 号(r) = 6 + 4。-犷(4) 勺()二5(丁)，尸讨(6)r, (r) =3r /?x(r)=5sm(5r) 砥(玲=5

22、6第题库（5）一、 填空1 .按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随即 过程、离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。2 .如果随机过程一任意维概率密度不随时间起点的变化而改变，则称x（t）为严格平 稳随机过程。3 .如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性一，则称该随机过程为各态历经过称。4 .如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态 分布。5 .正态随机过程的任意n维分布，只有由、二阶矩 确定。6 .窄带正态随机过程的相位服从均匀分布,幅度服从任意分布 o7 .随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化 越慢，随机过程相

23、关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短, 过程的取值变化越快,8 .平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为 ，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为 o二、判断题1 .随机变量的均值反应了他的取值统计平均值，它的方差反应了它的取值偏离均值的平均 值。（v）2 .如果一个平稳随机过程的时间平均值等于统计平均值，实际相关函数等于统计相关函数, 那么它是各态历经过称。（v）3 .对于均方连续的随机过程他的每一个样本函数也都是连续的。（x）4 .白噪声通过一个理想的低通滤波器，它的输出过程仍为白噪声，但分布变成了正态分布。 （x）5 .对于平稳正态随机过程的任

24、意n维分布只由它的均值和自相关函数确定。（v）6 .正态随机过程通过非线性系统输出仍为正态分布（x）7 .随机过程的严平稳是指任意维概率与时间无关（x）8 .对于零均值的正态随机过程正交、不相关和独立，3个概念是等价的（v） 三、计算9 .15设两个随机过程xq)和y各是平稳的，旦联合平稳ar) = cos(ry0r+ 0)=sin(gf +)式中，必为在0.2/内均匀分布的随机变量，4是常数。他们是否不相关、正交、统 计独立。解：ex(t) = ey(r) = 0&x(r) = j?r(r) = cosd?0rsinr 丰 07?xt(r) = ex(t)y(t + r) = ecos(%

25、+ 初 sin(% + 初=sincn.(r) = %(7)- ex(t)ey(t)=工和1()是相关的，不是统计独立的;又r.(r) * 0, x(t)和yt是非正交的。四、证明若两个随机过程x和y(t)均不是平稳随机过程，x(t)=a (t) cost, y(t)= b (t) suit,式中 随机过程a (t), b (t)是相互独立的零均值平稳随机过程并有相同的相关函数，证明z(t尸 x (t) +y (t)是广义平稳过程。题库(6)一、 填空1 .如果一零均值随机过程功率谱在整个频域轴上为一常数，则称该随机过程为 白噪声 该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关的 o2 .平稳随机过程

26、信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和 变换法 与级数展开法。3 .窄带正态噪声，加正弦信号在信噪比远小于1的情况下包络趋向什么分布？ 瑞利分布，而相位则趋向什么分布？ 均匀分布 o4 .典型的独立增量过程有 泊松过程 和 维纳过程5 .对于无偏估计而言 均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(cramer-rao)下限 达到这个量的估计称为有效估计。二、多选题1 .x为x.)希尔伯特变化，下列表示正确的是(acd a)a. .x(t)与.x(t)功率谱相等b. rx ( t ) =rx ( t )c.x(t)=x(t)&) 1/ntd.x(t)与.x(t)在同一个时刻相互正交2

27、 .白噪声通过理想低通线性系统，下列性质正确的是(ac )a.输出随机信号的相关函数与系统带宽成反比b输出随机信号的相关函数与系统带宽成正比c系统带宽越窄，输出随机过程越缓慢d系统带宽越窄，输出随机过程越缓慢剧烈3 .设平稳随机序列x(n)通过一冲激响应h (n)线性系统，其输出用y (n)表示，那么下列 正确的是(ad rf 8a.ey(n)= ex(n) l h (k)b. rxy(m) =rx (m) gh (m)n=_ ooc. ryx (m)= rxy(m)d. ry(m)= ryx (m) h (-m)三、判断1 .随机信号的均值计算是线性运算而方差则不是线性运算t2 .如果随机过

