材料力学-第四章 扭转_1

1、第五章 扭转扭转 一、扭转的概念及实例一、扭转的概念及实例 5-1 5-1 扭转的概念扭转的概念 一、扭转的概念及实例一、扭转的概念及实例 5-1 5-1 扭转的概念扭转的概念 一、扭转的概念及实例一、扭转的概念及实例 5-1 5-1 扭转的概念扭转的概念 螺旋桨轴螺旋桨轴 受力特征：受力特征： 杆受转向相反的力偶矩作用，力偶杆受转向相反的力偶矩作用，力偶 作用面垂直于轴线。作用面垂直于轴线。 变形特征：变形特征： 横截面绕轴线相对转动。横截面绕轴线相对转动。 扭转：横截面绕轴线（纵向线）作相对旋转为主要特征的变形形式。 扭转角：横截面绕轴线（纵向线）相对角位移。 外力偶(moment)：垂直

2、于杆件轴线（纵向线）的横截面内(往往在 端部）的力偶。 扭矩(Torque)：垂直于杆件轴线（纵向线）的横截面内的力偶。 二、外力偶矩的计算二、外力偶矩的计算 设某轮传递的功率设某轮传递的功率P P（kWkW），轴的转速是），轴的转速是n (r/minn (r/min） 1)( 601000= kW PW 2)( 2= e nMW 功率功率P P（kWkW）-每秒钟做的功。每秒钟做的功。 则每分钟做功为则每分钟做功为 外力偶外力偶 M Me e 每分钟做的功为：每分钟做的功为： . (1)=(2) 1000 60=2 e kWN m Pn M 得 kW 9549r/min N m e e P

3、P Mn n M PS 7024r/min N m e e P P Mn n M (4-1) 最大功率一般用马力 (PS)或千瓦(kw)来表示。 1马力等于0.735千瓦 5-2 5-2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 Tm Tm扭矩扭矩 例例5-15-1图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A A输入功率输入功率N NA A=50 =50 马力，从马力，从 动轮动轮B B、C C、D D输出功率分别为输出功率分别为 N NB B=N=NC C=15=15马力马力 ，N ND D=20=20马马 力，轴的转速为力，轴的转速为n=300n=300转转/ /分。作轴的扭矩图。分。作轴的扭矩图。 e MT

4、nn e MT 扭矩T的符号规定： r/min300= PS20PS15PS50 n NNNN DCBA 解：解： mN1170 300 50 70247024 n N M A A mN468 300 20 70247024 mN351 300 15 70247024 n N M n N MM C D B CB mN351 1 B MT mN702)( 2 CB MMT mN468 3 D MT mN1170 mN351 mN351 mN468 T(N m) T T T 1 2 3 351 702 468 N m N m N m 5-3 5-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒的扭转

5、实验一、薄壁圆筒的扭转实验 受扭前在其表面上用圆周线受扭前在其表面上用圆周线nnnn，mmmm和纵向线画成方和纵向线画成方 格格, ,然后加载，观察方格变形情况。然后加载，观察方格变形情况。 e M e M n n m m 观察现象观察现象 (1) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（平圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（平 面面nn，mm仍保持平行）。仍保持平行）。 r l (2) (2) 纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度 m m n n (3)(3)方格变为斜棱形。设想方格变为斜棱形。设想:mm:mm相对相对nnnn转动转动, ,方格两方格两 边发生相对

6、错动，但两对边之间距离不变，圆筒边发生相对错动，但两对边之间距离不变，圆筒 半径尺寸不变。半径尺寸不变。 根据以上实验现象根据以上实验现象, ,可得结论：可得结论： 圆筒横截面上只有剪应力，圆筒横截面上只有剪应力， 而无正应力。由于壁很簿，可而无正应力。由于壁很簿，可 认为剪应力认为剪应力 沿簿壁均匀分布，沿簿壁均匀分布， 方向垂直于半径与周线相切。方向垂直于半径与周线相切。 剪应力在截面上均匀分布，剪应力在截面上均匀分布， 方向垂直于半径与周线相切。方向垂直于半径与周线相切。 TT ? e M e M 剪应力互等定理剪应力互等定理 dx dy yxxyd)d(d)d( 微元体微元体 单元体单

