苏教版九年级全册知识点梳理

1、第一章一元二次方程一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0(a 0),它的特征是：等式左边h一个关于未知数 x的二次多 项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项， b叫做一次项系数；c叫做常数项。二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。根据平方根的定义可知, x a是b的平方根，当b 0时，x ajb , x a vb ,当b0时，方程

2、没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在 数学的其他领域也 有着广泛的应用。配方法的理 论根据是完全平方 公式 a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的 a看做未知数 x,并用x代替，则有 x2 2bx b2 (x b)2 o3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 它是解一元二次方程的一般 方法。一元二次方程ax2 bx c 0( a 0)的求根公式：b b2 4ac,2， c、x (b 4ac 0)2a4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段， 求出方程的解的方法，这种方法简单易 行，是解一元二次方程最常用的方法。三

3、、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac四、一元二次方程根与系数的关系如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是 x1，x2 ,那么x x2,axix2 co也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方 a程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。第二章一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段 oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a随之旋转所形成的图形叫做圆，固定

4、的端点 。叫做圆心，线段oa叫 做半径。2、圆的几何表示以点。为圆心的圆记作o,读作“圆o二、弦、弧等与圆有关的定义(1)弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的ab)(2)直径经过圆心的弦叫做直径。(如途中的cd直径等于半径的2倍。(3)半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。(4)弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号小”表示，以a, b为端点的弧记作“诵”，读作“圆弧ab或“弧 ab。大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)；小于半圆的弧叫做劣弧(多用 两个字母表示)三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

5、。推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：一过圆心 、?垂直于弦r直径 平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心

6、距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦 心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2： 半圆 （或直径） 所对的圆周角是直角； 90 的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

7、。七、点和圆的位置关系设。的半径是r,点p到圆心。的距离为d,则有：dr点p在。外。八、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。九、反证法先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（ 1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线

8、和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（ 2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（ 3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果。的半径为r,圆心o到直线l的距离为d,那么：直线l与。相交dr；十一、切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。十二、切线长定理1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。十三、三角形的

9、内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点， 它叫做三角形的内心。十四、圆和圆的位置关系1 、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点， 那么就说这两个圆相离， 相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为r和r,圆心距为d,那么两圆外离dr+r两圆外切d=r+r两圆相交 r-rd r）两圆内切d=r-r（rr）两圆内含d

10、r）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。十五、正多边形和圆1 、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。十六、与正多边形有关的概念1 、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边

11、形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。十七、正多边形的对称性1 、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正 n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通 过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。十八、弧长和扇形面积1 、弧长公式n。的圆心角所对的弧长l的计算公式为l 口工1802、扇形面积公式5- 360 r2 ilr其中n是扇形的圆心角度数，r是扇形的半径，l是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积c1 csl ?2 r rl2其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地

12、面半径。2、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：/ bacw adc3、切割线定理pa为。切线，pbe。割线,贝u pa2 pb?pc补充知识点：5定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半 径。圆有关的概念：1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分 圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣 弧。3、定点在圆上的角叫做圆心角。4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够

13、互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。与圆的位置关系 ：在平面内，点与圆有3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。如果设。o的半径为r,点psj圆心o勺距离为d,那么“点p在圆内dr;点p在圆上 d=r；点 p在圆外dr”5.2 圆的对称性圆是中心对称图形，圆心是对称中心。圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。5.3 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，

14、都等于该弧所对的圆心角的一半。 （圆心与圆周角的位置关系分为三种情况： 圆心在角的一边上； 圆心在角的内部； 圆心 在角的外部）推论 ： 1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。2、 90的圆周角对的弦是直径。5.4 确定圆的条件条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆 ：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形5.5 直线与圆的位置关系1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。（dr）直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分， 也可以用圆心到直线的距离与半径

15、的大小关系来区分，它们的结果是一致的。切线的性质与判定：判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。这个三角形叫做圆的外切三角形。5.6 圆与圆的位置关系性质与判定：如果两圆的半径分别为 寻口，圆心距为d,那么两圆外离 dr+r两圆外切 d=r+r两圆相交 r-rd r)两圆内切 d=r-r(

16、r r)两圆内含 0dr)连心线的性质：圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿o、q所在直线(连心线)对折，发现：两圆相切，直线 oq必过切点；两圆相交，连心线垂直平分 它们的公共弦。5.7 正多边形与圆正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都通过 正n边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是 中心对称图形。 如果一个正多边形是中心对称图形， 那么它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似。任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。友情提醒 ： ( 1

17、)边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用 到的知识。( 2) 任何三角形都有外接圆和内切圆， 但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。作正多边形：作半径为r的正n边形的关键是n等分圆。这就要学习两种方法：用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具体地说先计算出顶点 36 口平舛在圆心的角的度数，即正n边形的圆心角为f 二，然后依次用量角器 将圆等分，顺次连接各分点，就作出正n边形。用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：先作出两条互相垂直的直径， 将圆四等分，顺

18、次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截 取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产 生误差。5.8弧长及扇形的面积1 .圆周长公式：圆周长c=2 r （r表示圆的半径）冰2.弧长公式：弧长l n-r （r表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数）180x3.扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.x4.弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.x 5.圆的面积公式.圆的面积s r2 （r表示圆的半径）x6.扇形的面积公式：扇形的面

19、积s扇形n2 （r表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数） 360弓形的面积公式c图5：（如图5）a（1）当弓形所含的弧是劣弧时，s弓形s扇形s三角形（2）当弓形所含的弧是优弧时，s弓形s扇形s三角形（3）当弓形所含的弧是半圆时，生形2r2s扇形5.9圆锥的侧面积和全面积x 1.圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.x2.圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长（