28、程即时间平均和集合平均是依概率1是相等的，则该随机过程具有便力性f3 .平稳随机信号在-8时刻起加入物理可实现线性系统，即输出为平稳随机信号；平稳随 机信号在t=-8时刻起加入物理不可实现线性系统，即输出为非平稳随机信号f4 .随机信号的解析信号只存在正的功率谱t5 .如果对随机参量的估计是有效估计，那么这个估计必定是最大似然估计f6 .广义各态历经随机信号不一定广义平稳，广义平稳随机信号也未必是广义各态历经f7 .希尔伯特变换将改变随机信号统计平均功率f8 .系统等效噪声带宽由系统的冲激响应和输入信号功率共同决定f9 .高斯随机过程的严平稳与广义平稳等价t10 .随机过程可以看成一组确知时间

29、函数的集合，同时也可以看成是一组随机变量的集合t 四、解释名词1.各态历经过程：指随机过程的任一样本特性都经历了其它样本所经历的状态，即可用任一样本的时间平均特性来等效整个过程的统计特性。2窄带白高斯噪声：指功率谱密度满足窄带特性(中心频率远大于带宽)，且在其带宽内功率谱密度的值为常数)，过程的概率分布满足高斯概率分布特性的随机过程。3严格平稳过程：指随机过程的所有统计特性都不随具体观察时刻的改变而改变的 特性。4.多维联合分布函数： 指多个随机变量的联合统计特性，同时大于等于或小于某 一个值或不同值的概率！表示多个随机变量的概率关联。五、证明x（t尸acos （qt+。）a为常数，0在（0,

30、 2元）均匀分布，c为随机变量，概率密度数 f（ w）为偶函数，试证明x（t）的功率谱密度为冗a2 f （w）解：证明：/也也)=ea2 co5(oi + 48s(cg + &)=一9cosgr +%) + 29 + cos crl - %)2 cos&+幻+ 26卜/(g)d%g+土 j。鬣眸&一芍)/(dg2 c22u -9f2 g=0 + j cosm(2-4)/(何862 f以2 8=一 j cqs/(ds（4分）2 -to备 = j-j)八 d 仍乙2 8=一 j 尔占0+。)+/0一如如0(g)dg 2 -7rd2二 乙7ta2 . 一 、 =乙（4分）六、计算1.若随机变量x、y

31、随机变量分布律为表中所示，（1）求x与y的联合分布函数和密度函 数（2）求x与y的边缘分布律（3）求2=乂丫分布律（4）求x与y相关系数y x-10100.07080.1510.080.320.20：(1)尸(x, y) = 0.07w(x,y + l) + 0.18w(x, y ) + 0.15w(x,y-l)+ 0.08m(x-1,)j + 1) + 0.32 (x- 1, y) + 0.20 (x -1, y-1)/(x,y) = 0.075(x,y + l) + 0.185(x, y) + 0.155(x,y-l) + 0.08(x-l,y + l) + 0.325(x-l,y) +

32、0.205(x-l,y-l)(2)x的分布律为p(x =0) = 0.07 + 0.18 + 0.15 = 0.40p(x=1) = 0.08 + 0.32 + 0.20 = 0.60y的分布律为产(丫 = -1) = 0.07 + 0.08 = 0.15p(y = 0) = 0.18 + 032 = 0.50p(y = l) = 0.15+0.20=0.35(3)z=xr的分布律为p(z=-i)= p(xr = -i)= p(x = i,r = -i)= 0.08p(z = 0)= pxy = o)=0(x = 0)+ 0(x = l,y = 0)= 0.40 + 0.32 = 0.72p(z = i)=p(xr = i)= p(x = i,r = i)= o.2o(4)因为；(x) = 0x0.40 + 1x0.60 = 0.60e(y) = (-l)x 0.15+ox 0.50+lx 0.35 = 0.20(%7