7、元体 纯剪切：单元体上只纯剪切：单元体上只 有剪应力而无正应力。有剪应力而无正应力。 剪应力互等定理剪应力互等定理 : : 在相互垂直在相互垂直 的两个平面上的两个平面上, ,剪应力一定成对剪应力一定成对 出现，其数值相等，方向同时出现，其数值相等，方向同时 指向或背离两平面的交线。指向或背离两平面的交线。 (5-3) 根据精确的理论分析根据精确的理论分析, ,当当 r/10r/10时时, ,上式的误差不上式的误差不 超过超过4.52%,4.52%,是足够精确的。是足够精确的。 TAr A d Ad dA 2rrT 2 2 r T r 0 2A T (5-2) 二二. . 扭转应力扭转应力 三

8、三. . 扭转角扭转角 rl 3 /. 2 Tl lr Gr 四、剪切胡克定律四、剪切胡克定律 在纯剪状态下，在纯剪状态下， 单元体相对两侧面将单元体相对两侧面将 发生微小的相对错动，发生微小的相对错动， 原来互相垂直的两个原来互相垂直的两个 棱边的夹角改变了一棱边的夹角改变了一 个微量个微量 。 两正交线段的直两正交线段的直 角改变量角改变量剪应变。剪应变。 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验, , 证明剪应力与剪应变之间存在证明剪应力与剪应变之间存在 着象拉压胡克定律类似的关系：当剪应力不超过材着象拉压胡克定律类似的关系：当剪应力不超过材 料剪切比例极限料剪切比例极限p p, ,即当即当p p时

9、，时，剪应力与剪应变剪应力与剪应变 成正比。成正比。 该式称为该式称为剪切胡克定律剪切胡克定律。 G 材料常数：材料常数： 剪切弹性模量剪切弹性模量G G 拉压弹性模量拉压弹性模量E E 泊松比泊松比 G E 2 1 () (5-4) G gs_4_2 剪切胡克定律剪切胡克定律 （42） 剪切胡克定律 式中G剪切弹性模量；剪应变。 gs_4_3材料弹性常数之间关系材料弹性常数之间关系 )1(2 E G （43） gs_4_4 剪切弹性应变能密度剪切弹性应变能密度 G u 22 1 2 （44） 5-4 5-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力. .强度条件强度条件 一、圆杆扭转时横截面

10、上的应力一、圆杆扭转时横截面上的应力 静力学关系静力学关系 三种关系：物理关系三种关系：物理关系 变形几何关系变形几何关系 1.1.变形几何关系变形几何关系 观察到下列现象观察到下列现象: : (1)(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化 (2)(2)纵向线仍近似为直线纵向线仍近似为直线, , 但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度 （3 3）表面方格变为菱形。）表面方格变为菱形。 平截面假设：平截面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性 平面一样绕轴线旋转了一个角度。平面一样绕

11、轴线旋转了一个角度。 d ddrx 外表面 d dx xd d x r d d 横截面上距形心为横截面上距形心为 的任一点处应变的任一点处应变 剪应力方向垂直于半径。剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, , 当剪当剪 应力不超过材料的剪切比例极限时应力不超过材料的剪切比例极限时 G G x d d (a) (b) 2. 物理关系物理关系 3.3.静力学关系静力学关系 dA dA o TA A d TA x G A d d d G x AT A d d d 2 则 d d x T G I p IA p A 2 d极惯性矩 (5-5) max max G x d d max m

12、ax T I p G T G I p p I T T Wt )( max 抗扭截面模量 p t I W 由由(b)(b)式：式： （5-6） （5-7） d o tp WI 和抗扭截面模量圆与圆环的极惯性矩. 4 2/ 0 2 d2 d p I 4 2/ 2 4 d 32 4 d I p W I t p max 2/d I p d 3 16 (5-8) (5-9) （5-10） (5-11) /2 244 /2 2d() 32 D p d IDd 44 (1) 32 p ID 3 4 max (1) 16 p t I D W 例例5-25-2内外径分别为内外径分别为20mm20mm和和40mm

