第1章信号及其描述

1、 第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 一一概述概述 二二信号的分类信号的分类 三三信号的时域和频域描述信号的时域和频域描述 交通信号灯 信息信号 信息的载体是光信号 红灯 亮 黄灯 亮 绿灯 亮 停止 通行 注意 一、概述一、概述 信号的定义：信号的定义：物理角度，物理角度，数学角度，数学角度，工程角度。 工程角度。 信号就是承载某种或某些信息的物理量的变化历程。信号就是承载某种或某些信息的物理量的变化历程。 信号就是函数，就是某一变量随时间或频率或其他变信号就是函数，就是某一变量随时间或频率或其他变 量而变化的函数。量而变化的函数。 信号表现为一组数据或波形，这组数据通常是由某一

2、信号表现为一组数据或波形，这组数据通常是由某一 检测仪器，如传感器，从某一物理系统上检测得到的，检测仪器，如传感器，从某一物理系统上检测得到的， 以数据的形式记录在纸上，或存储在某种磁性介质上，以数据的形式记录在纸上，或存储在某种磁性介质上， 或以波形形式显示在仪器的显示屏上。或以波形形式显示在仪器的显示屏上。 简谐振动信号测试系统结构框图简谐振动信号测试系统结构框图 n如心电图，就是利用仪器从人体上获得的心脏跳如心电图，就是利用仪器从人体上获得的心脏跳 动的数据，通常显示在仪器上供医生诊断之用，动的数据，通常显示在仪器上供医生诊断之用， 或记录在纸上作为病人病例记录。或记录在纸上作为病人病例

3、记录。 生物医学信号处理应用生物医学信号处理应用 滤波以前干扰严重滤波以前干扰严重 滤波以后干扰去除滤波以后干扰去除 n 再比如飞机上的黑匣子，就是将各种传感器采集再比如飞机上的黑匣子，就是将各种传感器采集 下来的有关飞机飞行状态、发动机工作状态等数下来的有关飞机飞行状态、发动机工作状态等数 据记录下来，以备将来分析事故之用。据记录下来，以备将来分析事故之用。 信号的分类主要是依据信号波形特征来划分信号的分类主要是依据信号波形特征来划分 的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。 信号波形：信号波形：被测信号的幅度随时间的变化的历被测信号的幅度随时

4、间的变化的历 程称为信号波形。程称为信号波形。 信号波形信号波形电容传声器电容传声器齿轮啮合振动齿轮啮合振动 二、信号的分类二、信号的分类 常见标准信号波形常见标准信号波形 0 信号波形图：信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用被测物理量的强度作为纵坐标， 用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情 况。况。 为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究 是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为：是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： n从信号描述上：从信号描述上：确定性信号与非确定性信号；确定性信

5、号与非确定性信号； n从信号幅值和能量：从信号幅值和能量：能量信号与功率信号；能量信号与功率信号； n从分析域：从分析域：时域与频域；时域与频域； n从连续性：从连续性：连续时间信号与离散时间信号；连续时间信号与离散时间信号； n从可实现性：从可实现性：物理可实现信号与物理不可物理可实现信号与物理不可 实现信号。实现信号。 1 、确定性信号与非确定性信号、确定性信号与非确定性信号 可以用明确数学关系式描述的信号称为可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号确定性信号。 不能用数学关系式描述的信号称为不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号非确定性信号。 信号 非确定性信号 确定性信号 非平

6、稳随机信号 平稳随机信号 非周期信号 周期信号简单周期信号 一般周期信号 准周期信号 瞬态信号 a) 周期信号：按一定时间间隔周而复始出现的信号 x ( t ) = x ( t + nT ) 简单周期信号 一般周期信号 00 sint m k Xtx 谐波信号谐波信号频率单一的正弦或余弦信号。频率单一的正弦或余弦信号。简单周期信号：简单周期信号： 信号的信号的 “波形波形” + = x1(t)=A1Sin(1t+1) =A1Sin(21t+1) =10Sin(23t+/6) x2(t)=A2Sin(2t+2) =A2Sin(2 2t+2) =5Sin(22t+/3) x3(t)=10Sin(2

