第十七讲三角形与全等三角形(20132014中考数学复习专题)

1、第十七讲三角形与全等三角形【重点考点例析】考点一：三角形三边关系例1（2013慌州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）a.1, 2, 4b.4,5,9c.4, 6, 8d.5,5, 11思路分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可.解：a、因为1+2v 4,所以本组数不能构成三角形.故本选项错误；日因为4+5=9,所以本组数不能构成三角形.故本选项错误；c因为9-4v5v8+4,所以本组数可以构成三角形.故本选项正确；d因为5+5v11,所以本组数不能构成三角形.故本选项错误；故选c.点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长

2、 的边，就可以构成三角形.对应训练1. （2013张沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4,则第三边长可能是（）a. 2b. 4c. 6d. 81. b考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2013阴目西州）如图，一副分别含有30和45角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中/c=90 , / b=45 , / e=30 ,贝u / bfd的度数是（）c. 30d. 10思路分析：先由三角形外角的性质求出/bdf的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论.解：. rtcde中，/ c=90 , z e=30 , ，/bdf=z c+z e=90 +30 =120 ,. bdf中，/ b=45 ,

3、/ bdf=120 , ./bfd=180 -45。 -120 =15 . 故选a.点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的 关键.对应训练2. （2013?鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（）c. 150d. 1352. a考点三：三角形全等的判定和性质例3（2013以门）如图，已知abe aadeab与ed交于点m,bc与erad分别交于点f,n.请写出图中两对全等三角形（ ab会4ade除外），并选择其中的一对加以证明.a 一思路分析：找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可.解：aaem

4、4acn bmf dnr abn adm选择 ae阵 acn理由如下： .ad abgae=ac / e=z c, / eadh cab / eamh can 在 ae丽 acn 中,e cae ac,eam can . aem acan （asa.点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：ssssas asa aas hl.注意：aaa ssa不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.例4 （2013泊宾）如图：已知 d e分别在 ar ac上，ab=ac / b=z c,求证：be=

5、cd思路分析：要证明be=cd把be与cd分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用aas可得出三角形abe与三角形acdir等，利用全等三角形的对应边相等可得证. 证明：在4abe和acd43,b ca a ,ab ac. .ab图acd （aas,be=cd（全等三角形的对应边相等）.点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明 三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用.对应训练3. （2013?荆州）如图， abc与cde

6、匀是等腰直角三角形，/ acb=z dce=90 , d在ab上，连结 be.请 找出一对全等三角形，并说明理由.3.解： ac珞 bcdabca ecdtb是等腰直角三角形， / ecdh acb=90 ,/ace4 bcd （者b是/ acd勺余角）, 在 acea bcd中， ce cd ace bcd ,ca cb . .ac bcd 4. （2013升堰）如图，点 d, e在abc的边 bc上，ab=ac bd=ce 求证：ad=ae/ b=z c,在 abda ace中，ab acb c ,bd ec . abd ace （sas, ad=ae考点四：全等三角形开放性问题例5 （2

7、013?南）如图，点 b在ae上，点d在ac上，ab=ad请你添加一个适当的条件，使 abcca ade （只能添加一个）.（1）你添加的条件是.（2）添加条件后，请说明 ab集4ade的理由.思路分析：（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件；（2）根据全等三角形的判定方法证明即可.解：（1） 1 ab=ad / a=z a,若利用aas ,可以添加/ c=/e,若禾i用“asa ,可以添力口/ abc4ade或/ ebchcde若禾i用“ sas ,可以添力口 ac=ae或be=dc综上所述，可以添力口的条件为/c=z e （或/ abc至ade或/ ebc4 cde a

8、c=ae be=dc;故答案为：/ c=/e;（2）选/ c=/ e为条件.a a理由如下：在 abc 4ade中，c e,ab ad.abe ade （aa*点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加 的条件也不相同.对应训练5. （2013?昭通）如图， af=dc bc/ ef,只需补充一个条件 ,就得 ab集 def.5. bc=ef【聚焦山东中考】1. （2013?威海）将一副直角三角板如图摆放，点c在ef上，ac经过点d.已知/ a=z edf=90 , ab=ac /e=30 , / bce=40 ,则 / cdf=.1. 252

9、. （2013?聊城）如图，四边形 abcd43, / a=/bcd=90 , bc=cd cea口 垂足为 e,求证：ae=ce chad,z d+z dce=90 , z bcd=90 , z bcf吆 dce=90 ,z bcf土 d,bcf d在abcf和acde中，ced bfc 90 ,bc cd. bcfacde(aa, bf=ce又. /a=90 , chad, bflce 二四边形aefb是矩形，ae=br ae=ce且 be=bq3. (2013?荷泽)如图，在aabc中，ab=cb zabc=90 , d为ab延长线上一点， 点e在bc边上, 连结ab de dc(1)求