13、40mm的空心圆截面的空心圆截面 轴，受扭矩轴，受扭矩T=1kNT=1kNm m作用，计算横截面上作用，计算横截面上A A点的剪应点的剪应 力及横截面上的最大和最小剪应力。力及横截面上的最大和最小剪应力。 解：解： A A p T I )5 . 01 ( 32 04. 0 015. 01000 4 4 MPa66.63 A max T Wt )5 . 01 ( 16 04. 0 1000 4 3 MPa88.84 max MPa44.42 20 10 maxmin 例例5-35-3一实心轴直径为一实心轴直径为D D1 1，另一空心轴内外，另一空心轴内外 径之比径之比d d2 2D D2 20.

14、80.8，若两轴横截面上的扭，若两轴横截面上的扭 矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比 D D2 2/D/D1 1。 解：由解：由 )8 . 01 ( 1616 4 3 2 3 1 max D T D T 192. 1 8 . 01 1 3 4 1 2 D D 得：得： 例例5-45-4一厚度为一厚度为30mm30mm、内直径为、内直径为230mm 230mm 的空心圆管，的空心圆管， 承受扭矩承受扭矩T=180 kNT=180 kNm m 。试求管中的最大剪应力，使用：。试求管中的最大剪应力，使用： (1)(1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理

15、论；(2)(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。 解：解：(1) (1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得 tr T 2 max 2 16/)1 ( 4 max D T (2) (2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得 16/29. 0 )290/230(1 10180 34 3 18010 2013003 3 2 . 565 . MPa MPa2 .62 max %9/ )( maxmaxmax 二二. .斜截面上的应力斜截面上的应力 dx dy x n 0 F 0cossin sincos dA dAdA sin2 0 F cos2 max 45o mi

16、n 45o (5-12) 三三. .强度条件强度条件 1.1.塑性与脆性材塑性与脆性材 料的扭转破坏料的扭转破坏 低碳钢平齐断口低碳钢平齐断口 铸铁斜螺旋线断口铸铁斜螺旋线断口 2.2.强度条件强度条件 p T W 即 (3)(3)确定许可载荷确定许可载荷: : (1)(1)校核杆的强度校核杆的强度: :已知已知T T、I Ip p、 ，验算构件是否满，验算构件是否满 足强度条件；足强度条件； (2)(2)设计截面设计截面: :已知已知 、 , ,按强度条件，求按强度条件，求A A； max （5-13） 例例5-5 5-5 如图所示阶梯状圆轴，如图所示阶梯状圆轴，ABAB段直径段直径d d1

17、 1=120mm=120mm，BCBC 段直径段直径d d2 2=100mm=100mm。扭转力偶矩为。扭转力偶矩为M MA A=22kN.m=22kN.m，M MB B=36kN=36kNm m， Mc=14kNMc=14kNm m。已知材料的许用剪应力。已知材料的许用剪应力 ，试校核试校核 该轴的强度。该轴的强度。 MPa80 解：解： 求得两段的扭矩，求得两段的扭矩， 并绘出扭矩图。并绘出扭矩图。 ABAB段之扭矩比段之扭矩比BCBC段之扭段之扭 矩大，但两段轴的直径矩大，但两段轴的直径 不同，需要分别校核两不同，需要分别校核两 段轴的强度。段轴的强度。 ABAB段段)(1084.64

18、16/12. 0 1022 6 max 3 3 max Pa W T p BCBC段段 )(103 .71 16/1 . 0 1014 6 max 3 3 max Pa W T p 该轴满足强度条件的要该轴满足强度条件的要 求。求。 5-55-5圆轴的扭转变形与刚度条件圆轴的扭转变形与刚度条件 d d d x T GI p dd T GI x p d pl T x GI 若，则T T l G I p const l N l E A 比较拉压变形： 公式适用条件： 1）当p（剪切比例极限）公式才成立 2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立） 4）对于小锥度圆杆可作近似计算 3）扭矩、面积沿杆轴不