7、3t+/6) +5Sin(22t+/3) + = 由多个乃至无穷多个频率成分叠加而成， 叠加后存在公共周期的信号 一般周期信号: 00.511.522.53 -10 -5 0 5 10 (a) mm 00.511.522.53 -5 0 5 (b) mm 00.511.522.53 -10 0 10 (c) mm t t t 00.511.522.53 -10 -5 0 5 10 mm 00.511.522.53 -5 0 5 (b) mm t t 00.511.522.53 -10 -5 0 5 10 (a) mm t 周期性三角波 周期性方波 b) 非周期信号：再不会重复出现的信号。 准周

8、期信号:由多个周期信号合成，其中至少有一对频率 比不是有理数。 )3sin( )2sin()( 22 11 tA tAtx 瞬态信号:在有限时间段内存在，或随着时间的增加而幅值 衰减至零的信号。 00 sint m k xetx t 0 (a)锤击物体的力信号锤击物体的力信号 (b)T段为汽车加速过程信号段为汽车加速过程信号 (c)半个正弦信号半个正弦信号(d)矩形窗信号矩形窗信号 c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化 不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。 平稳与非平稳 噪声信号(平稳) 噪声信号(非平稳) 统计特性变异 )( )( )( )( 均离散信号的幅值和独立变量数

9、字信号 独立变量离散一般离散信号 离散信号 独立变量连续一般连续信号 均连续信号的幅值与独立变量模拟信号 连续信号 信号 2.连续信号与离散信号 时间时间 幅值幅值 连续连续 离散离散被采样信号被采样信号 模拟信号模拟信号 连续连续 离散离散 量化信号量化信号 数字信号数字信号 (a)汽车速度连续信号汽车速度连续信号 (b)开水房锅炉水温度的变开水房锅炉水温度的变 化连续信号化连续信号 (c)每日股市的指数变化 （离散信号） (d)某地每日的平均气温变化 （离散信号） (e)每隔5分钟测定开水房锅 炉水的温度变化（离散信号） (f)每隔2微妙对正弦信号采样获 得的离散信号 3.能量信号与功率信

10、号 a)能量信号 当信号x(t)在所分析的区间（-，），能量为有限 值的信号称为能量信号，满足条件： 一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。 dttx)( 2 b)功率信号功率信号 当信号当信号x(t)在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量），能量 。此时，在有限区间。此时，在有限区间(t1,t2)内的平均功率是有限的。内的平均功率是有限的。 一般一般持续时间无限持续时间无限的信号都属于功率信号。的信号都属于功率信号。 噪声信号噪声信号 一般周期信号一般周期信号 dttx)( 2 2 1 )( 1 2 12 t t dttx tt )3102sin(10)2sin()sin()( 000

11、0 tftAtAtx l信号的时域描述：以 时间为独立变量，其强 调信号的幅值随时间变 化的特征。 l信号的频域描述：以角 频率或频率为独立变量， 其强调信号的幅值和相 位随频率变化的特征。 三、信号的时域和频域描述信号的信号的“域域” 时域频域 0 2 2 0 )( )()( 0 0 0 t T A T tA tx nTtxtx 时域描述：时域描述：直接观测或记录到的信号，以时直接观测或记录到的信号，以时 间为独立变量的，称其为信号的时域描述。间为独立变量的，称其为信号的时域描述。 频域描述：频域描述：以频率作为变量的，称其为信号的频域以频率作为变量的，称其为信号的频域 描述。描述。 周期信

12、号的频域描述周期信号的频域描述 第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 一一傅立叶级数三角展开傅立叶级数三角展开 二二傅立叶级数复指数展开傅立叶级数复指数展开 时域分析时域分析反映信号的幅值随时间的变化情况，反映信号的幅值随时间的变化情况， 频域分析频域分析反映信号的频率组成和各频率分量大小反映信号的频率组成和各频率分量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变 换为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。 8563A SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz 傅里叶

