第一章离散时间信号与系统

1、第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 离散时间信号序列离散时间信号序列 线性移不变系统线性移不变系统 常系数线性差分方程常系数线性差分方程 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样 离散时间信号序列离散时间信号序列 序列的定义序列的定义 离散时间信号可由连续时间信号离散时间信号可由连续时间信号x(t)x(t)通过通过 抽样获得。抽样获得。 设抽样时间间隔为设抽样时间间隔为T T，用，用x(nT)x(nT)表示此离表示此离 散时间信号在散时间信号在nT nT 点上的值，点上的值，n n为整数。可以为整数。可以 直接用直接用x(n)x(n)表示第表示第n n个离散时间点的序列值，个离散时间

2、点的序列值， 并用并用 x(n) x(n)表示离散时间信号表示离散时间信号序列，为序列，为 方便起见，通常情况下直接用方便起见，通常情况下直接用x(n)x(n)表示离散表示离散 序列序列。 离散时间信离散时间信 号号序列可序列可 以用图形来描以用图形来描 述，纵轴线段述，纵轴线段 的长短代表各的长短代表各 序列值的大小，序列值的大小， 横轴代表离散横轴代表离散 时间点。时间点。 离散时间信号可以为有限长序列和无限长序列。离散时间信号可以为有限长序列和无限长序列。 有限长序列：有限长序列： 仅在有限时间范围内有定义仅在有限时间范围内有定义:N1 n N2， 其中其中 - N1 ，N2 且且 N1

3、 N2。 序列的长度序列的长度N： N= N2 - N1+ 1 例：例：xn=n2, -3 n 4 是有限长序列，是有限长序列， 其长度为其长度为4 (-3) + 1 = 8 例：例： fn=-2, 1, -3 0 n 2 无限长序列：无限长序列： - n 0时，右 移n位，当n0时，左移|n|位； 相乘：相乘：对给定的某个n值，将h(n-m)和 x(m)相同m值 的对应点相乘； 相加：相加：再将以上所有对应点的乘积累加，就可以得到 给定的某n值时的y(n)。 以和以和 为例说明卷积为例说明卷积 的图解方法。的图解方法。 n nn nx 其他0 203 )( n n nh 其他0 301 )(

4、 h(2-m) m 1 h(0-m) m 1 h(m) m 1 x(m) m 3 2 1 h(-1-m) m 1 h(1-m) m 1 h(6-m) m 3 n y(n) 5 3 66 1 xm hm xm h-m y0 xm h1-m y1 xm h2-m y2 xm h3-m y3 xm h4-m y4 yn=n+2n-1+3n-2+2n-3+n-4 xn = hn = n + n-1 + n-2 yn x(m): x(0) x(1) x(3) h(-m): h(2) h(1) h(0) y(0)=1 h(1-m): h(2) h(1) h(0) y(1)=2 h(2-m): h(2) h

5、(1) h(0) y(2)=3 h(3-m): h(2) h(1) h(0) y(3)=2 h(4-m): h(2) h(1) h(0) y(4)=1 h(5-m): h(2) h(1) h(0) yn yn=n+2n-1+3n-2+2n-3+n-4 几种常用典型序列几种常用典型序列 、单位抽样序列（单位冲激）、单位抽样序列（单位冲激）(n)(n) (n)在离散序号处理中的作用类似于连续时间 信号处理中的冲激函数(t) . (t):是t=0时脉宽趋于0，幅值趋于无限大，面积 为1的信号，是极限概念的信号，并不是一个现实的 信号; (n):在n=0时取值为1，既简单又易计算。 00 01 )(

6、n n n 单位抽样序列单位抽样序列 (n)(n) 313221 n 1 、单位阶跃序列、单位阶跃序列u(n)u(n) (n)和u(n)间的关系为 令n-m=k代入上式，得 00 01 )( n n nu ) 1()()(nunun 0 )2() 1()()()( m nnnmnnu n k knu)()( 单位阶跃序列单位阶跃序列 n n 1 u(n)u(n) -3-2-1 0123 3 3、矩形序列、矩形序列 RN(n)和(n)、u(n)的关系为 为其他值n Nn nR N 0 101 )( )()()(NnununRN 1 0 )()( N m N mnnR R RN N(n)(n) 1

