第3 扭转A(12)

1、 工程上有很多承受扭转变形杆件工程上有很多承受扭转变形杆件 例如搅拌器的主轴例如搅拌器的主轴 汽车传动轴汽车传动轴 汽车方向盘下的转向轴汽车方向盘下的转向轴 F1 F2 十字扳手十字扳手 丝锥攻丝时的丝锥丝锥攻丝时的丝锥 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且 作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, ,使杆件的横使杆件的横 截面绕轴线产生转动。截面绕轴线产生转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。所以大都是圆形的。所以本章主要介绍本章主要介绍圆轴扭转圆轴扭转。 M

2、e Me Me Me l n n r0 圆筒壁厚为圆筒壁厚为，平均半径为，平均半径为r0 10 0 r 薄壁圆筒薄壁圆筒： 扭矩扭矩T：圆筒任一横截面圆筒任一横截面n-n上的上的 内力偶矩内力偶矩。 圆筒横截面上的应力：圆筒横截面上的应力：切应力切应力 只有切应力才能构成扭矩只有切应力才能构成扭矩 T Me n n dA 1 1、扭转内力、扭转内力 T Me n n dA Me Me n n A D C B Me Me 2、圆筒扭转变形：、圆筒扭转变形：相对相对扭转角扭转角 相对扭转角相对扭转角：两端截面间相两端截面间相 对转动的角度对转动的角度. . 切应变切应变 ：圆筒表面纵横线段圆筒表面

3、纵横线段 间直角的改变量。间直角的改变量。 A C D B D C A1 C1 D1 1 D 3、扭矩与切应力的关系：、扭矩与切应力的关系： A TrdA T Me n n dA 对于薄壁圆筒，横截面上各点的切应力可视为大小相等，对于薄壁圆筒，横截面上各点的切应力可视为大小相等， 且横截面积：且横截面积： A rdA 0 2 所以所以 2 00 22r T A T Me Me 4 4、切应变、切应变 与相对扭转角间的关与相对扭转角间的关 系系： l r 其中其中r为圆筒的外径。为圆筒的外径。 A TrdA 剪切胡克定律剪切胡克定律 G G -为材料的切变模量，反映为材料的切变模量，反映 材料抗

4、剪切变形的能力。材料抗剪切变形的能力。 由实验获得由实验获得。 tan G 实验表明：当外力偶矩（或切应力）不超过某一范实验表明：当外力偶矩（或切应力）不超过某一范 围时，应力应变关系如图所示，即围时，应力应变关系如图所示，即 )( 12 E G E、G、 的关系的关系 直接计算直接计算 按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算 电机每秒输入功：电机每秒输入功：)(mN1000 PW 外力偶作功：外力偶作功： 60 2 n MW e 已知已知 轴转速轴转速n（r/minr/min） 输出功率输出功率P （kWkW） 求：力偶矩求：力偶矩 Me n P n P Me9550 2 60103 （N

5、m） Me T = Me 仍采用截面法仍采用截面法: : 扭矩正负规定：扭矩正负规定： 右手螺旋法则右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-) 例题例题 已知已知PkA=19kW， PkB=44kW, PkC=25kW， n =150rpm 求求: :作图示传动轴的扭矩图作图示传动轴的扭矩图. . MA MBMC 解解: : 1. 1. 求外力偶求外力偶 150 19 9550 MA= =1210Nm 同理同理 ( MB=2800Nm) MC=1590Nm MA MBMC 1-12-2 讨论：交换讨论：交换AB轮的位置扭矩

6、轮的位置扭矩 将如何变化？将如何变化？ 1210 -1590 x T -2800 -1590 x T MA n T1 MB MA T2 n 2.截面法求内力截面法求内力 3.作内力图作内力图 T1 = 1210 Nm T2 = 1210 -2800= - 1590 Nm 扭矩图扭矩图 l X Me l X （1） 实验观察实验观察: : B. 各纵向线倾斜角度相同各纵向线倾斜角度相同； 正方形网格加外力偶后变正方形网格加外力偶后变 成同样大小的平行四边形。成同样大小的平行四边形。 A.各圆周线的形状、大小和各圆周线的形状、大小和 间距不变，只是绕轴线作相对间距不变，只是绕轴线作相对 转动。转动

7、。 I、横截面上的应力横截面上的应力 l X Me l X 实验现象：实验现象： 平面假设：平面假设： 由圆周线由圆周线 圆杆的横截圆杆的横截 面变形后仍为保持为平面。面变形后仍为保持为平面。 圆轴横截面像刚性平面一样圆轴横截面像刚性平面一样, ,绕绕 轴线转过一角度。轴线转过一角度。 由圆周线间距不变和纵向线由圆周线间距不变和纵向线 变形变形 横截面上的应力横截面上的应力 为切应力为切应力, , 且同一圆周上的且同一圆周上的 切应力相同切应力相同 （1 1） 变形的几何关系变形的几何关系 dx d 切应变沿半径线性变化，切应变沿半径线性变化， dx rd AC CC （2 2） 物理关系物理

8、关系 dx d GG （3 3） 静力学关系静力学关系 微元微元 dA 对轴心产生之矩对轴心产生之矩 dAdM A A AA dA dx d G dA dx d GdAdMT 2 2 r dA T 令令 P A IdA 2 则有则有 P GI T dx d 其中其中 IP 横截面对形心的极惯性矩；横截面对形心的极惯性矩； GIP 抗扭刚度，反映构件抵抗变形的能力。抗扭刚度，反映构件抵抗变形的能力。 P I T 圆轴横截面上的切应力圆轴横截面上的切应力 T T 切应力计算公式切应力计算公式 r I T I Tr P P max P I T 令令抗扭截面系数抗扭截面系数 P P W r I P W

9、 T max T T Ip 与与 Wp 的计算的计算 实心轴实心轴 3 P P 16 1 D r I W ddA2 空心轴空心轴 令令 则则 实心轴与空心轴实心轴与空心轴 Ip 与与Wp 对比对比 已知：已知：P114kW,P2= P3=P1/2， n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12; d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。 P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min 360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z nn 解：解：1 1

10、、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速 M1=T1=1114 N.m M2=T2=557 N.m M3=T3=185.7 N.m 2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩 3 16.54MPaPa 1070 111416 E 9-3 1P 1 max W T .69MPa22Pa 1050 55716 H 9-3 2P 2 max W T .98MPa12Pa 1053 718516 C 9-3 3P 3 max . W T 3 3、计算各轴的横截面上、计算各轴的横截面上 的最大切应力的最大切应力 3 1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴： . .强度条件强度条件( (调整课程顺序，提前）调

11、整课程顺序，提前） max P max W T P max max W T 对阶梯轴，因各段的对阶梯轴，因各段的 Wp不同不同 , ,最大切应最大切应 力不一定在最大力不一定在最大 T 所在截面，须综合考所在截面，须综合考 虑虑 T和和 Wp，确定，确定 T/ Wp极值。极值。 2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴： max max Wp T 扭转强度条件扭转强度条件 已知已知T 、D 和和，校核强度校核强度 已知已知T 和和， 设计截面设计截面 已知已知D 和和，确定许可载荷确定许可载荷 max max Wp T 解解： 364 3 10291 16 m D W p MPaWT t 751. max 强度满足。强度满足。 p W T max 23 222 . dDdAAGG 空心优于实心空心优于实心 （1）改用实心轴，在改用实心轴，在最大应力不变时最大应力不变时确定轴的直径；确定轴的直径； 讨论：讨论： （2）比较实心轴