13、傅里叶 变换变换 一一. 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅立叶级数三角展开傅立叶级数三角展开 时间 幅值 频率 时域分析 频域分析 信号的频谱信号的频谱X(f) 代表了信号在不代表了信号在不 同频率分量处信同频率分量处信 号成分的大小，号成分的大小， 它能够提供比时它能够提供比时 域信号波形更直域信号波形更直 观，丰富的信息。观，丰富的信息。 u时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的关系 谱线 在有限区间上，一个周期信号x（t）当满足 狄里赫利条件时可展开正交函数线性组合的无穷正交函数线性组合的无穷 级数，如三角函数集的傅里叶级数。级数，如三角函数集的傅里叶级数。 式中， T周期，

14、周期，0基波圆频率，基波圆频率， 。 v注意： an是n或n0的偶函数，a-n=an； v bn是n或n0的奇函数，b-n=-bn 。 000 1 ( )(cossin) nn n x taantbnt 2/ 2/ 0 cos)( 2 T T n tdtntx T a 2/ 2/ 0 sin)( 2 T T n tdtntx T b / 2 0 / 2 1 ( ) T T ax t d t T 0 2/T 狄里赫利条件狄里赫利条件: （1）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。 （2）函数在一周期内间断点为有限个。）函数在一周期内间断点为有限个。 （3）

15、在一周期内函数绝对值积分为有限值）在一周期内函数绝对值积分为有限值 。 dttf T 0 )(即即 信号x（t）的另一种形式的傅里叶级数表达式： 式中， An称信号频率成分的幅值，n称初相角。 v注意：An是n或n0的偶函数，A-n=An； v bn是n或n0的奇函数，-n=-n 。 v 并可知 ： 00 1 ( )cos() nn n x taAnt )( 22 n n n nnn a b arctg baA n1,2, nnn nnn Ab Aa sin cos n1,2, 小结与讨论 1.式中第一项a0为周期信号中的常值或直流 分量； 2.从第二项依次向下分别称信号的基波或一 次谐波、二

16、次谐波、三次谐波、n 次谐波 ； 3.将信号的角频率0作为横坐标，可分别画 出信号幅值An和相角n随频率0变化的 图形，分别称之为信号的幅频谱和相频谱 图。 例1 求图所示的周期方波信号x（t）的傅里叶级数 及其频谱。 解：信号x（t）在它的一个周期中的表达式为： 有： ;sin)( ;cos)( ;)( 2/ 2/ 0 2 2/ 2/ 0 2 2/ 2/ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T n T T T n T T T tdtntxb tdtntxa dttxa 图周期方波信号 2 0, 1 0 2 , 1 )( T t t T tx 2/ 2/ 0 0cos)( 2

17、T T n tdtntx T a 注意：本例中x(t)为一奇函数，而cosn0t为偶函数，两 者的积x(t)cosn0t也为奇函数，而一个奇函数在上、下 限对称区间上的积分值等于零。 可得周期方波信号的傅 里叶级数表达式为： ;sin)( ;cos)( ;)( 2/ 2/ 0 2 2/ 2/ 0 2 2/ 2/ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T n T T T n T T T tdtntxb tdtntxa dttxa 6 , 4 , 2, 0 , 5 , 3 , 1, 4 cos1 2 )cos( 1 cos 12 sinsin) 1( 2 sin)( 2 2/ 00

18、0 0 2/0 0 2/ 0 0 0 2/ 0 2/ 2/ 0 n n n n n tn n tn nT tdtntdtn T tdtntx T b T T T T T T n )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( 000 ttttx 周期方波信号的频谱图 周期函数的奇偶特性周期函数的奇偶特性 若周期函数若周期函数x(t)为奇函数，即为奇函数，即x(t)=-x(-t) 0 /2 4 0 0 0; 0; ( )sin; n T nT a a bx tntdt /2 2 0 0 /2 4 0 0 ( ); ( )cos; 0 T T T nT n ax t dt ax tntd

