第3章 图像变换(II)

1、北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院 王素玉王素玉 内容提要 代数变换 3.1 几何变换 3.2 离散傅里叶变换（DFT） 3.3 离散余弦变换（DCT）3.4 K-L变换3.5 小波变换 3.6 冗余字典与稀疏表示 3.7 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院2 3.6 小波变换 小波变换：以某些特殊函数为基将数据过程或数据系列 变换为级数系列以发现它的类似频谱的特征，从而实现 数据处理。 小波变换是在以复指数函数为基的傅里叶变换的基础上 提出来的，旨在解决傅里叶变换缺乏时间定位能力的缺 陷。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院3 傅里叶

2、变换的局限性 傅里叶变换能够确定待分析的信号中存在哪些频率成分，但 不能确定这些频率成分出现的时间，因而主要用于平稳信号 的分析，对于时变信号的分析存在局限性。 例：采用傅里叶变换分析x(n)的频率信息： 式中 。 为角频率. 1),sin( 1),sin( 10),sin( )( 323 212 11 NnNn NnNn Nnn nx 321 NNN 321 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院4 x(n) n w | )(| j eX 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院5 信号的时频分析 x(n)时频分布的二维表示时频分布的二维表示x(n)

3、时频分布的三维表示时频分布的三维表示 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院6 分辨率 “分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面，它是指对信 号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细 胞）。 时域信号具有最好的时间分辨率，而频率分辨率为零； 傅里叶变换具有最好的频率分辨率，而时间分辨率为零； 如何实现对时间和频率的同时分析？ 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院7 傅里叶变换的基函数 w-w 正弦函数及其频谱正弦函数及其频谱 加窗傅里叶变换及其频谱加窗傅里叶变换及其频谱 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院8 由

4、于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，因此， 若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么 由于的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些 都体现了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛 盾。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院9 小波（wavelet）是什么 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内，它的平均值等于零 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院10 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如， Moret小波函数是Grossmann和Mor

5、let在1984年开发的； db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的； 小波变换 (wavelet transform)(wavelet transform)是什么 以小波函数为基的信号变换方法，即将信号展开成不同 尺度的小波函数的叠加形式。 老课题：函数的表示方法 新方法：Fourier-wavelet transform 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院11 傅里叶变换 只有频率分辨率而没有时间分辨率只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具 有这些频率的信号出现在什

6、么时候有这些频率的信号出现在什么时候 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院12 Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非 常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈 尔小波(Haar wavelets) 1909: Alfred Haar 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院13 开发了STFT (short time Fourier transform) ( ,)( ) where: ( )signal ( )= windo ( wing ) function j t gSTFTs tedt s t g t t

7、 STFT的时间的时间-频率关系图频率关系图 1945: Gabor 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院14 1980：Morlet 20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物 理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT) 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院15 1986：Y.Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰 减性的光滑函数，用于分析函数。用

8、缩放(dilations)与平移 (translations)均为2 j(j0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的 规范正交基，使小波分析得到发展。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院16 1988：Mallat算法 法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空间上 形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造 方法和快速算法，称为Mallat算法。 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位 相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院17 小波理论与工程应用 Inr

9、id Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器 组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现 实。 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。 在信号处理中，自从Stephane Mallat和Inrid Daubechies 发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波分析在信 号(如声音和图像)处理中得到极其广泛的应用。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院18 小波分析与小波变换 小波变换 变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 对

10、一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换 通过平移母小波(mother wavelet)获得信号的时间信息 通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性 对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系 数代表局部信号和小波之间的相互关系 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院19 小波分析中常用的三个基本概念 连续小波变换 离散小波变换 小波重构 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院20 连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT) 小波分析 用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号

11、一系列小波可用作表示一些函数的基函数 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变 换用的正弦波 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波 更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好 2021-7-1221 CWT的变换过程示例： 小波 (t)和原始信号f(t)的开始部分 进行比较 计算系数C该部分信号与小波的 近似程度；C值越高表示信号与小波 相似程度越高 小波右移k得到的小波函数为 (t-k) ，然后重复步骤1和2，直到信号 结束 扩展小波，如扩展一倍，得到的小 波函数为 (t/2) 重复步骤14 连续小波变换的过程连续小波变换的过程

12、 2021-7-1222 连续小波变换 (,)( ) (, )C scale positionf tscale position t dt 该式含义：小波变换是信号该式含义：小波变换是信号f(t)与被与被缩放缩放和和平移平移的小波函数的小波函数 之积在信号存在的整个期间里求和之积在信号存在的整个期间里求和 CWT变换的结果是许多小波系数变换的结果是许多小波系数C ，这些系数是缩放因子，这些系数是缩放因子 (scale)和位置和位置(position)的函数的函数 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院23 离散小波变换(discrete wavelet transform

13、，DWT) 用用小波的基函数小波的基函数(basis functions)表示一个函数的方法表示一个函数的方法 小波的小波的基函数序列基函数序列或称或称子小波子小波(baby wavelets)函数函数 是由单个是由单个小波小波或称为或称为母小波函数母小波函数通过缩放和平移得通过缩放和平移得 到的到的 缩放因子和平移参数缩放因子和平移参数都选择都选择2j (j 0的整数的整数)的倍数的倍数 ，这种变换称为双尺度小波变换，这种变换称为双尺度小波变换(dyadic wavelet transform) 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院24 DWT得到的小波系数、缩放因子