7、 n nN-1N-2120-1 矩形序列矩形序列 、实指数序列、实指数序列 其中a为实数，当|a|1时，序列是发散的。 )()(nuanx n 实指数序列实指数序列 a=1.2a=0.9 、复指数序列、复指数序列 也可以用其实部和虚部表示为 或用极坐标表示为 其中 )()( )( 0 nuenx nj njenenjnenx nnn 0000 sincos)sin(cos)( njnnxj eeenxnx 0 )(arg )()( nnxenx n 0 )(arg,)( njenenjnx nn 6 12 1 6 12 1 612 1 sincos)exp( Real part Imagina

8、ry part 、余弦型序列、余弦型序列 其中，为幅度，为数字域的频率，为起始相位。 )cos()( 0 nAnx A 0 因为 所以 由此可以得到序列的另一种表达形式，即任何序 列都可以表示为单位抽样序列的加权移位和，即 用单位抽样序列来表示任意序列用单位抽样序列来表示任意序列 mn mn mn 0 1 )( mn mnmx mnnx 0 )( )()( m mnmxnx)()()( 2 15 . 125 . 0nnnnx 675. 04nn 序列的能量序列的能量 序列x(n)的能量定义为序列各抽样值的平方和， 即 n nxE 2 )( 线性移不变系统线性移不变系统 将输入序列x(n)映射成

9、输出序列y(n)的唯一性 变换或运算定义为时域离散系统，记为 式中，T 用来表示这种变换关系，如果对变换 关系T 加上各种约束条件就定义了各类时域离 散系统。 )()(nxTny xnyn 输入序列输入序列输出序列输出序列 离散时间离散时间 系统系统 xnyn wn yn=xn+wn 加法器加法器 A xn ynyn=A.xn 放大器放大器 xnyn wn yn=xn.wn 乘法器乘法器 1 zynxn单位延时单位延时 yn=xn-1 yn xnz单位超前单位超前 yn=xn+1 线性系统线性系统 凡是满足均匀性和叠加性的系统称为线性系统，也凡是满足均匀性和叠加性的系统称为线性系统，也 就是说

10、，若就是说，若y y1 1(n)(n)和和y y2 2(n)(n)分别为输入分别为输入x x1 1(n)(n)和和x x (n) (n)的的 输出响应，即输出响应，即 那么当且仅当那么当且仅当 时，该系统称为线性系统，其中为任意常数。时，该系统称为线性系统，其中为任意常数。 对线性系统若写成对线性系统若写成N N个输入的一般表达式，则为个输入的一般表达式，则为 )()( 11 nxTny )()( 22 nxTny )()( )()()()()( 21 2121 nbynay nxbTnxaTnbxnaxTny ba, )()( 11 N i iii N i i nxaTnya 例：讨论系统例

11、：讨论系统y(n)=4x(n)y(n)=4x(n)6 6是否是线性系统。是否是线性系统。 解解1 1：假设：假设x x1 1(n)(n)3 3，则，则 y y1 1(n)(n)18 18 x x2 2(n)(n)4 4，则，则 y y2 2(n)(n)22,22, y y1 1(n) +y(n) +y2 2(n)=40(n)=40； x(n)x(n) x x1 1(n) (n) x x2 2(n)(n)7 7， 则则 y(n)y(n)4 4【 x x1 1(n) (n) x x2 2(n) (n) 】6 63434 所以所以y(n yy(n y1 1(n) +y(n) +y2 2(n)(n)

12、此系统不满足可加性，故不是线性系统。此系统不满足可加性，故不是线性系统。 )( 22 )( 11 )( 22 )( 11 6)( 22 4)( 11 4 6)( 22 )( 11 4)( 22 )( 11 )( 12)( 22 4)( 11 4)( 22 )( 11 )( 2 )( 1 6)( 22 4)( 22 )( 2 6)( 11 4)( 11 )( 1 nxaTnxaTnxanxaT nxanxa nxanxanxanxaTny nxanxanxaTnxaTnyny nxanxaTny nxanxaTny 解解2 2： 因此此系统不是线性系统。因此此系统不是线性系统。 移不变系统移不变

13、系统 如果系统的输出响应随着输入的位移而位移， 那么该系统就称为移不变系统，即若输入x(n)产生 输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出为 y(n-m)，也 就是输入移动任意位，其输出也移动这么多位，且 幅值保持不变。 对移不变系统，若 则 其中m为任意整数。 )()(nxTny )()(mnxTmny 例：证明y(n)=4x(n)+6是移不变系统 证：Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=4x(n-m)+6 由于Tx(n-m)y(n-m)， 所以y(n)=4x(n)+6是移不变系统 例：证明是移不变系统 证： 由于二者相等，所以系统是移不变系统 n m mxny)()( kn