19、t b 1 000 sincos)( n nn tnbtnaatx 1 0 sin)( n n tnbtx 1 00 cos)( n n tnaatx 若若周期函数周期函数x(t)偶函数，即偶函数，即x(t)=x(-t) ;sin)( ;cos)( ;)( 2/ 2/ 0 2 2/ 2/ 0 2 2/ 2/ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T n T T T n T T T tdtntxb tdtntxa dttxa 周期信号频谱特点周期信号频谱特点 1、由于、由于 为整数，各频率分量仅在为整数，各频率分量仅在 的频率处取值，因的频率处取值，因 而得到的是关于幅值而得到的是

20、关于幅值 和相角和相角 的离散谱线的离散谱线 2、诸分量频率都是基波频率的整数倍、诸分量频率都是基波频率的整数倍 3、各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值和相位角，工程、各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值和相位角，工程 上常见的信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而上常见的信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而 减小的。减小的。 n n A 0 n n 1 00 0 1 00 )sin()( )sincos()( n nn n n n tnAatx tnbtnaatx 周期信号的频谱具有周期信号的频谱具有离散性离散性、谐波谐波 性性和和收敛性收敛性三个特点。三个特点。 v欧拉公式

21、欧拉公式 )1(sincos 00 0 jtnjtne tjn )( 2 1 cos 00 0 tjntjn eetn )( 2 sin 00 0 tjntjn ee j tn 1 0 )( 2 )( 2 0000 n tjntjn n tjntjn n ee b jee a a 1 0 00 22 n tjnnntjnnn e jba e jba a 00 aC )( 2 1 nnn jbaC )( 2 1 nnn jbaC tjn n n tjn n n eCeCCtx 00 11 0 )( 则 那么 令 1 000 sincos)( n nn tnbtnaatx tjn n n tjn

22、n n tjn n n eCeCeC 000 110 二、傅里叶级数的复指数函数展开式：二、傅里叶级数的复指数函数展开式： an是n的偶函数，a-n=an； bn是n的奇函数，b-n=-bn 。 即即 , 2, 1, 0)( 0 neCtx tjn n n )( 2 1 nnn jbaC 2/ 2/ 0 0 0 0 cos)( 2 T T n tdtntx T a 2/ 2/ 0 0 0 0 sin)( 2 T T n tdtntx T b 2/ 2/ 0 0 2/ 2/ 0 0 0 0 0 0 sin)( 2 cos)( 2 2 1 2 T T T T nn n tdtntx T j tdt

23、ntx T jba C 2/ 2/ 0 0 0 0 )( 1 T T tjn n dtetx T C 由 所以 即即 2/ 2/ 00 0 0 0 sincos)( 1 T T dttnjtntx T tnjtne tjn 00 sincos 0 一般情况下，一般情况下，Cn是复数是复数 n j nnInRn eCjCCC | 22 nInRn CCC nR nI n C C arctg Cn与与C-n共轭共轭 * nn CC nn 把周期函数把周期函数x(t)展开为傅立叶级数以后，作关系图展开为傅立叶级数以后，作关系图 CnR0称为实频图称为实频图 CnI0称为虚频图称为虚频图 |Cn|0称

24、为称为双边幅频双边幅频图，图，n=-+，n=-+， n0称为称为双边双边相频图相频图 2/ 2/ 0 0 0 0 )( 1 T T tjn n dtetx T C nn AC 2 1 例例2:画出正弦函数画出正弦函数sin0t的频谱图。的频谱图。 0 nR C 2 j Cn )( 2 sin 00 0 tjtj ee j t , 2, 1, 0)( 0 neCtx tjn n n tjtjtjn n n ejejeCt 000 1)1( 0 2 1 2 1 sin 在 0 处： 0 nR C 2 1 nI C 2 1 n C 2 n 0 nR C 2 1 nI C 2 1 n C 2 n 在

25、0 处： 2 j Cn n j nnInRn eCjCCC | nR nI n C C arctg 一般周期函数实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。一般周期函数实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。 实频图虚频图 双边幅频图 双边相频图 单边幅频图 )( 2 1 )( 2 1 2cos2sin)( 0000 2222 00 tftftftf eeeejtftftx 21 nR C21 nI C 22 n C 4 n 21 nR C 2 1 nI C 22 n C 4 n 0 f处： 在 0 f处： 在 实频图虚频图 双边幅频图双边相频图 00 2 ()2 11 22 ftf t jeje