14、和时间关系 Morlet小波分解结果 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院25 执行DWT的有效方法 Mallat算法：S表示原始的输入信号；通过两个互补的滤波器 产生A和D两个信号。 双通道滤波过程双通道滤波过程 A表示信号的近似值表示信号的近似值 (approximations)，大的缩放大的缩放 因子因子产生的系数，表示信号的产生的系数，表示信号的 低频分量低频分量 D表示信号的表示信号的细节值细节值(detail)， 小的缩放因子产生的系数，表小的缩放因子产生的系数，表 示信号的示信号的高频分量高频分量 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学

15、院26 小波分解树与小波包分解树 由低通滤波器和高通滤波器组成的树 原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信 号的分解过程可以迭代，即可进行多级分解。 小波分解树(wavelet decomposition tree) 用下述方法分解形成的树：对信号的高频分量不再继续 分解，而对低频分量连续进行分解，得到许多分辨率较 低的低频分量 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院27 小波包分解树(wavelet packet decomposition tree) 用下述方法分解形成的树：不仅对信号的低频分量连续进行 分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许

16、多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的 高频分量。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院28 小波分解树 小波分解树小波分解树 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院29 三级小波包分解树三级小波包分解树 1332 SAAADDADDD 2021-7-1230 注意：在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得 到的数据将是原始数据的两倍 例如，如果原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后 每一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。于是,根 据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了采用降采样 (downsampling)

17、的方法，即在每个通道中每两个样本数据 中取一个，得到的离散小波变换的系数(coefficient)分别用 cD和cA表示。 2021-7-1231 降采样过程降采样过程 2021-7-1232 图像的多分辨率分解 首先沿x方向分别用低通和高通做分析，把图像分解成 平滑逼近和细节逼近两部分； 然后对这两部分再沿y方向分别用低通和高通做类似分 析，得到四路结果； 四路结果中，经两次低通所得的是第一级平滑逼近， 用LL表示，经水平低通和垂直高通的用LH表示，经水 平高通和垂直低通的用HL表示，两次均为高通的用HH 表示。 2021-7-1233 二维小波分解过程示意图 LLHL1 LH1HH1 20

18、21-7-1234 HL1 LH1HH1 LLLHL2 LH2HH2 二级小波分解二级小波分解三级小波分解三级小波分解 小波分解结果 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院35 小波重构 重构概念 把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做逆离散小波变换 (inverse discrete wavelet transform，IDWT) 两个过程 在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样(downsampling)两个 过程，在小波重构时也包含升采样(upsampling)和逆滤波两

19、个过程， 升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信号的分量加长。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院 36 小波重构 小波重构方法小波重构方法 升采样的方法升采样的方法 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院37 重构滤波器 滤波器关系到能否重构出满意的原始信号。在信号的分解 期间，降采样会引进畸变，这种畸变叫做混叠(aliasing)。 这就需要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一 致的滤波器才有可能取消这种混叠。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院38 低通分解滤波器(L)和高通分解滤波器(H)以及重构

20、滤 波器(L和H)构成一个系统，这个系统叫做正交镜 像滤波器(quadrature mirror filters，QMF)系统。 正交镜像滤波器系统正交镜像滤波器系统 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院39 参考资料 小波变换演示 网址： .pl/maziarz/Wavelets/ 要安装下面的插件 Macromedia Shockwave plug-in 该演示有声音解说 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院40 小波变换在图像处理中的应用 图像压缩 图像去噪 图像增强 图像融合 2021-7-

21、12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院41 图像压缩：低频部分保留了原图像的主要信息 第一次：仅提 取第一次分解 的低频信息 28.6% 第二次：提取 第二次分解的 低频信息 8.6% 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院42 图像去噪 将二维图像进行N层小波 分解，对分解后的每一 层高频系数进行阈值量 化，然后用量化后的高 频系数和相应的低频系 数重构图像。 阈值的选取决定去噪的 效果。 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院43 图像增强 图像钝化（原图、DCT、小波变换） 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院4

22、4 图像锐化：增强高频信息图像锐化：增强高频信息 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院45 图像融合 2021-7-12 北京工业大学软件学院北京工业大学软件学院46 3.7 冗余字典与稀疏表示 稀疏表示，它意欲用尽可能少的非0系数表示信号的主要信息，从而简 化信号处理问题的求解过程。 稀疏表示模型可如表达式(1)所示，其中yRn为待处理信号， DR(nm)为字典，xRm为稀疏系数， |x|_0m。|x|_0为x的稀疏 度，它表示x中非0稀疏的个数。 y=Dx subject to min|x|_0 (1) nm m1 n1 几个专业名词解析: 原子：原子 即为字典的列向量。 完备字典与过完备字典： 如果字典D中的原子恰能够张成n维的欧式空间，则字典D是完备的。 如果mn，字典D是冗余的，同时保证还能张成n维的欧式空间，则大字 典D是过完备的。 我们一般用的字典都是过完备的，因为在过完备的字典下分解稀疏系数不 唯一，这也恰恰为图像的自适应处理提供的可能，我们可以根据自己处理的要 求选择最合适的最稀疏的系数。