现代信号理论讲义3 (信号的表示)

1、 第三章 信号的矢量表示 n信号的表示 信号信号: 随时间或空间变化的物理量。 ( ) ( , ) yx t yf x y z 怎样高效的表怎样高效的表 示信号？示信号？ 信号的特征表示： 1 ( )( )( ) N kkkk k x tatat ( ) k x ta 信号逼近信号逼近 信号的矢量表示信号的矢量表示 表示的可行性？唯一性？表示的可行性？唯一性？ 线性独立、基和维数线性独立、基和维数: : n线性独立线性独立 （线性空间的概念） 12312 1 123 ,.,., 0 ,. nn n ii i n Vnx x xxa aa a x x x xx 线性空间 中的 个矢量若没有不全为

2、零的数 使： 则称线性独立，否则，为线性相关。 线性独立保证表示的唯一性。线性独立保证表示的唯一性。 n基 空间的最大线性独立组 1 123 123 123 ,., ,. ,. n ii i n n n xa xxV Vnx x xx x x xx Vx x xx 满足： 的线性组合，且 表示唯一。即 线性空间 中的 个矢量 1. 线性独立； 2. 中的每个矢量均可表示为 线性空间的基不是唯一的。线性空间的基不是唯一的。 n维数 最大线性独立组中矢量的个数。 表示的实现：表示的实现： 怎样得到信号的参数（离散）表示？ ( ) k x ta ？ 分析： 1 ( ) n iin i xatxM 由

3、 1 ,)(,)1,2,., j n jiji i xajn 两端用作内积 ( 解线性方程组解线性方程组 矩阵表示： 1121111 12 1 (,)(,)(,)( ,) (,)(,)(,)( ,) n nnnnnn ax ax GaaG = 或 称称a为信号为信号x的矢量表示（相对基的矢量表示（相对基） 思考：思考： n上面用来作内积的矢量必须是基中成员吗？ n怎样建立一个线性方程组，使求解更容易？ 怎样选择基？怎样选择基？ 正交基：正交基： 1 (,) 0 ij ij ij 1 (,) 0 ij ij ij 双正交性双正交性 双正交基（双正交基（逆转基逆转基）： 1 1 ( ) ( ,)(

4、,)( ,)1,2,., n iin i n jiijjj i xatxM xaaxjn 由 11 (,)(,) nn iiii ii xxx L L2 2空间信号的最佳逼近和投影定理：空间信号的最佳逼近和投影定理： n问题问题 有限维空间M以外的信号如何表示： n思路思路 有限维空间以外的信号用距离最近的M中信号表示。 2 , nxn xMSxLxxxxxM ； n投影定理： 1 1 1 (,)0 xa e xx e 11 2222 11 ( ,) ( ,)min x xx e e xxxx e exx 最小均方下的最佳逼近最小均方下的最佳逼近 x xx 1 1 x a e 多维空间中的最佳

5、逼近：多维空间中的最佳逼近： 2 12 1 ,., nn n i i i n Me eexL xae xM 是由基张成的子空间， 表示 在中的正交投影 问题的描述：问题的描述： 222 min n z M xxxz ？ 2 22 22 2 , 0 - - - - nnn zMxxMxzM xxxz xzxzxz xxxzxxxz xxxzxxxzxzxx xxxz xx 设任意的则， 即（，） （，） （）（），（）（） （，）（，） 证明：证明： 正交投影的计算：正交投影的计算： 2 12 1 1 ,., -1,2,., ( -,)01,2,., ( ,)( ,)1,2,., nn nj n

6、 i ij i n iijj i Me eexL x xMx xejn xae ejn a e ex ejn 是由基张成的子空间， 12 i ,., ( ,)1,2,., n i e ee ax ein 当是正交基时， 解线性方程组解线性方程组 基的正交化：基的正交化： nGram-SchmidtGram-Schmidt正交化过程正交化过程 问题：问题： 找一组两两正交的单位矢量找一组两两正交的单位矢量e1 e2 en 使使e1 e2 en与与a1 a2 an等价等价。 称为把称为把a1 a2 an 规范正交化问题规范正交化问题。 12 ,., nn Ma aa是由基张成的子空间 正交化方法过