26、 （1）（1） 例例3：画出：画出 的双边频谱。的双边频谱。 )42sin(2)( 0 tftx 一一傅里叶变换傅里叶变换 二二傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 三三几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 第三节第三节 瞬变瞬变非周期非周期信号与连续频谱信号与连续频谱 非非 周周 期期 信信 号号 准周期信号准周期信号 信号中各简谐成分信号中各简谐成分 的的频率比为无理数频率比为无理数 具有具有离散频谱离散频谱 瞬变信号瞬变信号 在一定时间区间内在一定时间区间内 存在或随时间的增存在或随时间的增 长长衰减至零衰减至零 准周期信号准周期信号 x(t) 0 t x(t) 0 t 瞬变瞬变信号

27、信号I 0 t x(t) 瞬变瞬变信号信号II tAtAtx31sin9sin)( ttx t sine)( 一一.瞬变非周期信号频谱的求取方法瞬变非周期信号频谱的求取方法 周期信号周期信号x(t)，在，在-T/2, T/2区间内区间内 , 2, 1, 0)( 0 neCtx tjn n n 式中，式中， 当当T时，时， 积分区间由积分区间由-T/2,T/2变为变为(-,)； 0 lim( ) j t n T CTx t edt 0=2/T 0， 离散频率离散频率n0连续变量连续变量。 0 /2 /2 1 ( ) T jnt n T Cx t edt T X()为单位频宽上的谐波幅值，具有为单

28、位频宽上的谐波幅值，具有“密度密度”的的 含义，故把含义，故把X()称为瞬态信号的称为瞬态信号的“频谱密度函数频谱密度函数”， 或简称或简称“频谱函数频谱函数”。 0 ( )limlim n n Tf C XCT f 一般为复数，用一般为复数，用X()表示表示为：为： X()称为信号称为信号x(t)的的傅立叶变换。傅立叶变换。 ( )( ) j t Xx t edt lim( ) j t n T CTx t edt u傅立叶逆变换傅立叶逆变换 当当T时，时，0=2/T0 ， 0=d离散频率离散频率n0连续变量连续变量 求和求和积分。则：积分。则： , 2, 1, 0)( 0 neCtx tjn

29、 n n 00 0 1 ( )limlim 2 jntjnt nn TT nn x tTC eTC e T 1 ( )( ) 2 j t x tXed x(t)为为X()的的傅立叶傅立叶逆变换逆变换（反变换）（反变换） ( )( ) j t Xx t edt 0 /2 /2 1 ( ) T jnt n T Cx t edt T 周期信号周期信号 瞬变非周期信号瞬变非周期信号 u傅立叶变换对傅立叶变换对 由于=2 ( )( ) j t Xx t edt 1 ( )( ) 2 j t x tXed ( )( ) FT IFT x tX 2 ( )( ) jft X fx t edt 2 ( )(

30、) jft x tX fedf () ()() jf XfXfe 22 ( )Re ( ) Im ( ) Im ( ) ( ) Re ( ) X fX fX f X f farctg X f - -f 连续连续幅值谱幅值谱 -f 连续连续相位谱相位谱 fX f 22 11 ( )( )(2)2( ) 22 j tjftjft x tXedXfedfX fedf 矩形窗函数矩形窗函数 fT fT Tee fj fTjfTj sin )( 2 1 2 ( )( ) jft X fx t edt 0(2) ( )1 (22) 0(2) R tT w tTtT tT 矩形窗函数矩形窗函数 2 ( )(

31、 ) jft RR Wfw t edt 2 2 2 2 2 2 2 1 1 T T ftj T T ftj e fj dte )(sinfTCT 例例:矩形窗函数矩形窗函数 的频谱的频谱 f ( ) R w t ( ) R w t 矩形窗函数频谱 ( ) R W f 例：单边指数衰减函数的频谱例：单边指数衰减函数的频谱 2 ( )( ) jft X fx t edt u周期和非周期信号幅值谱的区别周期和非周期信号幅值谱的区别 |X ()|为连续频谱，而为连续频谱，而|Cn|为离散频谱；为离散频谱； |Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即的量纲和信号幅值的量纲一致，即 振幅，而振幅，而|X ()