10、证： abacbq(2)若/cae=30 ,求/ bdct勺度数.3. (1)证明：abc=90 , d为ab延长线上一点,z abe土 cbd=90 ,在 abe和4cbd中，ab cb abe cbd , be bd. .ab图 a cbd (sas； (2)解：ab=cb z abc=90 ,，/cab=45 , . /cae=30 , /bae土 cab-/ cae=45 -30 =15 , abei acbtd / bcdh bae=15 , ，/bdc=90 - z bcd=90 -15 =75 ;4. (2013?临沂)如图，在 abc中，ad是bc边上的中线，e是ad的中点，过

11、点 a作bc的平行线交 be的 延长线于点f,连接cf.(1)求证：af=dc(2)若abac,试判断四边形 adcfw形状，并证明你的结论.4. （1）证明：af/ bc,/ afe=z dbee是ad的中点，ad是bc边上的中线，ae=de bd=cd在人5和4 dbe中afe dbefea bedae de . afe dbe （aas, af=bdaf=dc（2）四边形adcf是菱形，证明：/ bg af=dc 四边形adce平行四边形， adab, ad是斜边bc的中线， ad=dc 平行四边形 adce菱形.5. （2013?东营）（1）如图（1）,已知：在 abc中，/ bac=

12、90 , ab=ac直线 m经过点a, bdl直线 m, ce1直线m垂足分别为点 d e.证明：de=bd+ce（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在abc中，ab=ac da、e三点都在直线 m上，并且有/ bda=z aec=/ bac=4 ,其中a为任意锐角或钝角.请问结论de=bd+celb否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3）,de是da、e三点所在直线m上的两动点（da、e三点互不重合），点f为/ bac平分线上的一点，且 abf和 acf均为等边三角形，连接 bd ce,若/ bdaw aecw bag 试 判断 def的形状.(图

13、3)(图2)5.证明：（1） .bd，直线 m, cel直线 m,/ bda= / cea=90 , / bac=90 , / bad+ / cae=90 , / bad+ / abd=90 , / cae= / abd , 在 adb 和 cea 中abd caebda cea ,ab acadb cea (aas), ae=bd , ad=ce , de=ae+ad=bd+ce ;(2) . / bda= /bac形, ./ dba+ / bad= / bad+ / cae=180 -%/ cae= / abd , 在 adb 和 cea 中abd caebda cea ,ab acadb

14、 cea (aas), ae=bd , ad=ce , de=ae+ad=bd+ce ;(3)由(2)知， adbcea,bd=ae , / dba= / cae, ,abf acf均为等边三角形， ./abf= /caf=60 , / dba+ / abf= / cae+ / caf , / dbf= / fae, bf=af在 dbf和 eaf中fb fafbd fae ,bd aedbfa eaf （sass）,df=ef, / bfd=/afe,/ dfe= / dfa+ / afe= / dfa+ / bfd=60 , . def为等边三角形.6. （2013?烟台）已知，点 p是直

15、角三角形 abc斜边ab上一动点（不与 a, b重合），分别过a, b向直线 cp作垂线，垂足分别为 e, f, q为斜边ab的中点.（1）如图1,当点p与点q重合时，ae与bf的位置关系是认；（2）如图2,当点p在线段ab上不与点q重合时，试判断 qe与qf的数量关系，并给予证明；（3）如图3,当点p在线段ba（或ab）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予 证明.6.解：（1） ae/ bf, qe=qf理由是：如图1,q为ab中点，aq=bqbf cp, ae cp,bf/ ae, / bfq=z aeq 在 bfq和 aeq中,qe与qf的数量关系bfq aeqbq

16、f aqe ,bq aq.bf aeq (aas,qe=qf故答案为：ae/ bf, qe=qf qe=qf证明：如图2,延长fq交ae于d, ae/ bf, / qadh fbq 在 fbqa daq中fbq daqaq bq ,bqf aqd.fb da(q (asa,qf=qd ae cp,eq是直角三角形 def斜边上的中线, qe=qf=q d即 qe=qf(3) (2)中的结论仍然成立， 证明：如图3,延长eq fb交于d, ae/ bf, ./ 1 = z d, 在 aqe和 bqd中1 d2 3 ,aq bq. aq bqd(aas, qe=qd bf cp,二.fq是斜边de