14、 m kn m n m mxkny mmmkmmxkmxknxT )()( ),()()()( 单位抽样响应与卷积和单位抽样响应与卷积和 设线性移不变系统输出y(n)的初始状态为零，当输入 x(n)=(n)时，其输出定义为系统的单位抽样响应，用h(n) 表示，即 设线性移不变系统的输入序列为x(n)，输出序列为y(n)， 将x(n)用(n)表示，即 所以相应的系统输出为 根据线性系统的叠加原理，有 又根据移不变特性，可得 )()(nTnh m mnmxnx)()()( )()()()( m mnmxTnxTny )()()( m mnTmxny )(*)()()()(nhnxmnhmxny m

15、 线性移不变系统的性质线性移不变系统的性质 、交换律、交换律 由于卷积和与两卷积序列的次序无关，有 y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n) 也就是说将单位抽样响应h(n)改为输入，而将输入x(n) 改作为系统单位抽样响应，则输出y(n)不变 证明证明： x(n) h(n) y(n) = h(n) x(n) y(n) )()()()( )()()()()()()( nxnhknxkh khknxmnhmxnhnxny k km 、结合律、结合律 x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n) =x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h(n)*h(n) 也就是说

16、两个线性移不变系统级联后仍构成一个线 性移不变系统，其单位抽样响应为两系统单位抽样 响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应 与它们的级联次序无关 x(n)y(n) h1(n)h2(n) x(n)y(n) h2(n)h1(n) x(n)y(n) h1(n)*h2(n) 、分配律、分配律 x(n)*h1(n)h2(n)=x(n)*h1(n)x(n)* h2(n) 证明： )(*)()(*)( )()()()( )()()()()(*)( 21 21 2121 nhnxnhnx mnhmxmnhmx mnhmnhmxnhnhnx mm m x(n)y(n) h1(n)+h2(n) h1(n)

17、h2(n) x(n) y(n) 因果系统因果系统 因果系统因果系统是指其输出变化不会发生在输入变化 之前的一种系统，也就是说，因果系统的n时刻的输 出只取决于n时刻及n时刻以前的输入序列，而和n时 刻以后的输入序列无关，因此系统的因果性是指系 统的可实现性，如果现在的输出和未来的输入有关， 这在时间上违背了因果性，而且系统也无法实时实 现，这样的系统就称为非因果系统。 线性移不变系统具有因果性的充分必要条件是线性移不变系统具有因果性的充分必要条件是 0,0)(nnh 证明：证明：充分条件充分条件 若若n0n0时时h(n)=0h(n)=0，根据卷积和公式，根据卷积和公式 因为式中因为式中m0m0

18、，所以，所以n n -mn -mn ，这就证明了 ，这就证明了y(ny(n ) )的值只 的值只 取决于取决于x(n)x(n)在在nnnn 时的值，因此系统是因果的。 时的值，因此系统是因果的。 必要条件必要条件 根据卷积和公式有根据卷积和公式有 若当若当m0mn -mn ， ， 即系统在即系统在n n 时的输出 时的输出y(ny(n ) )与输入 与输入x(n)x(n)在在nnnn 时的值有关， 时的值有关， 也就是也就是y(ny(n ) )值与 值与n n 以后的 以后的x(n)x(n)有关，所以该系统不是因果有关，所以该系统不是因果 系统系统 可见要使可见要使y(ny(n ) )与 与n

19、nnn 时的 时的x(n)x(n)无关，则必须使无关，则必须使 0 000 )()()()()( mm mnxmhmnxmhny 0 0 1 000 )()()()()()()( mmm mnxmhmnxmhmnxmhny 0)(, 0nhn y(n)=nx(n) y(n)=nx(n) 因果系统因果系统 y(n)=x(ny(n)=x(n2 2) ) 非因果系统非因果系统 y(n)=x(-n) y(n)=x(-n) 非因果系统非因果系统 y(n)=x(n)g(n+2) y(n)=x(n)g(n+2) 因果系统因果系统 y(n)=x(n+1)+ax(n) y(n)=x(n+1)+ax(n) 非因果