32、|的量纲相当于的量纲相当于|Cn|/，为单，为单 位频宽上的幅值，即位频宽上的幅值，即“频谱密度频谱密度函数函数”， 振幅振幅/频率（如频率（如cm/Hz）。）。 非周期信号幅值谱|X ()|与周期信号幅值谱|Cn| 之间的区别： 二二.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 a.若若x(t)是实函数是实函数 a1.若若x(t)为实偶函数，则为实偶函数，则ImX()=0，而，而X()是实偶函数；是实偶函数； a2.若若x(t)为实奇函数，则为实奇函数，则ReX()=0，而，而X()是虚奇函数；是虚奇函数； b.若若x(t)是虚函数是虚函数 b1.若若x(t)为虚偶函数，则为虚偶函数，则ReX()=0

33、，而，而X()是虚偶函数；是虚偶函数； b2.若若x(t)为虚奇函数，则为虚奇函数，则ImX()=0，而，而X()是实奇函数。是实奇函数。 2 ( )( ) ( )cos2( )sin2 ( )+( ) jft em X fx t edt x tftdtjx tftdt R X fjIX f 1.奇偶虚实性 ( )cos2( )( )sin2( ) em x tftdtR X fjx tftdtjI X f ( )cos2( )( )sin2( ) me x tftdtjI X fjx tftdtR X f 2 1 122 22 1 122 1122 ( )( ) ( )( ) ( )( )

34、jft jftjft c x tc x t edt c x t edtc x t edt c Xfc Xf 如果有 则 11 ( )( )x tXf 22 ( )( )x tXf 1 1221122 ( )( )( )( )c x tc x tc Xfc Xf 2.线性叠加性 证明 例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱 + X1(f) X2(f) 用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化 3.对称性 若若:(时域信号时域信号) x(t) X() (频域信号频域信号)，则，则 X (t) x (-) ( )X f ( )Xt T T 2 T 2 T 1 T 1 T 1 T 1 T 2 T 2

35、 T 对称性对称性：X(t) x(-f ) 证明：证明： 互换互换 t 和和 f 从而：从而：X(t) x(-f) ffXtx ftj de )()( 2 fefXtx ftd )()( 2j ttXfx ftj de )()( 2 2 ( )( ) jft X fx t edt 4.时间尺度改变特性时间尺度改变特性 若若 ，则则对于实常数 ，有 64 ()( )xtX f 1 () f x ktX kk k 当时域尺度压缩( 1)时，对应的频域展宽且 幅频谱谱线高度减小； 当时域尺度展宽( 1)，则信号的频宽压缩，则信号的频宽压缩k倍，而倍，而幅值变为原幅值变为原 来的来的k倍倍。 sin(

36、) ( ) R fT WfT fT k=1 -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910 -1 0 1 2 3 t mm (a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3) -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910 -0.5 0 0.5 1 t mm (b)窗 函 数 频 谱 图 (T=1) -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910 -1 0 1 2 3 t mm (a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3) -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910 -0.5 0 0.5 1 t mm (b)窗 函

37、数 频 谱 图 (T=1) 1 3 k 时间尺度改变性时间尺度改变性 证明：证明： j2 j2() ()()ed 11 ()d()() ft f kt k F x ktx ktt f x kt ektX kkk 2 j 2 j 1 ()( )ed 11 ( )ed f k f k F x ktx k f xX kkk （k 0） （k 1，变化速，变化速 度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。 5.时移性 若若 ，则在时域中信号沿时间轴平移一常值，则在时域中信号沿时间轴平移一常值t0（时时 移移） ，则，则 0 2 0 ()( ) jf