20、扇形半径）是1,底面圆周长（扇形弧 长）为c,那么它的侧面积是：-11s 侧 1c112rl rl22s表s侧s底面rl r r(r l)与圆有关的辅助线1 .如圆中有弦的条件，常作弦心距，或过弦的一端作半径为辅助线.2 .如圆中有直径的条件，可作出直径上的圆周角.3 .如一个圆有切线的条件，常作过切点的半径(或直径)为辅助线.圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.第三章数据的集中趋势和离散程度知识点1:表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位

21、数都是描述一组数据集中趋势的特征数， 只是描述的角度 不同，其中平均数的应用最为广泛。知识点2:表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差二最大值-最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点3:生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度， 比如一支篮球队队员 中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。知识点4:平均差的定义在一组数据x1, x2,，xn中各数据与它们的平均数五的差的绝对值的平均数1 . . - x | -b | - x | + - + |

22、 s - x |)即t=叫做这组数据的“平均差”。“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。知识点5:方差的定义在一组数据xi, x2,，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均.区-44(巧-幻 + 一 (%-/ 上 廿、数，即s2=n来描述这组数据的离散程度，并把s2叫做这组数据的方差。知识点6:标准差j-kkj-x)2 +(x2 -x)a+ +(xn-x)3方差的算术平方根，即用sn来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。知识点7:方差与平均数的性质若xi, x2,xn的方差是s2,平均数是五,则有xi+b, x 2+bxn+b的

23、方差为s2,平均数是x+baxi, ax2,力乂口的方差为a2s2,平均数是a工axi+b, ax 2+b, axn+b 的方差为 a2s2,平均数是 ax +b第四章等条件下的概率第五章二次函数1、定义：一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0),那么y叫做x的 二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数y ax2的性质：(1)抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴；(2)函数y ax2的图像与a的符号关系:当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时 抛物线开口向下顶点为其最高点。3、二次函数 y ax4、二次函数y ax2其中h 2, k 2a(3

24、)顶点是坐标原点，对称轴是 y轴的抛物线的解析式形式为y ax2 (a 0)。bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线。bx c用配方法可化成：y a x h 2 k的形式，4ac b2o4a5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y ax2; y ax2 k; y axh2； y ax h 2 k;y ax2 bx c。6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口 向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同。平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0。7、顶点决定抛物线的位置。几个不

25、同的二次函数，如果二次项系数 a相同，那 么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法,22(1 )公式法： y ax2 bx c a x 一一 , 顶点是2a 4a(b,4ac b),对称轴是直线 x 0 (p26-9)2a 4a2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h 2 k的形式，得到顶点为(h, k),对称轴是直线x h(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形， 所以对 称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，

26、 才能做到万无 失。题11:抛物线y = x2+6x+4的顶点坐标是()a. (3, -5)b. (-3 , -5) c . (3, 5)d. (-3 , 5)9、抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样。(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线 y ax2 bx c的对称 轴是直线。x 与，故：b 0时，对称轴为y轴；b 0 (即a、b同号时，对2aa称轴在y轴左侧；虫0 (即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧。 a(3) c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置。当x 0时，y c,，抛物线y a

27、x2 bx c与y轴有且只有一个交点(0, c)：c 0,抛物线经过原点； c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴 交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b 0o a10、几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y axx 0 ( y 轴)(0,0)2y ax k当a 0时x 0( y 轴)(0, k),2 y ax h开口向上x h(h,0)y a x h 2 k当a 0时x h(h, k)2y ax bx c开口向卜bx 2ab 4ac b2( , 2a 4a)11、用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y

28、ax2 bx c。已知图 像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。(2)顶点式：y ax h2 k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标xi、x2 ,通常选 用交点式：y a x x1 x x2 。题12:已知关于x的一元二次方程x2-2( m-1) x + (m2-1) =0,有两个实数根x1、 x2,且 x； + x22=4.求 m的值。2 lccc题13:先化简，再求值：x 25x 6 1 1 ，其中x=v33x 3x x 1 x 3题14:在平面直角坐标系中，b(百+ 1,0),点a在第一象限内，且/ao白60 ,/abg 45 。(1)求点

29、a的坐标；(2)求过a、q b三点的抛物线解析式;(3)动点p从。点出发，以每秒2个单位的速度沿oa运动到点a止，若 pob勺面积为s,写出s与时间t(秒)的函数关系；是否存在t ,使pob勺外 心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出 t的值。12、直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0, c)。(2)与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h,1 2ah bh c)。(3)抛物线与x轴的交点。二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2 ,是对应 一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根。抛物

30、线与x轴的交点情况可以由对 应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)0 抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离。(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点：同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两 交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是ax2 bx c k的两个实 数根。(5) 一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax2 bx c a 0的图y kx n像g的交点，由方程组2的解的数目来确定:y ax bx c方程组有两组不同的解时l与g有两个交点;方程组只有一组解时l与g只有一个交点;方程组

31、无解时l与g没有交点。(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点为ax1qb x2，0 ,由于x1、*2是方程ax2 bx c。的两个根，故:xix2b, x1 x2 aab x1x21x1x22x x24x1x22b4caa2.b 4aca第六章图形的相似第七章锐角三角函数1正切:定义：在rtzxabc 中,锐角/ a的对边与邻边的比叫做/ a的正切，记作tana,tan a即a的对边a的邻边;tana是一个完整的符号，它表示/ a的正切，记号里习惯省去角的符号“/”；tana没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/a的对边与邻边的比;tana不表示“tan”乘以“a”；初中阶段，我们只学习直角三角形中，/