20、系统非因果系统 y(n)=x(ny(n)=x(nn n0 0) ) 非因果系统非因果系统 稳定系统稳定系统 对每一个有限的输入信号，产生有限输出信号的 系统称为稳定系统稳定系统 线性移不变系统是稳定系统的充要条件是： 系统的单位抽样响应绝对可和，即系统的单位抽样响应绝对可和，即 n nh)( 证明：证明：充分条件充分条件 若系统满足条件若系统满足条件 且输入且输入x(n)x(n)有界，对所有有界，对所有n n，其中，其中M M是是 一个任意大的有限数，此时系统的输出为一个任意大的有限数，此时系统的输出为 两边取绝对值，得两边取绝对值，得 即输出即输出y(n)y(n)有界，故系统是稳定的。有界，

21、故系统是稳定的。 n nh)( Mnx)( m mnxmhny)()()( mmm mhMmnxmhmnxmhny)()()()()()( 必要条件必要条件 利用反证法，利用反证法， 已知系统稳定，假设，已知系统稳定，假设， 可以找到一个有界的输入可以找到一个有界的输入 则则 即输出无界，这不符合稳定的假设，因而假设不即输出无界，这不符合稳定的假设，因而假设不 成立，所以稳定的必要条件是：成立，所以稳定的必要条件是： 0)(1 0)(1 )( nh nh nx mmm mhmhmhmxy)()()0()()0( n nh)( n nh)( 因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果稳定的线性

22、移不变系统的单位抽样响应是 因果的（单边的），且是绝对可和的（稳定的），因果的（单边的），且是绝对可和的（稳定的）， 即即 n nh nunhnh )( )()()( y(n)=nx(n)y(n)=nx(n) 设设|x(n)|M,M|x(n)|M,M为任意正数，则为任意正数，则 |y(n)|=|nx(n)|n|M|y(n)|=|nx(n)|n|M 因为因为|n|n|是无界的，所以是无界的，所以y(ny(n）无界。）无界。 此系统是不稳定系统。此系统是不稳定系统。 y(n)=ay(n)=ax(n) x(n) ,a ,a为正整数为正整数 设设|x(n)|M,M|x(n)|M,M为任意正数，则为任意

23、正数，则 M x(n) M,M x(n) M, 此时必有此时必有 |y(n)|=| a|y(n)|=| ax(n) x(n) |a |a|x(n)| |x(n)|a aM M a a-M -M y(n) a y(n) aM M 有界的输入产生有界的输出。 有界的输入产生有界的输出。 因此系统是稳定系统。因此系统是稳定系统。 例：设某线性移不变系统，其单位抽样响应为例：设某线性移不变系统，其单位抽样响应为 （1）讨论因果性：）讨论因果性： 因为因为 ，故此系统为因果系统。，故此系统为因果系统。 （2）讨论稳定性：）讨论稳定性： 所以所以|1|1|1时，系统是稳定的。时，系统是稳定的。 ) 1()

24、(nuanh n 0)(0nhn时， 1 1 1 1 | 1 1 | 1 1 )( 1 1 1 a a a a a a aanh n n nn n n n 例：设系统输入输出关系为，例：设系统输入输出关系为， 判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。 解：解： 因而因而 所以此系统为线性系统所以此系统为线性系统 而而 因而因而 所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变的所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变的。 ) 3 2 5 sin()()( nnxnxT ) 3 2 5 sin()()()( 111 nnxnxTny ) 3 2 5 sin()()

25、()( 222 nnxnxTny )()() 3 2 5 sin()() 3 2 5 sin()( ) 3 2 5 sin()()()()( 2121 2121 nbynaynnbxnnax nnbxnaxnbxnaxT ) 3 2 5 sin()()( nmnxmnxT 3 2 )( 5 sin)()( mnmnxmny )()(mnymnxT 若x(n)有界，即，则 而，所以 即有界的输入产生有界的输出，因此系统是 稳定的。 只与x(n)的当前值 有关，而与未来值无关，所以系统是因果的。 Mnx)( ) 3 2 5 sin() 3 2 5 sin()( ) 3 2 5 sin()()()(

26、 nMnnx nnxnxTny 1) 3 2 5 sin( n Mny)( ) 3 2 5 sin()()()( nnxnxTny 常系数线性差分方程常系数线性差分方程 离散线性移不变系统的输入输出关系常 用常系数线性差分方程表示，即 或者 常系数常系数是指决定系统特征的系数是常数，若系 数中含有n，则称为“变系数”。 线性线性是指各y(n-i)项和各x(n-i)项都只有一次幂而 且不存在它们的相乘项，否则就是非线性。 差分方程的阶数差分方程的阶数等于y(n)的变量序号的最高值与 最低值之差，例如上式就是N阶差分方程。 M i N i ii inyainxbny 01 )()()( 1, )(