38、t x tteX f 对应 如果信号在时域中如果信号在时域中延迟了时间延迟了时间t0，其频谱幅值不会改变，而，其频谱幅值不会改变，而 相频谱中各次谐波的相频谱中各次谐波的相移相移-2t0，与，与频率成正比。频率成正比。 ( )( )x tX f 例 求图所示矩形脉冲函数的频谱。 解：该函数可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至t0点位置 所形成，则其傅里叶变换及幅频谱和相频谱分别为 0 2 ( )sin () jft X fTcfT e 0 0 ( )sin () 2,sin () 0 ( ) 2, sin () 0 X fTcfT t fcfT f t fcfT 证明：证明： 若若 t0

39、为常数为常数 则则 时移结果时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱 时移性质时移性质 0 2j 0 e )()( ft fXttx 00 0 j2 00 j2 ()j2 00 j2 ()()ed ()eed() ( )e ft f t tft ft F x ttx ttt x tttt X f 0 j2 0 1 ()()e f t a f F x attX aa tfj etxffX 0 2 0 )()( ( )()x tXf 图 x(t)cos0t的频谱 6.频移性 若若 ，在频域中信号沿频率轴平移一，在频域中信号沿频率轴平移一 常值常值0（频移

40、频移），则），则 证明：证明： 若若 f0为常数为常数 则则 频移性质频移性质 10 01 01 0 1 0 j2 010 j2() 1 1 j2j2 11 j2j2 11 j2 () ()ed () ()ed ()eed e()ed e( ) ft fft f tf t f tf t f t FX ff X ffffff X ff X ff X ff x t 令 70 tfj etxffX 0 2 0 )()( 时域表达式时域表达式 例例:求被截取的余弦信号的频谱函数求被截取的余弦信号的频谱函数 0 00 |0 |cos )( Tt Ttt tx 71 7.卷积定理 对于任意两个对于任意两个

41、函数函数x1(t)和和x2(t)，定义它们的卷积为：定义它们的卷积为： dtxxtxtx)()()(*)( 2121 若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 则则 1.两个函数在两个函数在时域中的卷积时域中的卷积，对应于，对应于频域中的乘积频域中的乘积 2.两个函数在两个函数在时域中的乘积时域中的乘积，对应于，对应于频域中的卷积频域中的卷积 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2() 时域卷积特性证明时域卷积特性证明 对于对于x1(t)和和x2(t)，定义它们的卷积为：定义它们的卷积为： dtxxtxtx)()()(*)( 2121 若若x

42、1(t) X1()，x2(t) X2()， 则则 x1(t)* x2(t) X1()X2() )()( )()( )()( )()( )()()(*)( 21 2 21 2)(2 21 2 21 2 2121 fXfX defXx ddteetxx ddtetxx dtedtxxtxtxF fj fjtfj ftj ftj 1 X（f） 频域卷积特性证明频域卷积特性证明 对于对于 和和 ，定义它们的卷积为：定义它们的卷积为： 1212 ( )*( )( )()XfXfXXfd 若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 则则 x1(t) x2(t) X1()*X2() 12 1212 2

43、 12 2 ()2 12 22 1221 12 ( )*( )( )() ( )() ( )() ( )( )( )( ) ( )( ) jft jft jftjt jtjt FXfXfXXfdedf XXfedf d XXfeedf d Xx t edx tXed x t x t 74 1( ) Xf 2 ()Xf n n t tx d )(d )(2 jfXf n ffXtx ft de )()( 2j ffXf t tx ft de )()2 j ( d )(d 2j d ( ) (j2 )( ) d x t Ff X f t d( ) (j2 )( ) d n n n x t FfX

44、f t 8.8.微分特性：微分特性： 证明：证明： 同理：同理： 能量信号和功率信号 v能量(energy)信号： 例如： 在右图所示的单自由度振动系统中： 由弹簧所积蓄的弹性势能为 x2(t); 若x(t)表达为运动速度，则x2(t)反 映的是系统的运动中的动能。 定义：当x（t）满足关系式 则称信号x（t）为有限能量信 号 ，简称能量信号。 矩形脉冲、衰减指数信号等均属 这类信号。 dttx 2 )( 图 单自由度振动系统 v功率(power)信号： 当信号满足条件 亦即信号具有有限的（非零）平均功率，则称 信号为有限平均功率信号，简称功率信号。 2/ 2/ 2 )( 1 lim0 T T