19、变（T、Ip为常量） 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 rad m/ /m 强度条件：强度条件： 刚度条件：刚度条件： 例例5-65-6在强度相同的条件下，用在强度相同的条件下，用d/D=0.5d/D=0.5的空心圆轴的空心圆轴 取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少? ? 解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d d1 1 ，由，由 T d T D 1 33 4 1616 105 (.) D d1 1022 . 得：得： A A D d 空 实 2 2 1 2 4 105 4 0783 (.) . 0.8 0.8 1.19

20、2 0.8 0.512 例例5-7一空心圆轴，内外径之比为一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两，两 端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若 将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保 持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？ （按强度计算）。（按强度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面，面 积增大一倍后内外径分别变为积增大一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ， ，最 最 大许可扭矩为大许可扭矩为1 由 T D T D 1 1 3 4 3 4

21、 16 1 16 1 ()() 由得 DDD D 1 2 2 2 21 4 1052 4 1052(.)(.) 得 T T D D 11 3 3/2 22828 . 例例5-8一空心轴一空心轴=d/D=0.8，转速，转速n=250r/m, 功率功率N=60kW， =40MPa，求轴的外直径，求轴的外直径 D和内直径和内直径d。 解：解：m N n 95499549 60 250 229176.N m 由 m DD 3 4 3 4 6 16 1 229176 16 108 4010 () . (.) 得D 791 . mm ,.d 633 mm 例例5-95-9圆截面橡胶棒的直径圆截面橡胶棒的直

22、径d=40mm,d=40mm,受扭后受扭后, ,原来表面原来表面 上的圆周线和纵向线间夹角由上的圆周线和纵向线间夹角由 9090变为变为 8888。如杆。如杆 长长 l=300mml=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的，试求两端截面间的扭转角；如果材料的 剪变模量剪变模量G=2.7MPaG=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆，试求杆横截面上最大剪应力和杆 端的外力偶矩。端的外力偶矩。 解：解： l d 2 得 l d 2 max G 272 180 . MPa09425.0 max te WM max 00942510 004 16 6 3 . . mN18. 1 e M

23、40 2 300230 例例5-105-10传动轴传递外力偶矩传动轴传递外力偶矩M Me e5kN5kNm,m,材料的材料的 =30MPa, G=80GPa, =0.5=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,/m,试选择试选择 轴的直径。轴的直径。 解：解：由 5000 16 3010 3 6 d 得d 947 . mm 由 5000 8010 32 180 05 9 4 d . 得 d 924 . mm A C B 1 2 2 解：解：1、绘扭矩图：、绘扭矩图： mkN MMT AB .2 64 12 mkNMT BC .4 2 T X 4 (kNm) 2 2 2、计算、计算I IP

24、 P： 例例5-115-11空心圆轴，外径空心圆轴，外径0.0.，内径，内径0.08m0.08m AB=L AB=L0.5m0.5m，M M 4 4.m.m， M M 6 6.m.m， ，求，求C C截面对截面对A A、B B截面的相对扭转角。截面的相对扭转角。 46 44 44 108 . 5 )8 . 01 (1 . 0 3232 )1 ( m D I P 3 3、计算相对扭转角、计算相对扭转角 02 69 3 124. 010216. 0 108 . 51080 10)42(5 . 0 )( rad TT GI l GI lT GI lT BCAB P P BCBC P ABAB BCA

25、BAC 02 69 3 247. 010431. 0 108 . 51080 1045 . 0 rad GI lT P BCBC BC “+”“+”号表示面向号表示面向C C截面观察时，该截面相对于截面观察时，该截面相对于A A（或（或B B） 截面逆时针转动。截面逆时针转动。 m ml dx x ml m T 0 解：计算扭矩、绘扭矩图解：计算扭矩、绘扭矩图： mxmlT T 例例5-125-12圆截面杆圆截面杆ABAB左左 端固定，承受均布力偶端固定，承受均布力偶 作用，其力偶矩作用，其力偶矩 集度集度 （单位长度上的力偶矩）（单位长度上的力偶矩） 为为m=20Nm/mm=20Nm/m，已知直径，已知直径 d=20mmd=20mm，