17、上的中线，qe=qf【备考真题过关】一、选择题1. （2013?泉州）在 abc中，z a=20 , z b=60 ,则 abc的形状是（）a.等边三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.钝角三角形1. d2. （2013泊昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 （）a. 1, 2, 6b. 2, 2, 4c. 1, 2, 3d. 2, 3, 42. d3. （20137w阳）如图，/ 1=100 , / c=70 ,则/a 的大小是（）b. 20c. 30d. 804. （2013?可北）如图1, m是铁丝ad的中点，将该铁丝首尾相接折成abg且z b=3

18、0 , z 0=100 ,如图2,则下列说法正确的是（）a.点m在ab上b.点m在bc的中点处c.点m在bc上，且距点b较近，距点 c较远d.点m在bc上，且距点 c较近，距点b较远5. 06. （2013?铁岭）如图，在 abc和 dec中，已知 ab=de还需添加两个条件才能使ab% de0不能添加的一组条件是（）a. bc=ec / b=z eb. bc=ec ac=dcc. bc=dc / a=z dd. / b=z e, / a=z d5. c6. （2013?台州）已知 a1bc14a2b2c2的周长相等，现有两个判断：若 a1b1=ab2, a1g=azg,则 abcwaag;若

19、/ a1=/aa, /b=/b2,则abc0aabg,对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）a.正确，错误b.错误，正确c.，都错误d.，都正确6. a7. （2013?邵阳）如图所示，点 e是矩形abcd勺边ad延长线上的一点，且 ad=de连结be交cd于点q连结aq下列结论不正确的是（）a. ao望 bocb. boc eodc. ao国 eodd. ao1 boc7. a8. （2013?可北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若/3=50 ,则/1 + /2=（）a. 90b. 100c. 130d. 1809. （2013?陕西）如图，在四边形 abc邛，ab=ad cb

20、=cd若连接ag bd相交于点o,则图中全等三角形共有（）a. 1对b. 2对c. 3对d. 4对9. c11. 2012. （2013?巴中）如图，已知点 添加一个条件，这个条件可以是b、c、f、e在同一直线上，/1 = z2, bc=ef 要使 ab% der 还需、填空题10. （2013?黔东南州）在 abc中，三个内角/ a / b、/c满足/ b-/a=/ c-/b,则/ b=度.10. 6011. （2013喇州）如图， ab% def,请根据图中提供的信息，写出 x= .（只需写出一个）z12. ca=fd13. （20137w州）如图，点 d e分别在线段 ab, ac上，a

21、e=ad不添加新的线段和字母，要使 abea acd需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）.14. （2013汕州）如图，在 abc中，z a=rn , / abc和/ acd的平分线交于点 a,得/ a; / abc和/ acd的平分线交于点a2,得/aa；/a2012bc和/ a2012cd的平分线交于点a2013,则/a2013=度.22013三、解答题15. （2013?玉林）如图， ab=ae / 1 = /2, / c=z d.求证： ab黄medsec15.证明：.一/ 1 = /2, . / 1 + / eac4 2+/eag即 / bacw ear在 abcn aed 中，

22、d cbac ead ,ab ae. .abe aed （aa*16 . （2013?1江）如图，点 b f、c、e在一条直线上， fb=ce ab/ ed, ac/ fd,求证：ac=df17 .证明：fb=cefb+fc=ce+f cbc=ef ab/ ed, ac/ fd,/ b=z e, / acbh dfe在 abc def 中，b ebc ef ,acb dfe. .abe def （asa, ac=df17. （2013?佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的 正确性都需要通过推理的方法证实.（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论aas

23、，（2）证明推论aas要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据.adb tc e t17 .解：（1）三角形全等的判定方法中的推论aas指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（2）已知：在 ab* def中，/ a=z d, / c=/ f, bc=ef求证： ab黄 def证明：如图，在 abcf def中，/ a=z d, / c=z f （已知），/ a+/ c=z d+/ f （等量代换）.又.一/ a+/b+/c=180 , / d+/e+/f=180 （三角形内角和定理），/ b=z e.在 abcf def 中，c fbc ef , b e. .abe def (asa.18 . （2013?随州）如图，点 f、b、e、c在同一直线上，并且 bf=ce / abc4 def能否由上面的已知条 件证明 ab赍 def?如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加 到已知条件中，使 abedef:,并给出证明.提供的三个条件是： ab=deac=dfac/ df.d19 .解：不能；选择条彳ab=de bf=cebf+be=ce+be 即 ef=cb在 abca dfe 中,abc def ,ab deef cb19.证明：. abc ecdtb是