45、T dttx T 功率信号的傅里叶变换 只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶 变换，即 。 有限平均功率信号，它们在(-, )区域上 的能量可能趋近于无穷，但它们的功率是有限的， 即满足 利用函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变 换来实现这些函数的傅立叶变换。 0)( dttx 2/ 2/ 2 )( 1 lim T TT dttx T P 三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱 在在时间内激发时间内激发矩形矩形脉冲脉冲 （或（或三角三角脉冲、脉冲、双边指双边指 数数脉冲，脉冲，钟形钟形脉冲）所包含的脉冲）所包含的面积为面积为1； 1.单位脉冲函数单位脉冲函数(t)及其频谱及其频谱 0 li

46、m( )( )tt 0 t )(tS 单位面积1 0 t 0 t2 1 1 )(t )(tS 1 各种单位面积为1的脉冲 矩形脉冲到函数函数 当当0时，时， 的极限就称为的极限就称为单位脉冲函数单位脉冲函数，记作，记作(t)， 即（单位脉冲函数）。即（单位脉冲函数）。 (1)(t)的定义的定义 ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t 从极限角度从极限角度: : (2)(t)的特性 00 0 )( t t t 从面积角度从面积角度: : 1)(lim)( 0 dttSdtt 0 t 0 t2 1 1 )(t )(tS 1 矩形脉冲到矩形脉冲到函数函数 ( ) t (3)(t)乘积性乘积性

47、 0 ( ) ( )(0) ( ) ( ) () x ttxt x ttt 00 0 )( t t t 00 () ()xttt 0 ( )lim( )1t dtt dt )0()()0()()0()()(xdttxdttxdtttx (4)(t)的筛选性的筛选性 )( tx t 0t )( t 0 - 1 + 1 )( tx t 0 - 1 + 1 )( tx t 0t )( t 0 - 1 + 1 )( tx t 0 - 1 + 1 t 0 t 0 000000 ( )()( )()()()()x tt t dtx tt t dtx tt t dtx t )( tx t 0t )( t 0

48、 - 1 + 1 )( tx t 0 - 1 + 1 )( tx t 0t )( t 0 - 1 + 1 )( tx t 0 - 1 + 1 t 0 t 0 0 ( )lim( )1t dtt dt v令令t-=t，则，则=t- t，d=-d t，代入则，代入则 )()0(dtttx )()()()(*)(txdtxttx )()()()( )()()(*)( dttttxdttttx dtxttx 结果：结果：x(t)与与(t)的卷积等于的卷积等于x(t)。 函数的卷积特性函数的卷积特性 (5)(t)与其它信号的卷积与其它信号的卷积 )()()()(*)( 000 ttxdttxtttx 结

49、果：结果：(tt0)时卷积，就是将函数时卷积，就是将函数x(t)在发生脉在发生脉 冲函数的坐标位置上重新作图冲函数的坐标位置上重新作图 当脉冲函数为(tt0)时，与函数x(t)的卷积 函数的卷积特性函数的卷积特性2 (6)(t)的频谱的频谱 2 ( )( ) jft ft edt 逆变换：逆变换： dfet ftj 2 1)( (t) 1 据对称性：据对称性： 1() 0 t )(t 0 )( f 1 函数的频谱函数的频谱 1 0 e 直流分量的频谱直流分量的频谱 (t) 1 1() 根据时移特性根据时移特性 ： 0 2 0 )()( ftj efXttx 对应 tfj etxffX 0 2 0 )()( 0 2 0 () jft tte 0 2 0 () jf t eff 根据频移特性根据频移特性 ： 2.谐波函数 余弦函数的频谱： 000 1 cos2()() 2 f tffff 00 22 0 cos 2 2 jf ttjf t ee f t e R 00 22 0 () sin2 2 jf tjf tt j ee f t 000 1 sin 2()() 2 f tjffff 正弦函数的频谱： 3.周期函数的频谱 周期函数x(t) 的傅里叶级数形式： 式中 x(t