27、)( 0 00 ainxbinya M i i N i i 求解差分方程有如下几种方法：递推法、时域递推法、时域 经典法、卷积法、变换域法经典法、卷积法、变换域法等等 递推解法比较简单，适合计算机求解，但是只 能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解 答。时域经典法和微分方程的解法比较类似，比较 麻烦，实际应用中很少采用。卷积法则必须知道系 统的单位抽样响应h(n) ，这样利用卷积和就能得到 任意输入时的输出响应。变换域法是利用Z变换的方 法求解差分方程。 当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性移不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。 差

28、分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。 例：常系数差分方程 （）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应； （）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响 应。 解：（）设，且，必 有 依次迭代 所以单位抽样响应为 ) 1( 2 1 )()(nynxny )()(nnx0) 1() 1(hy 0, 0)()(nnhny 101) 1( 2 1 1)0()0(hhy 2 1 2 1 0)0( 2 1 0) 1 () 1 (hhy 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 ) 1 ( 2 1 0)2()2(hhy

29、 nn nhnhny) 2 1 () 2 1 (0) 1( 2 1 0)()( 00 0) 2 1 ( )() 2 1 ()( n n nunh n n （）设，由初始条件知，必有 将原式该写为另一种递推关系 则 所以单位抽样响应为 由本例看出，差分方程相同，但是初始条件不同，得到 的单位抽样响应不同，也就是对应着不同的系统 )()(nnx 0, 0)()(nnhny )()( 2) 1(nxnyny 2) 10(2) 1() 1(hy 2 2)02(2)2()2(hy 32 2)02(2) 3() 3(hy nn nhny) 2 1 (2)()( 00 0) 2 1 ( ) 1() 2 1

30、()( n n nunh n n 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样 信号的采样信号的采样 对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，其物理意义是 将模拟信号xa(t)送入一电子开关，该开关每隔T秒闭合 一次，从而获得采样信号xs(t)= xa(nT),相当于将xa(t) 乘以以T为周期的冲激函数T(t)，即 由于 仅在t=nT时不为零，显然，采样信号 xs(t)仅在t=0，T，2T，等处有值，形成离散信 号序列，即 其中，T为采样周期，其倒数1/T=fs，称为采样频率。 n a n aTas nTttxnTttxttxtx)()()()()()()( )(nTt )()()(nTxtxnx a

31、nTt s t tt 0 0 0 T K 图1.8 模拟信号的采样 )(txa )(txs )(txa )(t T )(nTx 单位抽样周期序列单位抽样周期序列时间域时间域表达及表达及频率域频率域表达：表达： 1 S T 对模拟信号采样后在对模拟信号采样后在时间域时间域的变化及其可能出现的问题的变化及其可能出现的问题 |Xa(j)| |Xs(j)| |T(j)| |Xs(j)| S S -S -SS/2-S/2 S-S (a)(a) (b)(b) (c)(c) (d)(d) -h h h 对模拟信号采样后在对模拟信号采样后在频率域频率域变化及其可能出现的问题变化及其可能出现的问题 下面讨论理想

32、抽样后信号频谱发生的变化：下面讨论理想抽样后信号频谱发生的变化： 研究它们对应的频谱，令X(j) ，Xa(j)和 T(j)分别代表xS(t)， xa(t)和 T(t)的频谱， 即 式中，为采样角频率 dtetxjX tj SS )()( dtetxjX tj aa )()( k SST kjj)()( sS f T 2 2 因为，所以 上式表明，采样信号的频谱X(j)是原信号频谱 Xa(j)的周期性延拓，延拓周期为采样频率S， 但其幅度有1/T加权。 )()()(ttxtx Pas k Sa k Sa k Sa k Sa TaS jkjX T djkjjX T djkjjX T jkj T j

33、X jjXjX )( 1 )()( 1 )()( 1 )( 2 )( 2 1 )()( 2 1 )( 奈奎斯特定理（采样定理）：奈奎斯特定理（采样定理）：要想抽样后能够不要想抽样后能够不 失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号 谱的最高频率（谱的最高频率（ h h），即），即f f 2f2fh h。. . 2 2h h称为奈奎斯特频率，/2称为折迭频率，信号频 率超过它时会折迭回来，形成频谱混迭。 在实际工作中，为避免频谱混迭，采样频率往往 选得比2 2h h更高些，一般为 = =（35） h h 。另外为 避免高于h h的杂散频率造成频谱混迭，通常在采样之 前加入保护性前置低