7、程：正交化方法过程： 设a1 a2 an是基 取矢量组 容易验证b1 b2 bn两两正交 且b1 b2 bn与a1 a2 an 等价 11 21 221 11 3211 3321 2211 1 1 ; (,) ; ( ,) (,)(,) ; (,)( ,) . (,) (,) n nk nnk k kk ba a b bab b b a ba b babb b bb b a b bab b b 正交化方法过程：正交化方法过程： 把b1 b2 br单位化 即得Mn的一个规范正交基 1 1 1 | 1 b b e 2 2 2 | 1 b b e r r r b b e | 1 n信号空间内积的不同

8、定义，将产生不同 的正交性，从而有不同的正交函数（信 号）集合。 常用正交函数集合：常用正交函数集合： 权内积权内积 n权内积 * ( ( ), ( )( ) ( )( )f x g xx f x gx dx b a 权函数权函数 复正弦函数：复正弦函数： 2 2 1 1 1 ;0, 1,.( 1,1) 2 ( )( 1,1), 1 ( ) 2 1 ( ) 2 j nt j kt k k j kt k enL x tL x ta e ax t edt 构成信号空间上 的规范正交基。 任意的信号均有 其中 傅立叶级数展开傅立叶级数展开 傅立叶系数傅立叶系数 采样函数：采样函数： 22 ( )(

9、)(, );|( )| ;0, 1,. sin(2() 2 22sin (2() 2 2() 2 BB( ), ( )( ) ( ,)( )( ) 2( )sin (2() 2 B B i i kk k kkk x tX fLB BX fdt e n i B t i B eBBcB t i B B t B x t x ta e t ax ex t e tdt k Bx tcB t B 带限信号空间： 规范正交基。为 任意的带宽在（- ， ）的信号均有 其中 1 () 22 dt k x BB 采样定理采样定理 采样函数：采样函数： n 1 BB( ), ( )()sin (2 () 22 T

10、( )()sin (2 () 22 ( )2 ()()() 222 k k x t ki x txcB t BB ki x txcB t BB x tnBT xxx BBB 任意的带宽在（- ， ）的信号均有 若只在有限时间区间 内研究信号，则 可用个离散样本的矢量表示 （，） 重构公式重构公式 勒让德正交多项式：勒让德正交多项式： n采用采用Gram-SchmidtGram-Schmidt正交正交 化过程，由区间化过程，由区间-1-1，11 上的幂函数产生的规范上的幂函数产生的规范 正交多项式。正交多项式。 0 1 2 2 3 3 42 4 2 n 1 ; 2 3 ; 2 5 31 () 2

11、 22 7 53 (); 2 22 9 35153 (); 2848 . 21 ( ) 2 1 ( )(1) 2! nn n n n n t t tt tt n P t d P tt n dt 其中 通过函数映射，可以推通过函数映射，可以推 广到任意区间。广到任意区间。 切比雪夫正交多项式：切比雪夫正交多项式： n采用权函数采用权函数 的的 权内积，由区间权内积，由区间-1-1，11 上的幂函数产生的规范上的幂函数产生的规范 正交多项式。正交多项式。 00 0 1 ; 2 ( ) ( )cos( arccos ) ( )1 nn n T T t T tnt T t 其中 通过函数映射，可通过函

12、数映射，可 以推广到任意区间。以推广到任意区间。 2 1/ 1 t 2 22422 12 ( )Re(1) (1)(1). 24 1 ( )( )( )3 4 n n nnn nnn T ttit nn ttttt T ttTtTtn 递推公式： 随机信号的正交展开：随机信号的正交展开： n希望能通过一组规范正交基来表征随机信号。 1 ( )lim( ), N kk n k x ta e ttT ( ) k x ta 用一组随机变量表示随机信号。用一组随机变量表示随机信号。 n分析（利用离散采样） 1 ( )limsin (2), N k n k x txcWti ( ) k x tx 问题：

13、问题： 随机变量不是统计独立的，其信号随机变量不是统计独立的，其信号 特性难以分析。特性难以分析。 分析：分析： n用一组规范正交基来表征随机信号。 1 ( )lim( ), N kk n k x ta e ttT ( ) ( ) T ki T ax t e t dt 选择适当的正交基，使得到的随机变选择适当的正交基，使得到的随机变 量互不相关。量互不相关。 分析：分析： * ,121212 121212 ()( )( ) ( )( ) ( )( )( , ) TT ijij TT TT ijx TT E a ae t e tE x t x tdt dt e t e tR t t dt dt 转换为解积分方程。转换为解积分方程。 21221 111 ( )( , )( ) ( ,)( )( ) T jxj